江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

朱勝杰●

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應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題討論

江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

朱勝杰●

轉(zhuǎn)化和化歸的思想就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某些圖形性質(zhì)、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目睥.轉(zhuǎn)化和化歸思想是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用十分廣泛，我們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常運(yùn)用此思想方法，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題.轉(zhuǎn)化和化歸的思想就是要我們深刻理解并靈活運(yùn)用新舊知識(shí)之間的關(guān)系.

轉(zhuǎn)化；分式方程；增根

本文通過(guò)實(shí)例研究應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解題.

例1 如圖1所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)，弦CE交AB于D點(diǎn)，連接OE，AC，BC，已知∠POE=2∠CAB,∠P=∠E.

(1)求證：CE⊥AB；

(2)求證：PC是⊙O的切線；

(3)若BD=2OD，且PB=9，求⊙O的半徑及tan∠P的值.

分析 對(duì)于分式方程，我們是將其轉(zhuǎn)化為整式方程求解，轉(zhuǎn)化的途徑是去分母，也就是用分式方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母去乘以方程的兩邊，化為整式方程，但這樣的轉(zhuǎn)化得到的整式方程可能與原方程不一定同解，有可能產(chǎn)生增根，因此解分式方程時(shí)必須對(duì)求出的解進(jìn)行驗(yàn)根.

方程兩邊都乘以x(x+2)(x-2),得(x-4)(x-2)=x+2-2x.

整理后，得x2-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是原方程的根，x=2是增根，應(yīng)舍去.

檢驗(yàn)的方法有兩種，一種方法是將所求出的未知數(shù)的值代入原方程兩邊進(jìn)行檢驗(yàn)，兩邊相等則是原方程的解，兩邊不相等則是增根，另一種方法是把變形后所得的整式方程的根代入所乘的整式，如果代入后這個(gè)整式為零，這個(gè)根就是原方程的增根，如果代入后這個(gè)整式不為零，這個(gè)根就是原方程的根.

轉(zhuǎn)化思想貫穿于數(shù)學(xué)的始終，三角函數(shù)的定義、解直角三角形的前提是在直角三角形中，而通常給出的是斜三角形、四邊形(特別是梯形)，因此解題時(shí)，常常通過(guò)作高(或垂線)將斜三角形、四邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，此外，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再借助于解直角三角形的知識(shí)求解.

本題求不規(guī)則圖形的面積要轉(zhuǎn)化為角直角三角形或特殊的四邊形的面積來(lái)求.

解法1 如圖2(1)所示，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AD于點(diǎn)F，則BE⊥AB，EF⊥AD ∴四邊形ABEF是矩形 ∴∠CBE=120°,90°30°,∠D=180°-120°=60°.

此題給出了兩種不同的解答方法，一是適當(dāng)添加輔助線，把不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形和直角梯形求解；二是通過(guò)補(bǔ)形，把不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形.兩種方法的實(shí)質(zhì)是將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)求解.

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