張 磊， 曹躍云， 楊自春

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

?

迭代總體最小二乘正則化的近場(chǎng)聲全息方法研究

張 磊， 曹躍云， 楊自春

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，武漢 430033)

為有效解決近場(chǎng)聲全息(Near-field Acoustic Holograph，NAH)技術(shù)在水下振動(dòng)聲源識(shí)別方法中面臨不適定性問(wèn)題，將平面NAH技術(shù)的聲源識(shí)別過(guò)程轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)的求解過(guò)程，探明聲源識(shí)別中不適定性問(wèn)題產(chǎn)生的根源，考慮全息面測(cè)量聲壓和傳遞矩陣均存在誤差，提出牛頓迭代的總體最小二乘(NTLS)正則化方法穩(wěn)定NAH重建過(guò)程。新方法以TLS正則化算法為基礎(chǔ)建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)函數(shù)改化為具有凸函數(shù)的性質(zhì)；然后采用具有二階收斂速度牛頓迭代法求解；基于L曲線法特性，提出自適應(yīng)迭代方法確定正則化參數(shù)。開(kāi)展了NAH仿真和試驗(yàn)研究，提出構(gòu)建良態(tài)傳遞矩陣的策略，最終驗(yàn)證了NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下振動(dòng)聲源識(shí)別和定位中具有較好的精度。

近場(chǎng)聲全息；總體最小二乘；正則化方法；聲源識(shí)別

當(dāng)前，通過(guò)控制艦船水下的噪聲水平來(lái)推進(jìn)艦船的安靜化進(jìn)程是增強(qiáng)海軍艦船生命力和戰(zhàn)斗力的重要途徑，也已成為各海軍強(qiáng)國(guó)水下技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)的焦點(diǎn)[1]。而水下噪聲源識(shí)別是噪聲控制的首要也是最重要的工作之一。近場(chǎng)聲全息 (Near-field Acoustic Holography，NAH)技術(shù)能全面利用聲場(chǎng)信息，具有抗干擾性好、可視化效果好等優(yōu)點(diǎn)，已成為一種非常有效的水下聲源識(shí)別方法[2]。NAH技術(shù)的聲源識(shí)別過(guò)程是典型的聲學(xué)反問(wèn)題，該反問(wèn)題常具有不適定的特點(diǎn)，主要表現(xiàn)為全息面微小的測(cè)量誤差都會(huì)引起較大的聲源識(shí)別誤差，甚至完全失真，此問(wèn)題在水下復(fù)雜的噪聲環(huán)境中顯得尤為突出。該不適定性問(wèn)題是準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)聲源識(shí)別的難點(diǎn)所在，也已成為學(xué)者們迫切關(guān)注的問(wèn)題。

WILLIAMS等[3]為消除NAH方法中的不適定性問(wèn)題對(duì)聲場(chǎng)重建結(jié)果的影響，比較了正則化方法如Tikhonov法，Landweber迭代法，共軛梯度法，并探討了正則化參數(shù)確定方法(如GCV法、Morozov誤差法等)對(duì)正則化結(jié)果的影響。DLILLO等[4]在NAH技術(shù)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中采用改進(jìn)共軛梯度法實(shí)現(xiàn)了正則化處理。畢傳興等[5]以分布源邊界點(diǎn)的NAH理論為基礎(chǔ)，改進(jìn)Landweber迭代正則化方法穩(wěn)定NAH聲場(chǎng)重建過(guò)程。JESPER[6]引入了一種新的NCP正則化參數(shù)確定方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證優(yōu)于L曲線法和GCV法。李凌志等[7]采用等效噪聲方差方法確定正則化參數(shù)，但該方法需要事先得知噪聲水平等先驗(yàn)知識(shí)，限制了其應(yīng)用。賀春東等[8]通過(guò)在全息面與源面之間布置一個(gè)小型輔助面，改進(jìn)共軛梯度正則化方法來(lái)穩(wěn)定NAH的重建過(guò)程，并驗(yàn)證新算法在計(jì)算精度和效率上均優(yōu)于Landweber迭代的NAH方法。

為了解決NAH技術(shù)在聲源識(shí)別中涉及的不適定問(wèn)題，目前主要采用最小二乘(Least Squares，LS)的正則化方法。但因構(gòu)建聲振傳遞矩陣過(guò)程也會(huì)存在截?cái)?、?shù)值處理等誤差，這時(shí)，總體最小二乘 (Total Least Squares，TLS)正則化方法是一個(gè)最佳選擇。為此，筆者將剖析NAH技術(shù)在聲源識(shí)別過(guò)程中產(chǎn)生不適定性的根本原因，對(duì)TLS正則化方法進(jìn)行深入研究，提出融合三種新策略的牛頓(Newton)迭代TLS正則化的NAH技術(shù)，克服聲源識(shí)別過(guò)程中存在的不足。最后，經(jīng)仿真算例和試驗(yàn)，驗(yàn)證了NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下聲源識(shí)別和定位時(shí)的有效性和魯棒性。

1 NAH技術(shù)及其離散化過(guò)程

由NAH理論，位于平面zH上的空間點(diǎn)(x,y,z)的復(fù)聲壓可由格林公式求解得到

p(x,y,zH)=

?Sp(x′,y′,zs)g(x-x′,y-y′,z-zs)dx′dy′

(1)

對(duì)方程(1)兩邊進(jìn)行二維空間FFT變換后，源面振速V和全息面聲壓P在波數(shù)域內(nèi)滿足

P(kx,ky,zH)=GN(kx,ky,d)V(kx,ky,zS)ρ0c0k

(2)

式中:d=zH-zS，變換域的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為(x，y)?(kx，ky)，且

GN(kx,ky,d)=eikzd/kz

(3)

(4)

由式(2)可得到如下關(guān)系

(5)

FpH=GFvS

(6)

pH=F-1GFvS=HvS

(7)

2 NTLS正則化方法

TLS問(wèn)題的準(zhǔn)則為[7]

(8)

式中:設(shè)b=pH，x=vS，滿足b0=H0x，H，p為包含噪聲時(shí)的量，當(dāng)H0=H時(shí)，不考慮系數(shù)矩陣的誤差，此時(shí)TLS準(zhǔn)則等效于LS準(zhǔn)則。將式(8)進(jìn)行Tikhonov正則化，得到以下的目標(biāo)函數(shù)

(9)

式中:L為正則化矩陣，E為系數(shù)矩陣的誤差，r為觀測(cè)向量的誤差，λ為正則化參數(shù)。構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)

(10)

(11)

可見(jiàn)，式(11)為無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題，但該函數(shù)的凹凸性未知。求解該過(guò)程面臨的主要問(wèn)題為代價(jià)函數(shù)(11)一般為非凸函數(shù)，易產(chǎn)生不收斂的序列，不易獲得全局收斂解，且不可避免增加運(yùn)算的復(fù)雜度，從而降低了計(jì)算效率[9-10]。因此非常有必要對(duì)式(11)進(jìn)行相應(yīng)的改化，提高算法的有效性。采用迭代算法時(shí)，考慮到迭代過(guò)程中，每一步迭代所部分恢復(fù)的結(jié)果可作為下一步運(yùn)算的先驗(yàn)知識(shí)，在不失一般性的前提下，將代價(jià)函數(shù)(11)分母中的量x取為前一步的迭代結(jié)果即xk-1，得到以下方程

(12)

易見(jiàn)，改化策略保證了目標(biāo)函數(shù)迭代的連續(xù)性，尤為值得注意的是，改化后的代價(jià)函數(shù)從非凸函數(shù)變?yōu)榱送购瘮?shù)，該特性將明顯提高方程(12)的求解效率。

綜上，為高效、穩(wěn)定的解決Tikhonov正則化的TLS問(wèn)題(11)，本節(jié)提出三個(gè)新策略：首先，將代價(jià)函數(shù)(11)改化為具有凸函數(shù)性質(zhì)的代價(jià)函數(shù)(12)；其次，在式(12)的基礎(chǔ)上采用自適應(yīng)迭代方法確定正則化參數(shù)；最后，采用具有二階收斂速度牛頓(Newton)迭代法求解式(12)，因改化后目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正定，保證所產(chǎn)生的方向是目標(biāo)函數(shù)在xk處的下降方向。此處稱該算法為NTLS算法，其計(jì)算流程如下：

(1) 設(shè)定外部循環(huán)的容許誤差ε，0<ε?1，外部循環(huán)的最大迭代次數(shù)kmax

(2) 設(shè)定內(nèi)部循環(huán)的容許誤差ξ，0<ξ?1，內(nèi)部循環(huán)的最大迭代次數(shù)lmax

(3) 假設(shè)迭代初始向量xk-1=x)k∈n×1，初始迭代正則化參數(shù)λk，k=1

(4) 開(kāi)始外部循環(huán)

(4.1) 內(nèi)部循環(huán)進(jìn)程

(c) 否則計(jì)算Gl=2f(xl)，計(jì)算搜索方向Gldl=-gl

(4.4) 令k:=k+1

(4.5) 若收斂條件η<ε或k>kmax，執(zhí)行步驟 5

(5) 結(jié)束外部循環(huán)

為進(jìn)一步提高算法的收斂性能，在第k步外部循環(huán)時(shí)，選取xk-1作為NTLS方法的迭代的初始值。

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證NTLS正則化的NAH技術(shù)的有效性，以0.3 m×0.3 m簡(jiǎn)支板聲源為例(位于xoy坐標(biāo)平面，x∈[-0.15,0.15]，y∈[-0.15,0.15])，板厚度為0.006 m，該簡(jiǎn)支板完全浸入水中。施加外部激勵(lì)力，作用于板的中心，激勵(lì)力F=160 N，激勵(lì)頻率范圍為500～1 000 Hz。為從源頭上減少NAH實(shí)現(xiàn)過(guò)程的誤差，可通過(guò)控制參數(shù)選取來(lái)構(gòu)建較為良態(tài)的傳遞矩陣。以參考文獻(xiàn)[12]中參數(shù)選取原則，選取全息面為1 m×1 m的平面，采樣間隔0.05 m，全息面與聲源的距離d=0.1 m。采用Ansys和Virtual.Lab實(shí)現(xiàn)水下振動(dòng)-聲輻射的仿真計(jì)算。為模擬噪聲的影響，同時(shí)對(duì)傳遞矩陣H和觀測(cè)向量pH加入不同程度的隨機(jī)擾動(dòng)噪聲，信噪比約為40 dB。NTLS方法實(shí)現(xiàn)時(shí)，選取ε=10-6，ξ=10-6, 迭代初始值x0=0n×1,迭代初始正則化參數(shù)λ1=10-2，最大迭代數(shù)分別為kmax=500，lmax=5 000，L為一階差分矩陣。采用下式來(lái)評(píng)估重建相對(duì)誤差

(13)

在水下聲源識(shí)別之前，利用條件數(shù)對(duì)聲場(chǎng)傳遞矩陣的病態(tài)性進(jìn)行診斷和度量，即圖1為方程(7)中傳遞矩陣H的條件數(shù)隨著全息面測(cè)量距離的變換曲線(頻率f=750 Hz)?？梢?jiàn)，隨著測(cè)量距離的增加，條件數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)且數(shù)值較大。究其原因，主要是聲場(chǎng)重建過(guò)程中，聲場(chǎng)中的聲波有高波數(shù)倏逝波和低波數(shù)傳播波，前者只能在近場(chǎng)傳遞，而后者可達(dá)遠(yuǎn)場(chǎng)。NAH技術(shù)就是充分利用了倏逝波成分，能獲得高分辨率的重建圖像和豐富的聲場(chǎng)信息。高波數(shù)倏逝波成分對(duì)應(yīng)傳遞矩陣中小的奇異值，隨著測(cè)量距離的增加，將難以獲取遠(yuǎn)場(chǎng)的高頻成分，即奇異值將不斷變小，對(duì)應(yīng)的條件數(shù)將變得很大，傳遞矩陣病態(tài)性將越嚴(yán)重。此處取全息測(cè)量面距源面的距離d=0.1 m，對(duì)應(yīng)的條件數(shù)為3.028×109，顯然為嚴(yán)重病態(tài)矩陣。

圖1 測(cè)量距離對(duì)條件數(shù)的影響Fig.1 Variation of condition number of matrixH with the measurement distance

圖2(頻率f=750 Hz)為聲源表面實(shí)測(cè)的振動(dòng)速度響應(yīng)幅值云圖，圖中顯示了主要聲源的位置以及聲場(chǎng)的具體分布情況。圖3(頻率f=750 Hz)為式(7)直接重建的結(jié)果，因傳遞矩陣的嚴(yán)重病態(tài)，而且傳遞矩陣和全息測(cè)量面的聲壓信息均存在一定測(cè)量或數(shù)據(jù)處理誤差，導(dǎo)致聲源重建的主要聲源位置與實(shí)際位置相距甚遠(yuǎn)，且速度幅值明顯大于真實(shí)值。顯然，由式(7)重建的聲源結(jié)果是不可信的，失去了重構(gòu)價(jià)值。圖4(頻率f=750 Hz)為本文提出的NTLS正則化NAH技術(shù)的聲源重建云圖，從圖中可以看出，NTLS正則化NAH技術(shù)重構(gòu)聲源分布趨勢(shì)與實(shí)際吻合較好，準(zhǔn)確地定位了主要噪聲源的位置，重建的振動(dòng)速度幅值具有較好的精度。因此，在NAH技術(shù)重建聲場(chǎng)的過(guò)程中，正則化技術(shù)是不可或缺的重要組成部分，筆者提出的NTLS正則化NAH技術(shù)能夠有效的實(shí)現(xiàn)水下振動(dòng)聲源的識(shí)別與定位。

為了對(duì)比不同正則化NAH技術(shù)的效果，圖5給出了在不同頻率處不同正則化方法的聲源重建結(jié)果的相對(duì)誤差，分別為直接測(cè)量法、Tikhonov正則化方法輔以L曲線確定正則化參數(shù)(LS正則化方法)、NTLS算法。從圖中可看出：正則化處理后的聲源重建結(jié)果大大優(yōu)于直接重建結(jié)果，后者重建誤差基本保持在10 dB以上，已經(jīng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)聲場(chǎng)的重建，進(jìn)一步證明了正則化技術(shù)在近場(chǎng)聲全息過(guò)程中的重要性；LS正則化方法沒(méi)有對(duì)傳遞矩陣和觀測(cè)向量可能存在的誤差進(jìn)行綜合考慮，其重建速度場(chǎng)的誤差普遍高于NTLS算法?？梢?jiàn)，筆者提出的NTLS算法在近場(chǎng)聲全息的聲源重建時(shí)，能夠更加貼近于工程實(shí)際，聲源識(shí)別和定位的精度更高。

圖2 聲源表面實(shí)測(cè)振速分布Fig.2 Exact solutions on the source surface

圖3 直接重建的聲源表面振速分布Fig.3 Reconstructed normal velocity without regularization

圖4 NTLS方法重建的聲源表面振速分布Fig.4 Reconstructed normal velocity using NTLS method

圖5 不同正則化方法的重建誤差比較Fig.5 Reconstructed error of the different regularizationmethods

4 實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證提出的NTLS方法在水下聲源識(shí)別中的有效性和優(yōu)越性，對(duì)換能器聲場(chǎng)進(jìn)行平面近場(chǎng)聲全息測(cè)試與分析實(shí)驗(yàn)。本次實(shí)驗(yàn)是在北京某消聲水池進(jìn)行，水池尺寸為16 m×8 m×8 m，6面消聲，換能器發(fā)射面直徑0.17 m。發(fā)射信號(hào)參數(shù)：發(fā)射連續(xù)的sinc函數(shù)信號(hào)，頻率為1 kHz。具體的測(cè)量參數(shù)選取為換能器與測(cè)量面1距離為0.225 m，換能器距水面距離為3.8 m，掃描面尺寸為1.8 m×1.44 m(位于xoy坐標(biāo)平面，x∈[0,1.8]，y∈[0,1.44])，測(cè)量空間點(diǎn)間隔為0.06 m×0.06 m。

結(jié)合距離聲源0.425 m的測(cè)量面2的測(cè)試數(shù)據(jù)，采用NTLS正則化NAH技術(shù)重構(gòu)得到距離聲源0.225 m測(cè)量面1的聲壓幅值，如圖7所示。圖6為直接測(cè)量的結(jié)果，圖8為未經(jīng)正則化處理即(式(7))的重建的聲壓分布。

圖6 測(cè)量面的聲壓分布Fig.6 Exact solutions on the holograph plane

圖7 NTLS方法重建的聲壓分布 Fig.7 Reconstructed sound field using NTLS method

從圖6～9比較可以看出：基于NTLS方法重構(gòu)的聲場(chǎng)與直接測(cè)量聲場(chǎng)云圖的分布趨勢(shì)基本相同，兩者的聲壓幅值吻合較好，而且反演面的聲壓分布和聲壓幅值精度都要明顯優(yōu)于基于LS正則化方法反演的結(jié)果。而未經(jīng)正則化的NAH技術(shù)重構(gòu)的聲場(chǎng)分布情況與直接測(cè)量的值存在較大差別，且幅值普遍偏大，這主要是因?yàn)閭鬟f矩陣病態(tài)特性的存在，數(shù)據(jù)在測(cè)量和處理時(shí)存在的微小誤差在反演過(guò)程中將被放大。若不采用合理的方法對(duì)NAH技術(shù)進(jìn)行修正，任何較小的誤差都可能使重建結(jié)果變得毫無(wú)意義。而本文提出的NTLS方法能夠在近場(chǎng)聲全息實(shí)現(xiàn)過(guò)程中避免這種不足帶來(lái)的誤差，保證了聲源識(shí)別和定位的可靠性和穩(wěn)定性。圖9為基于NTLS方法重建的距離聲源0.005 m的聲場(chǎng)分布圖，其與實(shí)際振源的位置比較吻合。

圖8 LS方法重建的聲壓分布 Fig.8 Reconstructed sound field using NTLS method

圖9 直接計(jì)算測(cè)量面的聲壓分布Fig.9 Reconstructed sound field without regularization

圖10 NTLS方法重建聲源的聲壓分布Fig.10 Reconstructed pressure using NTLS method on the source surface

5 結(jié) 論

近場(chǎng)聲全息在聲源識(shí)別過(guò)程中存在典型的不適定性問(wèn)題，將導(dǎo)致聲場(chǎng)無(wú)法重建、聲源識(shí)別錯(cuò)誤，這在水下復(fù)雜的噪聲環(huán)境中顯得尤為突出。為此，本文提出能綜合考量聲振傳遞矩陣和全息測(cè)量面誤差影響的NTLS正則化的NAH技術(shù)，其具有較好的收斂性、穩(wěn)定性、編程易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)NAH的仿真算例和試驗(yàn)，證明了正則化處理在NAH技術(shù)實(shí)現(xiàn)聲源識(shí)別過(guò)程中是不可或缺的，而筆者提出的NTLS正則化方法優(yōu)于現(xiàn)存LS正則化方法，前者重建聲源分布云圖與實(shí)際測(cè)量結(jié)果趨勢(shì)相同，更加準(zhǔn)確地定位了主要噪聲源位置。NTLS正則化的NAH技術(shù)在水下聲源識(shí)別時(shí)能夠更加貼近于工程實(shí)際，其聲源識(shí)別和定位的精度更高。

[1] 曹躍云，張磊，楊自春．艦船振動(dòng)噪聲傳遞路徑分析及試驗(yàn)驗(yàn)證[J]．振動(dòng)與沖擊，2013，32(22)：158-162． CAO Yueyun, ZHANG Lei, YANG Zichun. Transfer path analysis of ship vibration sources and experimental validation[J]. Journal of Vibration and Shock，2013，32(22)：158-162．

[2] 郭小霞．水下結(jié)構(gòu)輻射噪聲源快速診斷識(shí)別研究[D]．哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2012.

[3] WILLIAMS E G，HOUSTON B H．Fast fourier transform and singular value decomposition formulations for patch nearfield acoustical holography[J]．J. Acoust. Soc. Am., 2003，114(3): 1322-1333．

[4] DELILLO T，HRYCAK T，ISAKOV V．Theory and boundary element methods for near-field acoustic holography[J]．Journal of Computational Acoustics，2005，13(1)：163-185.

[5] 畢傳興，陳心昭，周蓉，等．Landweber迭代近場(chǎng)聲全息[J]．科學(xué)通報(bào)，2006，51(9):1101-1111. BI Chuanxing, CHEN Xinzhao, ZHOU Rong, et al. The near-field acoustic holography based on iteration landweber [J]. Chinese Science Bulletin, 2006，51(9):1101-1111.

[6] JESPER G. A study on regularizration parameter choice in near-field acoustical holography[J]．J. Acoust. Soc. Am.，2008，123(5)：3385．

[7] 李凌志，李駿，盧炳武， 等．平面近場(chǎng)聲全息中的正則化參數(shù)的確定[J]．聲學(xué)學(xué)報(bào)， 2012,35(2): 170-178． LI Lingzhi, LI Jun, LU Bingwu, et al. The determination of regularization parameters in planar nearfield acoustic holography[J]. ACTA Acoustic, 2012,35(2): 170-178．

[8] 賀春東，畢傳興，徐亮，等．用于近場(chǎng)聲全息正則化的共軛梯度法[J]．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2011，24(1)：67-72． HE Chundong, BI Chuanxing, XU Liang, et al. Regularization of the distributed source boundary point method based nearfield acoustic holography by using conjugate gradient algorithm[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011，24(1)：67-72．

[9] MAZIAR S，HOSSEIN Z．Computational experiments on the tikhonov regularization of the total least squares problem[J]．Computer Science Journal of Moldova，2009，17(1)：14-25．

[10] BECK A，BEN-TAL A，KANZOW C．A fast method finding the global solution of the regularized structured total least squares problem for image deblurring[J]．SIAM Matrix Anal. Appl.，2008，30(1)：419-443．

[11] ORAINTARA S，KARL W C，CASTANON D A，et al．A method for choosing the regularization parameter in generalized tikhonov regularization linear inverse problems．image processing[J]．Proceedings，2000，1：93-96．

[12] 辛雨．基于空間聲場(chǎng)變換的近場(chǎng)聲全息參數(shù)選取及重建誤差研究[D]．合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2009．

Near field acoustic holography based on Newton iteration total least square regularization

ZHANG Lei, CAO Yueyun, YANG Zichun

(Power Engineering College, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Near field acoustic holography (NAH) is a very powerful tool for identifying sound sources. The identification process based on NAH was firstly converted into solving linear equations here, it was a linear, ill-posed inverse problem. And then, the ill-conditioned property of the ill-posed problem was ascertained. To find meaningful solutions to such a system, a novel Newton iteration total least squar (NTLS) method when both the transfer matrix and the measured sound pressure were contaminated by errors was proposed. The NTLS method included three parts. Firstly, Tikhonov regularization for a TLS problem was converted into an unconstrained optimization problem with properties of a convex function, the optimization problem was solved with Newton iteration method. Secondly, the adaptive strategy for selecting regularization parameters was established. Finally, the robustness and effectiveness of the proposed method were demonstrated with NAH simulations and tests. The results showed that the NTLS method provides a significant improvement for identifying and locating sound sources.

near field acoustic holography; total least square; regularization method; sound source identification

總裝十二五預(yù)研基金

2015-07-14 修改稿收到日期：2015-09-22

張磊 男，博士，講師，1986年生

曹躍云 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生 E-mail: soaring66@163.com

TB532;U66.44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.015