翟愛國

(江蘇省興化市戴南高級中學(xué)，225721)

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一道課本習(xí)題的啟發(fā)

翟愛國

(江蘇省興化市戴南高級中學(xué)，225721)

課本習(xí)題 (《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》必修2第88頁“探究·拓展”15)已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點A(1,2),求過兩點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線的方程.

解 因為直線a1x+b1y+1=0,a2x+b2y+1=0都過點A(1,2),所以a1+2b1+1=0,a2+2b2+1=0.由于P1(a1,b1),P2(a2,b2)均適合方程x+2y+1=0,且兩點確定一條直線,所以所求直線的方程為x+2y+1=0.

點評 等式a1+2b1+1=0和a2+2b2+1=0是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點A(1,2)的代數(shù)表示.由a1+2b1+1=0和a2+2b2+1=0得到過兩點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線的方程x+2y+1=0,此為上面兩個代數(shù)表達(dá)式賦予點在直線上的幾何意義.這種幾何圖形的運用在數(shù)學(xué)中所具有的最大優(yōu)勢就是直觀易懂,能解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問題.若本題把問題所求改成“求過兩點P1(a1,2b1),P2(a2,2b2)的直線的方程”,學(xué)生很容易寫出所求直線的方程為x+y+1=0.

m2+am+2b=0.

設(shè)點P(a,2b),則點P(a,2b)在直線mx+y+m2=0上,a2+4b2為點P(a,2b)到定點O(0,0)的距離的平方.從而

等號當(dāng)且僅當(dāng)m=±2,即t=±1時成立.

比如，解方程組

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,把x、y看成是方程z2-7z+6=0的兩根,解方程得z=1或z=6.從而原方程組的解是

解 聯(lián)立方程組

消去y,解得x=-4或x=0.

分析 由求解式子的特點可以聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進(jìn)行處理.

下面求解DG.延長DB至點F,使BF=AG,連結(jié)GF,此時構(gòu)出一個Rt?DGF,在這個直角三角形中，有

在代數(shù)問題中，直觀運用幾何圖形常常體現(xiàn)在利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義,通過構(gòu)造幾何圖形,進(jìn)而幫助求解相關(guān)代數(shù)問題,或者簡化相關(guān)代數(shù)運算.幾何直觀能力的培養(yǎng)有利于學(xué)生理解和解決數(shù)學(xué)問題,有助于學(xué)生發(fā)展思維能力和創(chuàng)新能力.隨著新課程理念不斷深入,幾何直觀能力的教育價值也日益提升,如何培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力也成為數(shù)學(xué)教育中的一個熱點問題.

綜上所述,幾何直觀值得我們給予足夠的重視,它有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中借助幾何直觀進(jìn)行解題的例子不在少數(shù),幾何直觀不僅僅是一種解題方法,幾何直觀更是一種能力或意識,它的培養(yǎng)是一個漫長的過程.教師要在平時教學(xué)過程中不斷滲透和總結(jié),讓這種意識常伴學(xué)生左右,讓學(xué)生在理解和運用中不斷提升自身的幾何直觀能力,最終促進(jìn)學(xué)生發(fā)展.