江蘇省如皋市第一中學(xué) (226500)

潘 佩

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基于重要方法應(yīng)用的微專題復(fù)習(xí)
——以“高考中的構(gòu)造法應(yīng)用”為例

江蘇省如皋市第一中學(xué) (226500)

潘 佩

基于數(shù)學(xué)重要方法進(jìn)行應(yīng)用是微專題設(shè)置的一種重要方式．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)．而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是學(xué)生把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的載體，是衡量數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志．下面，以“高考中的構(gòu)造法應(yīng)用”為例，談?wù)劰P者對(duì)基于重要方法應(yīng)用的微專題復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí)．

本專題用時(shí)為1課時(shí)．本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是江蘇省四星級(jí)高中如皋市第一中學(xué)的學(xué)生，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)掌握較扎實(shí)、思維能力較強(qiáng)，有一定的自主探究的意識(shí)和合作交流的能力．本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄如下：

一、教學(xué)片斷實(shí)錄

師：著名數(shù)學(xué)家G·波利亞(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)說：“構(gòu)造一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)”，而這一重要的思維活動(dòng)就是我們通常所說的構(gòu)造法.所謂“構(gòu)造法”是指在解題時(shí)，我們常常會(huì)通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而找到解決問題的思路、方法．此法重在“構(gòu)造”，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法，是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.

師：歷史上有不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題.近幾年來，構(gòu)造法及其應(yīng)用又逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視，在數(shù)學(xué)高考中有著一定的地位.(激發(fā)學(xué)生的求知欲)(小組討論5＇)

圖1

師：下面請(qǐng)一位同學(xué)談一談該題應(yīng)如何解.

學(xué)生1：(另配圖)教師板書

師：除此之外，是否還有其他解法？請(qǐng)大家再次認(rèn)真審題.

(教師巡視3分鐘之后，部分同學(xué)喜上眉梢，仍有不少同學(xué)眉頭緊鎖.)

師：從剛才大家的表現(xiàn)來看，可能一些同學(xué)已經(jīng)有了思路，下面以小組為單位，對(duì)剛才的思考進(jìn)行交流，看看能否擦出思維的火花.

(教師巡視5分鐘之后，討論漸息，大部分同學(xué)似乎有些收獲.)

師：哪個(gè)小組派出代表交流體會(huì)，可以是成功的解法，請(qǐng)將其所以然道明，當(dāng)然也可以是困惑，那么直擊你的困惑.

圖2

(教室內(nèi)學(xué)生不由自主掌聲響起)

師：哪位同學(xué)來評(píng)價(jià)一下？

生3：這種圖形構(gòu)造很巧妙，看來要構(gòu)建直角坐標(biāo)系，除了有垂直、等腰等條件之外，特殊角如出現(xiàn)60°,45°，也可以創(chuàng)造性構(gòu)建直角坐標(biāo)系.

師：(適時(shí)點(diǎn)撥)這樣我們可以把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題，或由一般定量問題轉(zhuǎn)化為更精準(zhǔn)的定量問題.

師：(趁熱打鐵)向量數(shù)量積的求法在這兒已經(jīng)有了兩席，即：基底轉(zhuǎn)化(化未知向量為已知向量)，坐標(biāo)化構(gòu)造法，想想是否還可以有其它的破題角度嗎？

生4：(跑到講臺(tái)，在黑板上也畫了個(gè)圖)

圖3

(此時(shí)又是一陣掌聲)

師：哪位同學(xué)談?wù)剬?duì)這個(gè)解法的思考？

生5：有點(diǎn)意外，又合乎情理！

師：此話怎講？

生5：有點(diǎn)意外的意思是平時(shí)不太自覺地運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義來解題，但從剛才的過程可以看出，還是很方便的.合乎情理的意思是向量數(shù)量積的幾何意義是向量數(shù)量積定義的幾何解釋，也是一種重要的處理手段，又應(yīng)該向這個(gè)方向去思考.

師：我在批閱時(shí)也發(fā)現(xiàn)有同學(xué)有這樣的想法，可能受到原題中圖形形狀的影響，直觀性得不到體現(xiàn)，解題過程受阻.因此將圖形轉(zhuǎn)換到合適的狀態(tài)下，進(jìn)而構(gòu)造出相似三角形.

師：看來收獲不小呢！再接再厲，還有其它想法沒有？

(沉默了好一會(huì)兒)

生6：老師我們小組有個(gè)想法，圖形轉(zhuǎn)換到合適狀態(tài)，將圖形特殊化，構(gòu)造成兩個(gè)特殊圖形，如圖4，圖5，仿生2的做法即可.(解答與生2類似，坐標(biāo)法略)

圖4 圖5

師：你是怎么想到的呢？

圖6

師：了不起的想法，與生2比較，圖形特殊化，運(yùn)算簡(jiǎn)單，解法優(yōu)化.點(diǎn)個(gè)贊！

師：這叫什么方法？

生：(眾)極限構(gòu)造法

師：(追問)你是怎么想到的？

(一陣驚嘆，一陣掌聲)

師：太好了！我們一起為該同學(xué)點(diǎn)贊！

師：同學(xué)們，今天大家從多角度對(duì)該題進(jìn)行了剖析，讓一道解法單一的向量小題精神煥發(fā)、活力四射，讓我們體驗(yàn)了對(duì)答題深入細(xì)致的剖析、積極主動(dòng)的交流、充滿靈性的思維帶來的真正價(jià)值.下面我們趁熱打鐵，對(duì)原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊晖卣梗?/p>

(同學(xué)們靜靜地在紙上演算著…，不一會(huì)兒，就有了答案，筆者經(jīng)過查看，上述幾種解法都有，限于篇幅，此處僅舉一種解法，其余不再一一贅述.)

生8：我是按極限的觀點(diǎn)來思考的(配圖).

圖7

圖8

生10：按生5、生6、生7的思考：

圖9

師：(總結(jié))在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即以什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造．

構(gòu)造法解題過程的程序框圖：

圖10

二、實(shí)踐反思

1.在解題練習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法

在問題解決中運(yùn)用思想方法，增強(qiáng)了學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí).解題的過程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí)，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與所求結(jié)論間的差異的過程.用數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性；對(duì)習(xí)題靈活變通，引伸推廣，有助于培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性.

2.在復(fù)習(xí)小結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)中培養(yǎng)思想方法

在基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)小結(jié)中要注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，要揭示數(shù)學(xué)思想方法在知識(shí)互相聯(lián)系、互相溝通的關(guān)系，充分展現(xiàn)知識(shí)形成發(fā)展過程，揭示其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法.本題是關(guān)于平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)的考查，本身難度不大，屬于中檔題，可以依靠向量本身的運(yùn)算性質(zhì)到相應(yīng)的結(jié)論.但是如果采用向量的幾何運(yùn)算，就可以使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化，有思維量而少計(jì)算量，而且整個(gè)思維過程充滿技巧，小巧而有趣，充分反應(yīng)了平面幾何和平面向量交匯點(diǎn)試題巧妙的特點(diǎn).另外，構(gòu)造法的威力不可小覷，數(shù)形結(jié)合的思想是創(chuàng)新解題中永恒的主題.

總之，“微專題”實(shí)施，不是標(biāo)新立異，不是對(duì)傳統(tǒng)經(jīng)典專題的否定和顛覆，而是有機(jī)穿插，“以小見大”，旨在一改以往復(fù)習(xí)課的沉悶、枯燥和低效，力求把學(xué)生帶進(jìn)復(fù)習(xí)的“場(chǎng)”中，促其主動(dòng)地學(xué)，有效地學(xué).當(dāng)然“微專題”的實(shí)施，對(duì)教師自身也提出了更高的要求，促使教師不斷走進(jìn)生本和文本的更深處，充分駕馭課堂和學(xué)生，這樣的課堂才充滿生機(jī)和無限魅力.