王海龍， 李 正， 胡 敏， 李士玲， 龔 謙

(1. 山東省激光偏光與信息技術(shù)重點實驗室， 曲阜師范大學 物理工程學院， 山東 曲阜 273165;2. 中國科學院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所 信息功能材料國家重點實驗室, 上海 200050)

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GaInAsP/InP階梯量子阱中電子-電子的散射率

王海龍1*， 李 正1， 胡 敏1， 李士玲1， 龔 謙2

(1. 山東省激光偏光與信息技術(shù)重點實驗室， 曲阜師范大學 物理工程學院， 山東 曲阜 273165;2. 中國科學院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所 信息功能材料國家重點實驗室, 上海 200050)

在有效質(zhì)量近似下，利用打靶法和費米黃金定則計算出GaxIn1-xAsyP1-y/InP階梯量子阱中兩個及多個電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率及平均散射率。計算結(jié)果表明，電子-電子的散射率和平均散射率隨Ga組分和阱寬的增大而升高，隨As組分的增大而降低。散射率隨電子初態(tài)能和外加電場強度的增大而降低，平均散射率隨載流子濃度的增大而升高。電子溫度對平均散射率的影響不明顯，平均散射率隨著電子溫度的升高而稍微降低。

GaxIn1-xAsyP1-y/InP； 階梯量子阱； 電子； 費米黃金定則； 散射率

1 引 言

低維半導體材料因為其獨特的物理結(jié)構(gòu)和特性，被廣泛應用于各種光電子器件[1-3]。量子阱作為一種重要的低維半導體結(jié)構(gòu)，具有獨特的電學和光學性質(zhì)[4-6]。其中，階梯量子阱(SQW)由于阱中階梯的存在破壞了阱結(jié)構(gòu)的對稱性，這可以增強激光器的自發(fā)輻射復合率和光學增益，其較強的量子尺寸效應和應變效應能夠減小價帶中載流子的有效質(zhì)量，降低態(tài)密度，在新型半導體光電子器件制作中有重要應用[7-11]。GaInAsP/InP異質(zhì)結(jié)構(gòu)由于不含Al組分，其性能相對穩(wěn)定，并且可以在較大的范圍內(nèi)對組分進行調(diào)節(jié)，基于GaInAsP材料的激光器的激射波長在1.1～1.65 μm范圍內(nèi)可任意選擇，包含了用于光通信的1.3 μm與1.55 μm兩個低色散、低損耗窗口，在通信領(lǐng)域中占有重要地位[12-14]。

載流子的散射是一種重要的物理過程，它會限制載流子在半導體材料中的漂移速度和遷移率，從而影響半導體器件的工作性能。因此，對載流子散射的研究具有重要的意義，近年來一直是研究熱點[15-19]。在以前的工作中，我們研究了Ga1-xInxNyAs1-y/GaAs量子阱中電子-縱向光學聲子的散射率[19]，目前對GaxIn1-xAsyP1-y/InP階梯量子阱中電子-電子散射率的研究還未見報道。本文在有效質(zhì)量近似下，利用打靶法和費米黃金定則計算了GaxIn1-xAsyP1-y/InP 階梯量子阱中兩個及多個電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率和平均散射率。計算結(jié)果可以對基于階梯量子阱結(jié)構(gòu)以及GaxIn1-xAsyP1-y/InP材料的光電器件的設(shè)計提供一定的理論依據(jù)。

2 理論模型與方法

一個一般的不顯含時間的薛定諤方程可以寫為其中m*和ψ(z)分別為電子的有效質(zhì)量和波函數(shù)，V(z)為一維限制勢。

在一階導數(shù)定義的基礎(chǔ)上，式(1)可以寫為

(2)

上式需滿足以下標準邊界條件：

(3)

式(2)被稱為打靶方程。在本文中，電子的基態(tài)能、第一激發(fā)態(tài)能以及對應的波函數(shù)都由式(2)計算得到。

定義外加電場沿著阱的生長方向，則外加電場下阱中的限制勢V(z)變?yōu)閂(z)-eF(z-z0), 其中，F(xiàn)為外加電場強度，e為元電荷，位置z0代表外加電場的原點，這里選取阱的中心。將外加電場下阱中的限制勢代入到公式(2)中，可計算出外加電場下電子的基態(tài)能、第一激發(fā)態(tài)能以及對應的波函數(shù)。

(4)

(5)

其中ε為材料的介電常數(shù)，r為兩電子間的距離。

量子阱中，電子的波函數(shù)為

(6)

其中，k為波矢，rxy為x-y平面內(nèi)的位置矢量。

把式(5)、(6)代入式(4)，其中的矩陣元的形式變?yōu)?/p>

(7)

其中，初態(tài)子帶下標是“i”和“j”，末態(tài)子帶下標為“f”和“g”。

利用庫侖勢的二維傅里葉變換，上式變?yōu)?/p>

(8)

(9)

將表征矩陣元素的式(8)代入式(4)，可得

(10)

將末態(tài)波矢的和轉(zhuǎn)換為積分，并引入分布函數(shù)Pj,f,g(ki,kf,kg)，可得

(11)

上式為一個有特定波矢ki的電子和另一個電子的散射率表達式。

關(guān)于kj的積分可以通過有效的平面極坐標來求解，并且沿著長度kij和在ki與kj之間的角度α周圍進行積分，最終可得兩個電子之間電子-電子的散射率：

(12)

實際情況下初態(tài)子帶中應有多個電子，因此需要通過費米-狄拉克分布來對散射率求平均，即

(13)

其中引入上標k是為了表明這是與波矢ki有關(guān)的平面內(nèi)的動能。上式的分母可以表示為

(14)

由于平面內(nèi)電子能量可以用一個波矢來表示，并且

(15)

(16)

因此平均散射率為

(17)

3 結(jié)果與討論

本文計算的階梯量子阱結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，勢壘為200nm的InP，階梯層為10nm的Ga0.07In0.93As0.15P0.85，阱為不同Ga、As組分的GaxIn1-xAsyP1-y。GaxIn1-xAsyP1-y的能帶偏移率取67∶33，禁帶寬度和電子的有效質(zhì)量分別為[20]：

Eg=1.35-y+1.4x-0.33xy-

(0.758-0.28y)x(1-x)-

(0.101+0.109x)y(1-y) eV,

(18)

0.0948y+0.0391(1-x)y]m0,

(19)

其中，m0為真空中自由電子的質(zhì)量。

Fig.1StructureofGaxIn1-xAsyP1-ysteppedQWforcalculation

圖2 阱中不同組分下電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率隨電子初態(tài)能的變化情況。 (a) 不同的As組分；(b)不同的Ga組分。

Fig.2Scatteringrateforelectron-electroninitiallyinthefirstexcitedsubbandandfinallyinthegroundsubbandasafunctionoftheinitialelectronenergywithdifferentalloycompositionsinquantumwell. (a)DifferentAscompositions. (b)DifferentGacompositions.

表1 阱寬為10 nm的阱中不同組分下電子的基態(tài)能E1、第一激發(fā)態(tài)能E2及子帶能級差E21

Tab.1GroundstateenergyE1,firstexcitedstateenergyE2andsubbandseparationE21oftheelectronwithdifferentalloycompositionsinquantumwellfor10nmwellwidth

組分Ga(x)0.350.30.350.4As(y)0.70.750.80.75E1/meV34.9837.3139.739.3237.3135.23E2/meV136.2146.49157.04155.35146.49137.31E21/meV101.22109.18117.34116.03109.18102.08

圖3給出了在阱中不同的Ga和As組分下，兩個電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的平均散射率隨電子溫度的變化情況，其中阱寬取10 nm，載流子濃度取1010cm-2。從圖中可以看出，當Ga的組分不變時，電子-電子的平均散射率隨著As組分的增加而降低；而當As的組分不變時，電子-電子的平均散射率隨著Ga組分的增加而升高。這與圖2中電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率隨阱中組分的變化趨勢相同，可見子帶能級差E21越大，散射的轉(zhuǎn)移能量越大，這同樣會導致平均散射率降低。

圖3 在阱中不同的組分下電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的平均散射率隨電子溫度的變化情況。(a) 不同的As組分；(b) 不同的Ga組分。

Fig.3 Mean scattering rate for electron-electron initially in the first excited subband and finally in the ground subband as a function of the electron temperature with different alloy compositions in quantum well. (a) Different As compositions. (b) Different Ga compositions.

圖4和圖5分別給出了阱寬對電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率及平均散射率的影響，其中電子溫度取300 K，阱中Ga與As的組分分別取0.35與0.75。圖中電子-電子的散射率和平均散射率都隨阱寬的增大而升高。這是因為阱中電子的基態(tài)能和第一激發(fā)態(tài)能會隨著阱寬的增加而減小，其子帶能級差E21也相應減小，導致散射的轉(zhuǎn)移能量減小，因此散射率和平均散射率升高?？梢娳鍖拰ι⑸渎屎推骄⑸渎实挠绊懚际窍嗤?。

圖6給出了在不同的外加電場強度下阱中電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶散射率隨電子初態(tài)能的變化情況，其中阱寬取10 nm，阱中Ga與As的組分分別取0.35與0.75，電子溫度取300 K。從圖中可以看出，阱中電子-電子的散射率隨著外加電場強度的增大而降低。這是因為兩個或多個電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶間的散射都是對稱散射，外加電場會加大對階梯量子阱中限制勢對稱性的破壞，從而增強了非對稱散射卻同時削弱了對稱散射，因此電子-電子的散射率隨場強的增大而降低。且由表2可知，當電場強度大于20 kV/cm時，子帶能級差隨場強的增加有較為明顯的增大，使得散射的轉(zhuǎn)移能量增大，這個因素也會導致散射率降低。

圖4 在不同的阱寬下阱中電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率隨電子初態(tài)能的變化情況

Fig.4 Scattering rate for electron-electron initially in the first excited subband and finally in the ground subband as a function of the initial electron energy with different well widths

Fig.5 Mean scattering rate for multiple electrons initially in the first excited subband and finally in the ground subband as a function of the well width

表2 在不同電場強度下阱寬為10 nm的阱中電子的子帶能級差E21

Tab.2 Subband separationE21of the electron in quantum well with width of 10 nm under different intensities of applied electric field

電場強度/(kV·cm-1)子帶能級差E21/meV0109.1810109.120109.1430109.2840109.5250109.8560110.26

圖7給出了阱中電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的平均散射率隨載流子濃度N的變化情況，其中阱寬取10 nm，電子溫度取300 K，阱中Ga、As的組分分別取0.35與0.75。從圖中可以看出，電子-電子的平均散射率隨著載流子濃度N的增加而升高。這是因為當Ga、As的組分、阱寬、壘寬、階梯層寬度和電子溫度都固定不變時，電子的基態(tài)能E1、第一激發(fā)態(tài)能E2以及子帶能級差E21也都保持不變。在這種情況下，載流子濃度N越大，電子之間的聯(lián)系越緊密，散射的能量轉(zhuǎn)移也越容易發(fā)生，那么平均散射率也隨之而升高。

圖6 在不同的外加電場強度下阱中電子-電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率隨電子初態(tài)能的變化情況

Fig.6 Scattering rate for electron-electron initially in the first excited subband and finally in the ground subband as a function of the initial electron energy under different intensities of applied electric field

Fig.7 Mean scattering rate for multiple electrons initially in the first excited subband and finally in the ground subband as a function of the carrier density

4 結(jié) 論

在有效質(zhì)量近似下，利用打靶法計算出GaxIn1-xAsyP1-y/InP階梯量子阱中電子的基態(tài)能、第一激發(fā)態(tài)能以及對應的波函數(shù)，并利用費米黃金定則求得兩個及多個電子從第一激發(fā)態(tài)子帶到基態(tài)子帶的散射率及平均散射率隨阱中不同的Ga、As組分、阱寬、電子初態(tài)能、電子溫度、載流子濃度、外加電場強度的變化情況。計算結(jié)果表明：電子-電子的散射率和平均散射率隨Ga組分和阱寬的增大而升高，隨As組分和外加電場強度的增大而降低。散射率隨電子初態(tài)能的增大而降低，平均散射率隨載流子濃度的增大而升高。電子溫度對平均散射率的影響不明顯，平均散射率會隨著電子溫度的升高而略為降低。計算結(jié)果能夠?qū)陔A梯量子阱結(jié)構(gòu)和GaxIn1-xAsyP1-y/InP材料的光電子器件的設(shè)計提供一定的理論依據(jù)。

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王海龍(1971- ),男，山東莘縣人，博士，教授，博士生導師，2000年于中國科學院半導體研究所獲得博士學位,主要從事光通信、半導體光電子學等方面的研究。

E-mail: hlwang@mail.qfnu.edu.cn

Electron-electron Scattering Rate in GaInAsP/InP Stepped Quantum Well

WANG Hai-long1*， LI Zheng1， HU Min1, LI Shi-ling1, GONG Qian2

(1.ShandongProvincialKeyLaboratoryofLaserPolarizationandInformationTechnology,CollegeofPhysicsandEngineering,QufuNormalUniversity,Qufu273165,China;2.StateKeyLaboratoryofFunctionalMaterialsforInformatics,ShanghaiInstituteofMicrosystemandInformationTechnology,ChineseAcademyofSciences,Shanghai200050,China)

Within the framework of effective mass approximation, the scattering rate and the mean scattering rate for two electrons and multiple electrons initially in the first excited subband and finally in the ground subband in GaxIn1-xAsyP1-y/InP stepped quantum well were calculated adopting the shooting method and Fermi’s golden rule. The results show that the electron-electron scattering rate and the mean scattering rate increase with the increasing of Ga composition and well width, decrease with the increasing of As composition. The scattering rate decreases with the increasing of initial electron energy and intensity of applied electric field. The mean scattering rate increases with the increasing of carrier density. The electron temperature does not have great influence on the mean scattering rate, the mean scattering rate decreases slightly as the electron temperature rises. The calculated results can provide theory basis and guiding significance for the design of optoelectronic devices based on stepped quantum well and GaInAsP/InP material.

GaxIn1-xAsyP1-y/InP; stepped quantum well; electron; Fermi’s golden rule; scattering rate

1000-7032(2016)11-1408-07

2016-07-06；

2016-08-17

國家自然科學基金(61176065,61205055)； 山東省自然科學基金(ZR2014FM011)； 信息功能材料國家重點實驗開放課題(SKL201307)資助項目

O471.1

A

10.3788/fgxb20163711.1408

*CorrespondingAuthor,E-mail:hlwang@mail.qfnu.edu.cn