向國(guó)銳

(成都七中實(shí)驗(yàn)中學(xué)，四川 成都 610000)

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

S=S1+S2+S3

S=2πr2+2πrh

minS=2πr2+2πrh

V2=V3=2πr2a

V材=V1+V2+V3=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3+4πr2a

V材≈V=2πrha+4πr2a

minV=2ahπr+4aπr2

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對(duì)易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

向國(guó)銳

(成都七中實(shí)驗(yàn)中學(xué)，四川 成都 610000)

本文考慮了生活中已知容積(體積)的易拉罐材料最省問(wèn)題，在容積不變的情況下，分別討論了易拉罐材料的表面積以及體檢的最優(yōu)模型。利用極值存在原理，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)的方法，分別給出了在不同情形下的易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)，同時(shí)得到用料最少時(shí)罐體的高與半徑的關(guān)系。

容積；設(shè)計(jì)；易拉罐

1 問(wèn)題介紹

在生活中隨處可見(jiàn)的如加多寶、王老吉、可口可樂(lè)等易拉罐飲料，如果我們仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)他們的形狀大小極其相似,皆大體是一個(gè)直圓柱形狀。那么為何規(guī)格也極其相似，我將就此形狀建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)說(shuō)明材料最省的規(guī)格，給出優(yōu)化方案。

2 模型的建立與求解

2.1 易拉罐的體積測(cè)量

選啤酒罐(罐上標(biāo)量355毫升)作為材料，測(cè)量其真實(shí)容積，為了避免一次測(cè)試造成的人為誤差，多次測(cè)量并求平均值作為最終容積。

將啤酒罐裝滿(mǎn)水后倒入500毫升量筒內(nèi)，平視液面凹處并讀數(shù)。重復(fù)上述操作十次，記錄每次的讀數(shù)，數(shù)據(jù)如表1所示。算出十次測(cè)量的平均值作為最終容積。

表1 啤酒罐容積的10次測(cè)量數(shù)據(jù)

求十次測(cè)量平均值并作為真實(shí)體積，得到容積平均值為364.95毫升。為了便于計(jì)算，下面將罐體容積按V0=365毫升進(jìn)行計(jì)算。

2.2 易拉罐模型的建立與求解

易拉罐的上下底面可近視為圓面，側(cè)壁是平滑的柱形，其底面與側(cè)壁連接處的卷邊以及上底面的拉環(huán)等小技巧設(shè)計(jì)所用的材料統(tǒng)統(tǒng)忽略，即把該易拉罐形狀假設(shè)為圓柱體，只考慮構(gòu)成這圓柱體所用的材料，并以此建立模型求出最優(yōu)時(shí)的解。

2.2.1 忽略厚度的圓柱體模型的建立與求解

假設(shè)圓柱體各個(gè)面的厚度相同，并將厚度忽略不計(jì)。此時(shí)，設(shè)圓柱體高為h,底面半徑為r，表面積為S(如圖1所示)。圓柱體表面積大小即所用材料多少。

圖1 忽略壁面厚度的罐體圓柱體模型

設(shè)S1,S2代表上下底面面積，S3代表側(cè)面面積，則有

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

因?yàn)閳A柱體的表面積為上、下底面面積和側(cè)面面積之和，即

S=S1+S2+S3

故有，

S=2πr2+2πrh

從而得到在容積一定的情況下，表面積的優(yōu)化模型為

minS=2πr2+2πrh

(1)

為了求解上述優(yōu)化模型，先從(2)式中求得

(4)

將(4)式帶入(1)式中，得

(5)

解得

(6)

將r的取值帶入(4)式，得到

(7)

2.2.2 計(jì)入圓柱體厚度的模型建立與求解

在實(shí)際中圓柱體各面厚度并不相同，上下兩底面厚度基本相同且大于側(cè)壁的厚度,通過(guò)對(duì)易拉罐的實(shí)際測(cè)量,管壁厚度約為0.1毫米，罐蓋和罐底的厚度是其他部分厚度的2倍左右。設(shè)側(cè)壁厚度為a,上下兩底面厚度為2a。圓柱體內(nèi)部空間高為h,圓柱體內(nèi)半徑為r，易拉罐所用材料體積為V材(如圖2所示)，易拉罐所用材料的體積V材大小即材料的用量。

圖2 考慮壁面厚度的罐體圓柱體模型

V1代表考慮厚度后易拉罐側(cè)壁的材料體積，V2，V3分別代表罐頂蓋和罐低的材料體積，則有

V1=[π(r+a)2-πr2](h+4a)=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3

(8)

V2=V3=2πr2a

(9)

用，可得易拉罐所用材料的體積

V材=V1+V2+V3=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3+4πr2a

(10)

因?yàn)楸诿婧穸萢相對(duì)于罐體半徑r很小，因此(10)中的含有a2,a3的項(xiàng)可以忽略，得到

V材≈V=2πrha+4πr2a

從而得到在容積一定的情況下，所用材料體積的優(yōu)化模型為

minV=2ahπr+4aπr2

(11)

類(lèi)似于模型(1),(2)和(3)的求解，從(12)中求得，

(14)

將(14)帶入(11)中，并利用極值原理求解，得到方程

(15)

求解(15),得到

(16)

將(16)帶入(14)可得

(17)

[1] 徐茂良,鄧啟良,劉睿,鄭波.易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,27(2):105-108

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