江蘇省如皋市第一中學(xué) (226500)
潘 佩
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基于重要方法應(yīng)用的微專題復(fù)習(xí)
——以“高考中的構(gòu)造法應(yīng)用”為例
江蘇省如皋市第一中學(xué) (226500)
潘 佩
基于數(shù)學(xué)重要方法進(jìn)行應(yīng)用是微專題設(shè)置的一種重要方式.?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)有兩條線:一條是明線,即數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí);一條是暗線,即數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí).而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是學(xué)生把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的載體,是衡量數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志.下面,以“高考中的構(gòu)造法應(yīng)用”為例,談?wù)劰P者對(duì)基于重要方法應(yīng)用的微專題復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí).
本專題用時(shí)為1課時(shí).本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是江蘇省四星級(jí)高中如皋市第一中學(xué)的學(xué)生,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)掌握較扎實(shí)、思維能力較強(qiáng),有一定的自主探究的意識(shí)和合作交流的能力.本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄如下:
師:著名數(shù)學(xué)家G·波利亞(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)說:“構(gòu)造一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng)”,而這一重要的思維活動(dòng)就是我們通常所說的構(gòu)造法.所謂“構(gòu)造法”是指在解題時(shí),我們常常會(huì)通過對(duì)條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造輔助元素,它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等,架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而找到解決問題的思路、方法.此法重在“構(gòu)造”,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想,滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法,是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.
師:歷史上有不少著名的數(shù)學(xué)家,如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人,都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題.近幾年來,構(gòu)造法及其應(yīng)用又逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視,在數(shù)學(xué)高考中有著一定的地位.(激發(fā)學(xué)生的求知欲)(小組討論5')
圖1
師:下面請(qǐng)一位同學(xué)談一談該題應(yīng)如何解.
學(xué)生1:(另配圖)教師板書
師:除此之外,是否還有其他解法?請(qǐng)大家再次認(rèn)真審題.
(教師巡視3分鐘之后,部分同學(xué)喜上眉梢,仍有不少同學(xué)眉頭緊鎖.)
師:從剛才大家的表現(xiàn)來看,可能一些同學(xué)已經(jīng)有了思路,下面以小組為單位,對(duì)剛才的思考進(jìn)行交流,看看能否擦出思維的火花.
(教師巡視5分鐘之后,討論漸息,大部分同學(xué)似乎有些收獲.)
師:哪個(gè)小組派出代表交流體會(huì),可以是成功的解法,請(qǐng)將其所以然道明,當(dāng)然也可以是困惑,那么直擊你的困惑.
圖2
(教室內(nèi)學(xué)生不由自主掌聲響起)
師:哪位同學(xué)來評(píng)價(jià)一下?
生3:這種圖形構(gòu)造很巧妙,看來要構(gòu)建直角坐標(biāo)系,除了有垂直、等腰等條件之外,特殊角如出現(xiàn)60°,45°,也可以創(chuàng)造性構(gòu)建直角坐標(biāo)系.
師:(適時(shí)點(diǎn)撥)這樣我們可以把定性問題轉(zhuǎn)化為定量問題,或由一般定量問題轉(zhuǎn)化為更精準(zhǔn)的定量問題.
師:(趁熱打鐵)向量數(shù)量積的求法在這兒已經(jīng)有了兩席,即:基底轉(zhuǎn)化(化未知向量為已知向量),坐標(biāo)化構(gòu)造法,想想是否還可以有其它的破題角度嗎?
生4:(跑到講臺(tái),在黑板上也畫了個(gè)圖)
圖3
(此時(shí)又是一陣掌聲)
師:哪位同學(xué)談?wù)剬?duì)這個(gè)解法的思考?
生5:有點(diǎn)意外,又合乎情理!
師:此話怎講?
生5:有點(diǎn)意外的意思是平時(shí)不太自覺地運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義來解題,但從剛才的過程可以看出,還是很方便的.合乎情理的意思是向量數(shù)量積的幾何意義是向量數(shù)量積定義的幾何解釋,也是一種重要的處理手段,又應(yīng)該向這個(gè)方向去思考.
師:我在批閱時(shí)也發(fā)現(xiàn)有同學(xué)有這樣的想法,可能受到原題中圖形形狀的影響,直觀性得不到體現(xiàn),解題過程受阻.因此將圖形轉(zhuǎn)換到合適的狀態(tài)下,進(jìn)而構(gòu)造出相似三角形.
師:看來收獲不小呢!再接再厲,還有其它想法沒有?
(沉默了好一會(huì)兒)
生6:老師我們小組有個(gè)想法,圖形轉(zhuǎn)換到合適狀態(tài),將圖形特殊化,構(gòu)造成兩個(gè)特殊圖形,如圖4,圖5,仿生2的做法即可.(解答與生2類似,坐標(biāo)法略)
圖4 圖5
師:你是怎么想到的呢?
圖6
師:了不起的想法,與生2比較,圖形特殊化,運(yùn)算簡(jiǎn)單,解法優(yōu)化.點(diǎn)個(gè)贊!
師:這叫什么方法?
生:(眾)極限構(gòu)造法
師:(追問)你是怎么想到的?
(一陣驚嘆,一陣掌聲)
師:太好了!我們一起為該同學(xué)點(diǎn)贊!
師:同學(xué)們,今天大家從多角度對(duì)該題進(jìn)行了剖析,讓一道解法單一的向量小題精神煥發(fā)、活力四射,讓我們體驗(yàn)了對(duì)答題深入細(xì)致的剖析、積極主動(dòng)的交流、充滿靈性的思維帶來的真正價(jià)值.下面我們趁熱打鐵,對(duì)原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊晖卣梗?/p>
(同學(xué)們靜靜地在紙上演算著…,不一會(huì)兒,就有了答案,筆者經(jīng)過查看,上述幾種解法都有,限于篇幅,此處僅舉一種解法,其余不再一一贅述.)
生8:我是按極限的觀點(diǎn)來思考的(配圖).
圖7
圖8
生10:按生5、生6、生7的思考:
圖9
師:(總結(jié))在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí),一要明確構(gòu)造的目的,即以什么目的而構(gòu)造;二要弄清楚問題的特點(diǎn),以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案,實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.
構(gòu)造法解題過程的程序框圖:
圖10
1.在解題練習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法
在問題解決中運(yùn)用思想方法,增強(qiáng)了學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí).解題的過程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下,合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí),調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí),逐步縮小題設(shè)與所求結(jié)論間的差異的過程.用數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)行一題多解的練習(xí),有助于培養(yǎng)思維的發(fā)散性,靈活性,敏捷性;對(duì)習(xí)題靈活變通,引伸推廣,有助于培養(yǎng)思維的深刻性,抽象性.
2.在復(fù)習(xí)小結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)中培養(yǎng)思想方法
在基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)小結(jié)中要注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,要揭示數(shù)學(xué)思想方法在知識(shí)互相聯(lián)系、互相溝通的關(guān)系,充分展現(xiàn)知識(shí)形成發(fā)展過程,揭示其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)思想方法.本題是關(guān)于平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)的考查,本身難度不大,屬于中檔題,可以依靠向量本身的運(yùn)算性質(zhì)到相應(yīng)的結(jié)論.但是如果采用向量的幾何運(yùn)算,就可以使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化,有思維量而少計(jì)算量,而且整個(gè)思維過程充滿技巧,小巧而有趣,充分反應(yīng)了平面幾何和平面向量交匯點(diǎn)試題巧妙的特點(diǎn).另外,構(gòu)造法的威力不可小覷,數(shù)形結(jié)合的思想是創(chuàng)新解題中永恒的主題.
總之,“微專題”實(shí)施,不是標(biāo)新立異,不是對(duì)傳統(tǒng)經(jīng)典專題的否定和顛覆,而是有機(jī)穿插,“以小見大”,旨在一改以往復(fù)習(xí)課的沉悶、枯燥和低效,力求把學(xué)生帶進(jìn)復(fù)習(xí)的“場(chǎng)”中,促其主動(dòng)地學(xué),有效地學(xué).當(dāng)然“微專題”的實(shí)施,對(duì)教師自身也提出了更高的要求,促使教師不斷走進(jìn)生本和文本的更深處,充分駕馭課堂和學(xué)生,這樣的課堂才充滿生機(jī)和無限魅力.