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        基于重要方法應用的微專題復習——以“高考中的構(gòu)造法應用”為例

        2016-12-17 03:13:43江蘇省如皋市第一中學226500
        中學數(shù)學研究(江西) 2016年12期
        關(guān)鍵詞:向量圖形解題

        江蘇省如皋市第一中學 (226500)

        潘 佩

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        基于重要方法應用的微專題復習
        ——以“高考中的構(gòu)造法應用”為例

        江蘇省如皋市第一中學 (226500)

        潘 佩

        基于數(shù)學重要方法進行應用是微專題設置的一種重要方式.數(shù)學復習有兩條線:一條是明線,即數(shù)學知識的復習;一條是暗線,即數(shù)學思想方法的復習.而數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓,是學生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶,是學生把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學生良好數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的載體,是衡量數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)學能力的重要標志.下面,以“高考中的構(gòu)造法應用”為例,談談筆者對基于重要方法應用的微專題復習的認識.

        本專題用時為1課時.本節(jié)課的教學對象是江蘇省四星級高中如皋市第一中學的學生,學生數(shù)學基礎(chǔ)掌握較扎實、思維能力較強,有一定的自主探究的意識和合作交流的能力.本節(jié)課的教學實錄如下:

        一、教學片斷實錄

        師:著名數(shù)學家G·波利亞(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)說:“構(gòu)造一個輔助問題是一項重要的思維活動”,而這一重要的思維活動就是我們通常所說的構(gòu)造法.所謂“構(gòu)造法”是指在解題時,我們常常會通過對條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造輔助元素,它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等,架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而找到解決問題的思路、方法.此法重在“構(gòu)造”,它體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想,滲透著猜想、試驗、探索、概括等重要方法,是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.

        師:歷史上有不少著名的數(shù)學家,如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人,都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學上的難題.近幾年來,構(gòu)造法及其應用又逐漸為數(shù)學教育界所重視,在數(shù)學高考中有著一定的地位.(激發(fā)學生的求知欲)(小組討論5')

        圖1

        師:下面請一位同學談一談該題應如何解.

        學生1:(另配圖)教師板書

        師:除此之外,是否還有其他解法?請大家再次認真審題.

        (教師巡視3分鐘之后,部分同學喜上眉梢,仍有不少同學眉頭緊鎖.)

        師:從剛才大家的表現(xiàn)來看,可能一些同學已經(jīng)有了思路,下面以小組為單位,對剛才的思考進行交流,看看能否擦出思維的火花.

        (教師巡視5分鐘之后,討論漸息,大部分同學似乎有些收獲.)

        師:哪個小組派出代表交流體會,可以是成功的解法,請將其所以然道明,當然也可以是困惑,那么直擊你的困惑.

        圖2

        (教室內(nèi)學生不由自主掌聲響起)

        師:哪位同學來評價一下?

        生3:這種圖形構(gòu)造很巧妙,看來要構(gòu)建直角坐標系,除了有垂直、等腰等條件之外,特殊角如出現(xiàn)60°,45°,也可以創(chuàng)造性構(gòu)建直角坐標系.

        師:(適時點撥)這樣我們可以把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題,或由一般定量問題轉(zhuǎn)化為更精準的定量問題.

        師:(趁熱打鐵)向量數(shù)量積的求法在這兒已經(jīng)有了兩席,即:基底轉(zhuǎn)化(化未知向量為已知向量),坐標化構(gòu)造法,想想是否還可以有其它的破題角度嗎?

        生4:(跑到講臺,在黑板上也畫了個圖)

        圖3

        (此時又是一陣掌聲)

        師:哪位同學談談對這個解法的思考?

        生5:有點意外,又合乎情理!

        師:此話怎講?

        生5:有點意外的意思是平時不太自覺地運用向量數(shù)量積的幾何意義來解題,但從剛才的過程可以看出,還是很方便的.合乎情理的意思是向量數(shù)量積的幾何意義是向量數(shù)量積定義的幾何解釋,也是一種重要的處理手段,又應該向這個方向去思考.

        師:我在批閱時也發(fā)現(xiàn)有同學有這樣的想法,可能受到原題中圖形形狀的影響,直觀性得不到體現(xiàn),解題過程受阻.因此將圖形轉(zhuǎn)換到合適的狀態(tài)下,進而構(gòu)造出相似三角形.

        師:看來收獲不小呢!再接再厲,還有其它想法沒有?

        (沉默了好一會兒)

        生6:老師我們小組有個想法,圖形轉(zhuǎn)換到合適狀態(tài),將圖形特殊化,構(gòu)造成兩個特殊圖形,如圖4,圖5,仿生2的做法即可.(解答與生2類似,坐標法略)

        圖4 圖5

        師:你是怎么想到的呢?

        圖6

        師:了不起的想法,與生2比較,圖形特殊化,運算簡單,解法優(yōu)化.點個贊!

        師:這叫什么方法?

        生:(眾)極限構(gòu)造法

        師:(追問)你是怎么想到的?

        (一陣驚嘆,一陣掌聲)

        師:太好了!我們一起為該同學點贊!

        師:同學們,今天大家從多角度對該題進行了剖析,讓一道解法單一的向量小題精神煥發(fā)、活力四射,讓我們體驗了對答題深入細致的剖析、積極主動的交流、充滿靈性的思維帶來的真正價值.下面我們趁熱打鐵,對原題進行適當?shù)囊晖卣梗?/p>

        (同學們靜靜地在紙上演算著…,不一會兒,就有了答案,筆者經(jīng)過查看,上述幾種解法都有,限于篇幅,此處僅舉一種解法,其余不再一一贅述.)

        生8:我是按極限的觀點來思考的(配圖).

        圖7

        圖8

        生10:按生5、生6、生7的思考:

        圖9

        師:(總結(jié))在運用構(gòu)造法時,一要明確構(gòu)造的目的,即以什么目的而構(gòu)造;二要弄清楚問題的特點,以便依據(jù)特點確定方案,實現(xiàn)構(gòu)造.

        構(gòu)造法解題過程的程序框圖:

        圖10

        二、實踐反思

        1.在解題練習中培養(yǎng)數(shù)學思想方法

        在問題解決中運用思想方法,增強了學生自覺運用數(shù)學思想方法的意識.解題的過程就是在數(shù)學思想的指導下,合理聯(lián)想提取相關(guān)知識,調(diào)用一定數(shù)學方法加工、處理題設條件及知識,逐步縮小題設與所求結(jié)論間的差異的過程.用數(shù)學思想方法,進行一題多解的練習,有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性,靈活性,敏捷性;對習題靈活變通,引伸推廣,有助于培養(yǎng)思維的深刻性,抽象性.

        2.在復習小結(jié)基礎(chǔ)知識中培養(yǎng)思想方法

        在基礎(chǔ)知識的復習小結(jié)中要注重知識的內(nèi)在聯(lián)系,要揭示數(shù)學思想方法在知識互相聯(lián)系、互相溝通的關(guān)系,充分展現(xiàn)知識形成發(fā)展過程,揭示其中蘊涵的豐富的數(shù)學思想方法.本題是關(guān)于平面向量的基礎(chǔ)知識的考查,本身難度不大,屬于中檔題,可以依靠向量本身的運算性質(zhì)到相應的結(jié)論.但是如果采用向量的幾何運算,就可以使運算得以簡化,有思維量而少計算量,而且整個思維過程充滿技巧,小巧而有趣,充分反應了平面幾何和平面向量交匯點試題巧妙的特點.另外,構(gòu)造法的威力不可小覷,數(shù)形結(jié)合的思想是創(chuàng)新解題中永恒的主題.

        總之,“微專題”實施,不是標新立異,不是對傳統(tǒng)經(jīng)典專題的否定和顛覆,而是有機穿插,“以小見大”,旨在一改以往復習課的沉悶、枯燥和低效,力求把學生帶進復習的“場”中,促其主動地學,有效地學.當然“微專題”的實施,對教師自身也提出了更高的要求,促使教師不斷走進生本和文本的更深處,充分駕馭課堂和學生,這樣的課堂才充滿生機和無限魅力.

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