☉浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué) 吳大鐘

滄海橫流方顯英雄本色
——2016年浙江高考數(shù)學(xué)理科第20題的解法、背景探究及建議

☉浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué) 吳大鐘

2016年高考已經(jīng)落下帷幕，作為傳統(tǒng)高考的最后一年，社會各界對浙江省高考的關(guān)注度前所未有.如何收關(guān)傳統(tǒng)高考、平穩(wěn)過渡到新高考，又如何引領(lǐng)新高考，在今年的試卷中可初見端倪.對于2016年浙江高考數(shù)學(xué)試題，筆者總體感受是“題型穩(wěn)、入口寬、坡度緩、立意精準(zhǔn)、穩(wěn)中有新、關(guān)注思維、凸顯能力”.在知識點(diǎn)考查、試題結(jié)構(gòu)、材料選取、語言表述、命題立意、思想內(nèi)涵等方面都呈現(xiàn)了這些特點(diǎn).

筆者有幸參加了2016年浙江省數(shù)學(xué)學(xué)科的閱卷工作，并有機(jī)會與命題組專家交流，受益匪淺.下面就理科卷第20題的解法進(jìn)行整理并評析，對此題的背景談一些體會與思考，希望對下一輪高三復(fù)習(xí)有所幫助.

一、解法探究

（Ⅱ）任取n∈N*，由（Ⅰ）知，對于任意m＞n，都有，故|an|＜，從而對任意m＞n均有|an|＜2+）m·2n.因?yàn)楫?dāng)m→+∞時(shí)，由m的任意性可得|an|≤2.

評析：這是命題組提供的參考答案.此解法是從絕對值三角不等式入手，結(jié)合數(shù)列方法解決.該法起步低、坡度緩，比較容易想到.此法還有考生將有理式遞推關(guān)系變?yōu)檎竭f推關(guān)系過程類似，這里不多加闡述.

（Ⅱ）任取n∈N*，由（Ⅰ）知，對于任意m＞n，|am|≥ 2m-n（|an|-2），即，故|an|≤2+，當(dāng)m→+∞時(shí)，由m的任意性可得|an|≤2.

評析：此法利用待定系數(shù)或配湊得出類遞推公式|an+1|-2≥2（|an|-2），注意此處不能寫為累乘，因?yàn)榉栁粗?，不等號可能會發(fā)生變向，而要用遞推關(guān)系不斷迭代得出結(jié)果.第（Ⅱ）小題的證明則是利用第（Ⅰ）小題的結(jié)論順勢證明，比較自然.

解法3：（Ⅰ）由|an|，故2|an|-|an+1|≤ 2，得到遞推關(guān)系|an+1|≥2|an|-2，用迭代法可知|an|≥2|an-1|-2≥2（2|an-2|-2）-2=22|an-2|-4-2≥…≥2n-1|a1|-（2+4+8+…+

2n-1）=2n-1|a1|-（2n-2）≥2n-1|a1|-2n+2≥2n-1|a1|-2n=2n-1（|a1|-2）.

（Ⅱ）同解法2.

評析：此法看似與解法2類似，其實(shí)本質(zhì)上有很大區(qū)別，遞推過程需要不斷迭代，尤其要注意在遞推關(guān)系給出后，要將后面等比數(shù)列累加求和，類似于|an|≥2|an-1|-2≥…≥2n-1（|a1|-2）的寫法都不予給分.

（Ⅱ）假設(shè)|an|＞2，由（Ⅰ）知，對于任意p∈N*，|an+p|≥ 2p（|an|-2），因?yàn)?，對任意正整?shù)n，右邊為確定的正數(shù)，記為f（n），取m=，則有m＞0，而當(dāng)p→∞時(shí)，也就是一定會存在一個(gè)p使得，與題設(shè)矛盾，故|an|＞2不成立，即|an|≤2.

評析：此法用絕對值三角不等式的順序與前幾種方法有所不同，但結(jié)果一樣.在第（Ⅱ）小題采用了反證法，更符合學(xué)生的思維習(xí)慣.還有一些解法，是以上4種解法的變形或者雜糅，不做累述.

二、背景探究

本題秉承了浙江省數(shù)學(xué)高考題的一貫特點(diǎn)：敘述簡潔、概念清晰、思維深刻、解法多樣等.“入手容易深入難”，由“知識立意”提升至“能力立意”，意蘊(yùn)深邃，平淡之中顯新意.在初看此題時(shí)是一個(gè)數(shù)列的上下界估計(jì)的問題.筆者感覺似曾相識，在與命題組專家交流后，印證了筆者的想法.原來此題的背景是人教A版教材必修一第95頁第三章“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中的例1——投資收益模型（圖1）.，以此作為題干條件.第（Ⅰ）小題的問題|an|≥2n-1（|a1|-2），其實(shí)是最終的回報(bào)不低于2n-1|a1|-2n，即數(shù)列的下界.

圖1

第（Ⅱ）小題中，如果不加條件，最終的回報(bào)很有可能指數(shù)爆炸無限上升，所以加了一個(gè)限制條件|an|≤

根據(jù)試題命制雙向細(xì)目表，第20題要考查的核心知識是數(shù)列、函數(shù)、不等式，考查的能力立意是推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.命題組專家在編制此題時(shí)，選擇把目光投向教材，巧妙地選取了人教A版教材必修一第95頁第三章“函數(shù)模型及其應(yīng)用”中的例1中的方案三：翻倍回報(bào)即指數(shù)函數(shù)模型，在保持?jǐn)?shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新拔高.設(shè)前一年的回報(bào)為an，后一年的回報(bào)為an+1，若an+1是an的兩倍，那么2an-an+1=0.但是在現(xiàn)實(shí)生活中，常常存在一定的誤差，將誤差范圍控制在2以內(nèi)，得到|2an-an+1|≤2，即，就使得最終的回報(bào)也就是an的最大值不超過2，即數(shù)列的上界.

這道壓軸題兼具函數(shù)和數(shù)列思想，具有科學(xué)性和生活氣息，使人回味無窮，是一道不可多得的好題.眾所周知，第20題作為整張?jiān)嚲淼膲狠S題，起到了選拔優(yōu)秀的、有潛力學(xué)生的功能，會有一定難度，但是一旦看破此題的背景與本質(zhì)，解決起來也就比較順利.正所謂滄海橫流方顯英雄本色.

三、幾點(diǎn)建議

基于今年浙江高考數(shù)學(xué)理科第20題解法探究和背景分析、試題命制的過程，無疑給我們平時(shí)的教學(xué)提供了有益的啟示.

1.立足課本，突出數(shù)學(xué)思想地位

以本題為例，命題組專家稱此題是課本的“福利”，再一次傳遞出一個(gè)信息：盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，已適應(yīng)不了當(dāng)前的高考.教學(xué)要回歸教材，但是回歸教材不是喊口

號，高考題不可能出現(xiàn)與課本題一模一樣，甚至形式一樣都很少，但是數(shù)學(xué)思想一定是一脈相承，此題啟發(fā)我們在回歸課本，研究課本時(shí)，不能浮于表面，而要立足教材、活于教材、高于教材.

2.注重滲透，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

從閱卷的情況看，學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況不容樂觀，主要表現(xiàn)為概念模糊、公式記錯、計(jì)算出錯、復(fù)雜運(yùn)算不能轉(zhuǎn)化、分類不明、基本的解題書寫規(guī)范亟待改進(jìn).

平時(shí)教學(xué)中要注重反思、重視思維的滲透，善于揭示數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上下功夫.

3.有本之木，嘗試科學(xué)命制試題

命制試題讓能我們的教學(xué)成為有本之木，有源之水.一線教師應(yīng)該積極嘗試自主命題.命制試題的過程需要研究高考題，可以先嘗試模仿和改編高考試題，然后再進(jìn)一步進(jìn)行原創(chuàng).教材和生活是命題靈感的來源.建議多一些理論學(xué)習(xí)，多一些實(shí)踐，將知識、方法、能力落實(shí)到具體的題目，提高立意.命制試題是科學(xué)也是藝術(shù)，命題者需要將理論與實(shí)踐想結(jié)合，同時(shí)也是青年教師提高自身專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑.

1.許曉天.立足“標(biāo)本”評析試題——安徽2013年高考理科壓軸題的分析與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（9）.

2.林望春.基礎(chǔ)與能力并重應(yīng)用與創(chuàng)新共存［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（6）.

3.盧濤.高考命題教材探源——從2012年福建省高考數(shù)學(xué)理科卷第17題談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（1）.F