蔡振樹

(福建省石獅市第三中學(xué)，362700)

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對校本化作業(yè)下數(shù)學(xué)試題命制的思索

蔡振樹

(福建省石獅市第三中學(xué)，362700)

命題是中學(xué)教師平時教學(xué)工作的一個重要環(huán)節(jié),同時也是教師專業(yè)發(fā)展的重要支點．對數(shù)學(xué)學(xué)科而言,一道好的試題的命制,往往是教師辛勞的付出,當然也是一份收獲．試題是數(shù)學(xué)作業(yè)的重要組成部分,其校本化就是將先進的教育思想、課程方案加以具體化、行為化．好的題目能發(fā)揮其學(xué)習(xí)考查功能,對提升教學(xué)和復(fù)習(xí)有效性也是大有裨益的．因此,在教學(xué)中如能加強試題命制方法的研究,既是平時教學(xué)的需要,更是高考復(fù)習(xí)的重點,知己知彼,定能百戰(zhàn)不殆!

一、試題命制的依據(jù)

校本化作業(yè)下的試題命制,它的直接依據(jù)應(yīng)該是課程標準及考試說明.命制時要以中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識為載體,立足數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì),堅持從學(xué)科的整體意義上選材立意,堅持能力立意,全面考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．

同時，要追求合理的知識結(jié)構(gòu)和能力層次,注重發(fā)揮開放性、探索性試題的評價功能．試題應(yīng)體現(xiàn)“基礎(chǔ)”、“交匯”、“能力”、“應(yīng)用”、“探究”、“開放”、“數(shù)學(xué)本質(zhì)”、“數(shù)學(xué)文化”等關(guān)鍵詞．命題的目的是通過試題的功能來鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),檢測學(xué)習(xí)效果,實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標．

二、例說校本化作業(yè)下試題命制的方法

1. 由歷年高考試題改編而成

對歷年高考試題的結(jié)論進行改造、類比、推廣、遷移是快速得到好題的一個途徑．當然如能在本質(zhì)上加以改造更好,尤其應(yīng)針對學(xué)生實際,注重校本化研究,提高學(xué)習(xí)的有效性．這是平時教學(xué)研究和練習(xí)鞏固等最常采用的方法．

例1 某學(xué)校高三年級共有500名同學(xué),在某次數(shù)學(xué)單元測試中,成績的頻數(shù)分布表如下:

分數(shù)[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數(shù)102080170分數(shù)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)120602020

(1)用分層抽樣的方法從成績在[120,130),[130,140)和[140,150]的同學(xué)中共抽取5人,其中成績在[120,130)的有幾人?

(2)從(1)中抽出的5人中,任取2人,求成績在[120,130)和[130,140)中各有1人的概率?

本題來源自2013年廣東高考題:從一批蘋果中隨機抽取50個，其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:

分組(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)頻數(shù)(個)5102015

(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率;

(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80,85)的有幾個?

(3) 在(2)中抽出的4個蘋果中任取2個，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率.

2. 在教科書中尋找題源背景

教科書的各個角落都可成為命題出發(fā)點,對其進行深入的改造,可得到很好的適合校本的好題．教材的許多素材可以作為試題的背景,或者對其進行二次改編可得．

例2 圖1中三角形稱為Sierpinski三角形,其中第n個三角形中的黑色小三角形的個數(shù)為an,等差數(shù)列{bn}滿足:b1=a2,b4=a3.

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;

(2)寫出數(shù)列{an}的一個通項公式,并求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn.

本題來自普通高中數(shù)學(xué)必修5第二章數(shù)列中的問題,選其為背景,設(shè)置數(shù)列的基礎(chǔ)問題,考查其通項公式及求和.

以教材問題為背景來自課本的靈感的試題在高考題命制中也經(jīng)常發(fā)生．如2013年高考福建卷的題目:在正方形OABC中,O為坐標原點,點A的坐標為(10,0),點C的坐標為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,…A9和B1,B2,…B9,連結(jié)OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N*,1≤i≤9).

(1)求證:點Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;

(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若?OCM與?OCN的面積比為4∶1,求直線l的方程.

本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力與推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想.該試題就源自于普通高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章圓錐曲線與方程習(xí)題2.2B組第4題:

3. 在知識交匯處尋找亮點

考試大綱明確指出:“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合”,“強調(diào)知識之間的交叉、滲透和綜合,體現(xiàn)綜合性”.因此，在各知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題,也將是命題的必然趨勢．一般地,每一個試題都有一個主考知識點與幾個次考知識點構(gòu)成．如今的趨勢,常常冷熱交織,“熱”即主干知識,“冷”即非主干考點．

(1)求證:AC⊥PB;

本題考查的是立體幾何的基本問題,研究空間幾何的平行與垂直位置關(guān)系,它把高考中少見的直觀圖問題嫁接進來設(shè)置試題.試題由直觀圖與立體幾何問題自然交匯而成,不失為一道好題．

4. 從期刊雜志中獲取靈感

中學(xué)數(shù)學(xué)期刊雜志的文章中,有對各種數(shù)學(xué)結(jié)論的探究,有對各類試題的研究評價等,只要認真研讀,或許其中的某一個點就能激起的思維的火花,成為命題的落腳點,實現(xiàn)試題命制的校本化．

例4 已知點M到點F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程;

本題來自《數(shù)學(xué)通訊》中介紹的一道日本高考題.受其啟發(fā),改編背景和設(shè)問方式,并進一步加強得到一般結(jié)論,體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．

5. 應(yīng)用多媒體工具發(fā)現(xiàn)結(jié)論

幾何畫板、超級畫板、 Microsoft Visio 等作圖軟件是命題者進行數(shù)學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要工具.通過這些作圖軟件進行圖像繪制,得到的圖形十分精準、直觀,修正改動時也更加直接、方便.在例5的命制過程中,筆者就是借助幾何畫板,研究函數(shù)y=ln x+x與其切線的關(guān)系,從而觀察出三個結(jié)論,進而命制成題的.

例5 已知函數(shù)f(x)=ln x-ax在點A(1,f(1))處切線為l.

(1)當切線l的斜率為2時,求實數(shù)a的值;

(2)證明:無論a取何值,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線l的下方(點A除外);

(3)設(shè)點Q(x0,f(x0)),當x0>1時,直線QA的斜率恒小于2,試求實數(shù)a的取值范圍.

三、對教學(xué)的啟發(fā)

課本是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體,特別是在新課的教授階段．很多試題在課本中都能找到題源．因此，校本化的一個不變的原則就是“源于課本,又不囿于課本”．我們必須重視課本知識的回顧和整理,對課本知識重新認識,挖掘其更深層次的內(nèi)容,充分發(fā)揮課本上的例題和習(xí)題的典型作用,二次進行開發(fā),進而提高學(xué)習(xí)效率,達到事半功倍的學(xué)習(xí)效果．克服脫離教材的“題海戰(zhàn)術(shù)”,取材于教材習(xí)題的合理改造是校本化的重要方式,因而課本理應(yīng)成為學(xué)習(xí)的根本．

夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，注重校本實際．通過基礎(chǔ)知識的掌握,加深對數(shù)學(xué)思想的理解,從而強化數(shù)學(xué)意識,掌握解題方法,提高解題能力,積累解題信心,以不變應(yīng)萬變,兵來將擋,水來土掩．要全面落實課程標準,不隨意忽視所謂的“冷門知識”．知識的交匯就是創(chuàng)新,注意在知識交匯處命題是跳出“模式化”的關(guān)鍵,是需要深入研究的教學(xué)立足點,是更高層次的校本化．

基于作業(yè)校本化下的試題命制要求教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的差異,針對性地在各層次學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之中設(shè)計一定量的題目,以此調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)中的積極因素,使作業(yè)與學(xué)生學(xué)習(xí)相互適應(yīng)．通過有計劃的實施,使不同層次的學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上獲得較好的發(fā)展,達到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.由此培養(yǎng)學(xué)生掌握和運用知識的能力,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性,真正達到使每一個學(xué)生都能得到充分發(fā)展的目的．

(本文是福建省教育科學(xué)十三五規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)作業(yè)校本化的實踐研究》(立項編號FJJKXB16-192)的研究成果之一)