青海師范大學(xué)教育碩士 (225700)
朱云燕
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問(wèn) 題 1830 的 研 究
青海師范大學(xué)教育碩士 (225700)
朱云燕
1.問(wèn)題的提出
《數(shù)學(xué)通報(bào)》問(wèn)題1830:
命題人刊登的解答曲折繁復(fù),與問(wèn)題簡(jiǎn)單優(yōu)美的形式頗不相配,下面我們將給出此題的簡(jiǎn)證,并從其等價(jià)形式出發(fā)進(jìn)行深入研究.
2.問(wèn)題的別證與推廣
下面我們將(2)推廣為:
推廣 a,b,c∈R+,且a+b+c=s.則有
事實(shí)上,(3)?2(a+b+c)(a2+b2+c2)+9abc≥(a+b+c)3?a3+b3+c3+3abc≥a2b+b2c+c2b+b2c+c2a+a2c,將Schur不等式a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a(c-b)≥0展開(kāi)即得a3+b3+c3+3abc≥a2b+b2c+c2b+b2c+c2a+a2c,故不等式(3)成立.
在(3)中取s=2即得(2).
3.問(wèn)題的類(lèi)似聯(lián)想
我們先給出與不等式(3)結(jié)構(gòu)相似的一個(gè)反向不等式:
聯(lián)想1 a,b,c∈R+,且a+b+c=s.則有
我們?cè)俳o出與不等式(3)形似的一個(gè)同向不等式:
聯(lián)想2 a,b,c∈R+,且a+b+c=s.則有
4.問(wèn)題的深入研究
在a,b,c∈R+,且a+b+c=s的條件下,下面我們進(jìn)一步考慮a2+b2+c2+λabc(λ∈R)的取值范圍.
因?yàn)閍→s,b=c→0時(shí),a2+b2+c2+λabc→s2,故上界s2是最佳的,不可改進(jìn).