☉浙江省杭州市余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王國(guó)軍

解析幾何解題訓(xùn)練中的幾點(diǎn)注意

☉浙江省杭州市余杭實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王國(guó)軍

解析幾何是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容之一，在歷年各省市的高考命題中常以中、高檔題型出現(xiàn)，處理此類問(wèn)題的常用策略主要有：（1）幾何問(wèn)題直接代數(shù)化；（2）先把幾何問(wèn)題利用幾何方法進(jìn)行適當(dāng)處理后，再代數(shù)化.學(xué)生在解題中常因?yàn)閷?duì)平面幾何的幾何特征把握不準(zhǔn)，造成解題過(guò)程過(guò)于煩瑣，使解題半途而廢.本文對(duì)此提出以下幾種建議，供參考.

一、注意積累幾何特征代數(shù)化的經(jīng)驗(yàn)

在對(duì)解析幾何問(wèn)題的分析中不難發(fā)現(xiàn)隱藏于其中的平面幾何身影，準(zhǔn)確利用平面幾何的幾何性質(zhì)是問(wèn)題順利求解的關(guān)鍵.其中涉及較多的平面幾何中的圖形有平行四邊形、菱形、等腰三角形等.

圖1

（1）當(dāng)B是W的右頂點(diǎn)且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積.

（2）當(dāng)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由.

解析：菱形的幾何性質(zhì)綜合起來(lái)主要有以下幾點(diǎn)：

①對(duì)邊平行；②對(duì)邊相等；③對(duì)角線平分；④對(duì)角線垂直；⑤對(duì)角線中點(diǎn)重合；⑥對(duì)角線平分其面積；⑦菱形面積|等.

解題中只要準(zhǔn)確把握上述幾何特征，即可準(zhǔn)確將幾何問(wèn)題代數(shù)化.如第（2）問(wèn)判斷四邊形OABC是否可能為菱形，可從菱形的幾何特征入手：先假設(shè)對(duì)角線互相平分，再判斷對(duì)角線是否垂直.

如果題目中涉及的是平行四邊形，菱形這個(gè)條件可

以弱化為平行四邊形，結(jié)論①、②、③、⑤、⑥不變.若將點(diǎn)C去掉，將菱形這個(gè)條件改為△ABO為等腰直角三角形呢？（請(qǐng)讀者思考）

二、注意從多角度分析，預(yù)測(cè)多種途徑的繁簡(jiǎn)，以優(yōu)化解題思路

圖2

對(duì)于同一道問(wèn)題，可能有多種處理方式，有的煩，有的簡(jiǎn)，因此，在解題訓(xùn)練中要善于從不同角度分析、解決問(wèn)題，并從中選擇最優(yōu)策略.

例2如圖2，設(shè)AB、A′B′分別是圓O：x2+y2=a2和橢圓C的弦，端點(diǎn)A與A′、B與B′的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號(hào).

（2）方法1：先入為主、直奔主題.

由（1）得圓O的方程為x2+y2=4.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、A（′x1，m）、B（′x2，n）.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓O上，所以+=4①.

（x-x1），即y

直線A′B′的方程為y

該解法從題意出發(fā)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合共線原理，找到定點(diǎn)，思路簡(jiǎn)潔、易入手.但對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力提出了更高的要求.

方法2：先猜后證，峰回路轉(zhuǎn).

由（1）得圓O的方程為x2+y2=4.

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y）2.

又kA′M′=結(jié)合①式，得kA′M′=kB′M′，所以A′、M′、B′三點(diǎn)共線，即弦A′B′必過(guò)定點(diǎn)M

此解法充分利用圓與橢圓之間的關(guān)系，即圓經(jīng)過(guò)壓縮可轉(zhuǎn)化為橢圓、橢圓通過(guò)相反的變化過(guò)程可轉(zhuǎn)化為圓，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.在探究弦A′B′是否也必過(guò)某個(gè)定點(diǎn)時(shí)，巧妙利用“先猜后證”的策略，降低了問(wèn)題求解的難度.

三、注意綜合運(yùn)用合情推理與演繹推理、綜合法與分析法探索問(wèn)題解決思路

解析幾何問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，著重考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、弦長(zhǎng)公式、平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)，能有效考查考生分類與整合的思想綜合運(yùn)用能力，以及運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

別為（-2，0），（1，0）.過(guò)R作不平行于x軸的直線交橢圓于A，C，直線AP交橢圓于B，連接BR交橢圓于D.證明直線AB與直線CD的斜率之比為定值，并求出該值.

圖3

解析：題中所涉及的點(diǎn)均在橢圓上.因此可設(shè)變量直接將所有點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn).

設(shè)直線AC：y=k（x-1），A（x0，kx0-k）.將直線AC：y= k（x-1）代入橢圓方程得（1+5k2）x2-10k2x+5k2-5=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可知xC=將AP：y=（x+2）代入橢圓方程得x2+，再代入直線方程求出yB，類似地，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再由斜率公式代入化簡(jiǎn)求比值.

這種方法思維直接，容易操作，但對(duì)運(yùn)算的準(zhǔn)確性要求高，需要有扎實(shí)的基本功.真正能解出來(lái)的同學(xué)寥寥無(wú)幾.

若仔細(xì)挖掘隱含條件，不難發(fā)現(xiàn)題中4個(gè)點(diǎn)都是由兩條過(guò)點(diǎn)R的直線與橢圓相交產(chǎn)生，對(duì)稱性不言自明.故設(shè)直線BD和AC的方程，得如下簡(jiǎn)潔解法.

設(shè)直線BD：x=m1y+1；直線AC：x=m2y+1.

將x=m1y+1代入，則.同理

無(wú)疑，通過(guò)此類問(wèn)題的求解訓(xùn)練，可以有效地檢測(cè)和提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

四、注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的作用

數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)常規(guī)數(shù)學(xué)思想，滲透于高中數(shù)學(xué)各知識(shí)模塊中，解析幾何也不例外.

例4如圖4，已知拋物線C：y2= 8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|=（）.

C.3D.2

圖4

解法1：（代數(shù)法）F（2，0），P（-2，a），Q（x，y），得到x=1，代入拋物線方程得到，|QF|=3.

解法2：（幾何法）過(guò)Q點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為H，設(shè)|QF|的長(zhǎng)度為x，由拋物線的定義，|QH|=|QF|=x，由，得到，所以x=3.

數(shù)形結(jié)合就是把代數(shù)上的“數(shù)”與幾何上的“形”，結(jié)合起來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題、理解問(wèn)題的思想，它包括兩個(gè)層面，即以“形”助數(shù)，和以“數(shù)”解形.解題中要靈活應(yīng)用.

總之，我們?cè)谔幚斫馕鰩缀螁?wèn)題時(shí)既要從“大處著眼”，即在整體上把握問(wèn)題的綜合信息和處理問(wèn)題的策略，又要從“小處著手”，即在細(xì)節(jié)上能熟練運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法與技巧.注意掌握一些優(yōu)化解析運(yùn)算的策略，進(jìn)而提高我們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.F