江蘇省如皋市第一中學 (226500)

潘 佩

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基于重要方法應用的微專題復習
——以“高考中的構(gòu)造法應用”為例

江蘇省如皋市第一中學 (226500)

潘 佩

基于數(shù)學重要方法進行應用是微專題設置的一種重要方式．數(shù)學復習有兩條線：一條是明線，即數(shù)學知識的復習；一條是暗線，即數(shù)學思想方法的復習．而數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是學生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是學生把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學生良好數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的載體，是衡量數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)學能力的重要標志．下面，以“高考中的構(gòu)造法應用”為例，談談筆者對基于重要方法應用的微專題復習的認識．

本專題用時為1課時．本節(jié)課的教學對象是江蘇省四星級高中如皋市第一中學的學生，學生數(shù)學基礎(chǔ)掌握較扎實、思維能力較強，有一定的自主探究的意識和合作交流的能力．本節(jié)課的教學實錄如下：

一、教學片斷實錄

師：著名數(shù)學家G·波利亞(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)說：“構(gòu)造一個輔助問題是一項重要的思維活動”，而這一重要的思維活動就是我們通常所說的構(gòu)造法.所謂“構(gòu)造法”是指在解題時，我們常常會通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而找到解決問題的思路、方法．此法重在“構(gòu)造”，它體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.

師：歷史上有不少著名的數(shù)學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學上的難題.近幾年來，構(gòu)造法及其應用又逐漸為數(shù)學教育界所重視，在數(shù)學高考中有著一定的地位.(激發(fā)學生的求知欲)(小組討論5＇)

圖1

師：下面請一位同學談一談該題應如何解.

學生1：(另配圖)教師板書

師：除此之外，是否還有其他解法？請大家再次認真審題.

(教師巡視3分鐘之后，部分同學喜上眉梢，仍有不少同學眉頭緊鎖.)

師：從剛才大家的表現(xiàn)來看，可能一些同學已經(jīng)有了思路，下面以小組為單位，對剛才的思考進行交流，看看能否擦出思維的火花.

(教師巡視5分鐘之后，討論漸息，大部分同學似乎有些收獲.)

師：哪個小組派出代表交流體會，可以是成功的解法，請將其所以然道明，當然也可以是困惑，那么直擊你的困惑.

圖2

(教室內(nèi)學生不由自主掌聲響起)

師：哪位同學來評價一下？

生3：這種圖形構(gòu)造很巧妙，看來要構(gòu)建直角坐標系，除了有垂直、等腰等條件之外，特殊角如出現(xiàn)60°,45°，也可以創(chuàng)造性構(gòu)建直角坐標系.

師：(適時點撥)這樣我們可以把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題，或由一般定量問題轉(zhuǎn)化為更精準的定量問題.

師：(趁熱打鐵)向量數(shù)量積的求法在這兒已經(jīng)有了兩席，即：基底轉(zhuǎn)化(化未知向量為已知向量)，坐標化構(gòu)造法，想想是否還可以有其它的破題角度嗎？

生4：(跑到講臺，在黑板上也畫了個圖)

圖3

(此時又是一陣掌聲)

師：哪位同學談談對這個解法的思考？

生5：有點意外，又合乎情理！

師：此話怎講？

生5：有點意外的意思是平時不太自覺地運用向量數(shù)量積的幾何意義來解題，但從剛才的過程可以看出，還是很方便的.合乎情理的意思是向量數(shù)量積的幾何意義是向量數(shù)量積定義的幾何解釋，也是一種重要的處理手段，又應該向這個方向去思考.

師：我在批閱時也發(fā)現(xiàn)有同學有這樣的想法，可能受到原題中圖形形狀的影響，直觀性得不到體現(xiàn)，解題過程受阻.因此將圖形轉(zhuǎn)換到合適的狀態(tài)下，進而構(gòu)造出相似三角形.

師：看來收獲不小呢！再接再厲，還有其它想法沒有？

(沉默了好一會兒)

生6：老師我們小組有個想法，圖形轉(zhuǎn)換到合適狀態(tài)，將圖形特殊化，構(gòu)造成兩個特殊圖形，如圖4，圖5，仿生2的做法即可.(解答與生2類似，坐標法略)

圖4 圖5

師：你是怎么想到的呢？

圖6

師：了不起的想法，與生2比較，圖形特殊化，運算簡單，解法優(yōu)化.點個贊！

師：這叫什么方法？

生：(眾)極限構(gòu)造法

師：(追問)你是怎么想到的？

(一陣驚嘆，一陣掌聲)

師：太好了！我們一起為該同學點贊！

師：同學們，今天大家從多角度對該題進行了剖析，讓一道解法單一的向量小題精神煥發(fā)、活力四射，讓我們體驗了對答題深入細致的剖析、積極主動的交流、充滿靈性的思維帶來的真正價值.下面我們趁熱打鐵，對原題進行適當?shù)囊晖卣梗?/p>

(同學們靜靜地在紙上演算著…，不一會兒，就有了答案，筆者經(jīng)過查看，上述幾種解法都有，限于篇幅，此處僅舉一種解法，其余不再一一贅述.)

生8：我是按極限的觀點來思考的(配圖).

圖7

圖8

生10：按生5、生6、生7的思考：

圖9

師：(總結(jié))在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即以什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造．

構(gòu)造法解題過程的程序框圖：

圖10

二、實踐反思

1.在解題練習中培養(yǎng)數(shù)學思想方法

在問題解決中運用思想方法，增強了學生自覺運用數(shù)學思想方法的意識.解題的過程就是在數(shù)學思想的指導下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識，調(diào)用一定數(shù)學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與所求結(jié)論間的差異的過程.用數(shù)學思想方法，進行一題多解的練習，有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引伸推廣，有助于培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性.

2.在復習小結(jié)基礎(chǔ)知識中培養(yǎng)思想方法

在基礎(chǔ)知識的復習小結(jié)中要注重知識的內(nèi)在聯(lián)系，要揭示數(shù)學思想方法在知識互相聯(lián)系、互相溝通的關(guān)系，充分展現(xiàn)知識形成發(fā)展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數(shù)學思想方法.本題是關(guān)于平面向量的基礎(chǔ)知識的考查，本身難度不大，屬于中檔題，可以依靠向量本身的運算性質(zhì)到相應的結(jié)論.但是如果采用向量的幾何運算，就可以使運算得以簡化，有思維量而少計算量，而且整個思維過程充滿技巧，小巧而有趣，充分反應了平面幾何和平面向量交匯點試題巧妙的特點.另外，構(gòu)造法的威力不可小覷，數(shù)形結(jié)合的思想是創(chuàng)新解題中永恒的主題.

總之，“微專題”實施，不是標新立異，不是對傳統(tǒng)經(jīng)典專題的否定和顛覆，而是有機穿插，“以小見大”，旨在一改以往復習課的沉悶、枯燥和低效，力求把學生帶進復習的“場”中，促其主動地學，有效地學.當然“微專題”的實施，對教師自身也提出了更高的要求，促使教師不斷走進生本和文本的更深處，充分駕馭課堂和學生，這樣的課堂才充滿生機和無限魅力.