☉江蘇省南京市第九中學 金玉明

借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算

☉江蘇省南京市第九中學 金玉明

新高考方案即將在今年底或者明年初出臺，相應的課標制定、課程建設、學生評價、課堂教學等一系列規(guī)范要求也即將浮出水面.我們作為一線教師，最為關注的，也是我們確實可以作為參與者參與教改的部分就是課堂教學.筆者對于數(shù)學學科核心素養(yǎng)做了一些查閱和研究，認為數(shù)學學科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關鍵能力與思維品質(zhì).數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的.數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.

下面就2016年高考江蘇卷數(shù)學第14題為例，作以下幾個方面的分析：

一、高考原題

題目在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________.

二、知識點構(gòu)成及題目來源

本題考查的知識點主要是三角變換、解三角形和函數(shù)值域的求解.題目應當可以認為是由必修四課本上的例題（證明：在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC）變形而來.

三、考查意圖

其中三角變換主要考查弦切互化和兩角和與差的正弦、余弦及正切；三角形主要用到三角形內(nèi)角和為180°及三個內(nèi)角為銳角的條件；函數(shù)問題主要用到求導的方法求最值或者換元法求復合函數(shù)最值.考查的思想方法主要有化歸思想、函數(shù)思想，有些地方也可以認為考查到了數(shù)形結(jié)合思想.以上這些方法的應用和能力的考查當然是一方面，筆者認為考查學生的數(shù)學運算能力也是本題考查的重要目標.如果在解決復合函數(shù)運算問題時，能夠經(jīng)常思考，并意識到整體代換（或者稱之為換元法）在解決問題時的重要作用，解題時更加合理使用上述方法，將會使得運算簡便的多.

四、解題方法

高考結(jié)束后，筆者跟幾位同事一起將該題仔細研究并查閱相關資料，找出了幾種解決問題的方法，幾種思路都是先使用三角變換，然后再分別使用不同的方法，所以先將三角變換的前期過程表述如下：

若sinA=2sinBsinC，在銳角三角形ABC中，A=π-（B+ C），所以sin［π-（B+C）］=2sinBsinC，即sin（B+C）= 2sinBsinC.

又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC= 2tanBtanC.

而在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.

思路一：構(gòu)造基本不等式，解決問題.

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥當且僅當tanA=2tanBtanC時取等號，即得到tanAtanBtanC≥，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值為8.

再往下的步驟又分幾種解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t＞0），變形成基本不等式形式求解，具體解法略.

（3）二次型函數(shù)法：將分子x除到分母，用整體代換（或者換元法）求二次函數(shù)的最值，即g（x）=

具體解法略.

當然，思路二的重點在于進行換元求解，然后可使思路清晰，方法恰當.

思路三：消元法解決問題. 2tanBtanC，解出tanC=tanB（tanB＞1）. 2tanB-12

思路四：數(shù)形結(jié)合解決問題.

五、核心素養(yǎng)在本題中的體現(xiàn)

本題中考查的核心素養(yǎng)，除邏輯推理以外，重點考查的顯然是數(shù)學運算能力.本題對于學生的數(shù)學運算能力要求是非常高的，學生在平時的訓練中如果只是搞題海戰(zhàn)術，讓學生盲目的做題，顯然學生的數(shù)學運算能力是不能得到應有的提高的，面對這樣的問題也只能繞道而過.只有通過認真地觀察問題的結(jié)構(gòu)特征和蘊含的數(shù)學知識點，仔細分析問題的常見思路和一般方法、特殊方法，然后用合理嚴密的邏輯語言對其表達，才能準確快速地解決問題.數(shù)學運算能力是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的，一方面，數(shù)學教學能夠形成這些能力；另一方面，數(shù)學教學過程中需要培養(yǎng)這些能力.

數(shù)學教育的核心目標有三點：會用數(shù)學眼光觀察世界；會用數(shù)學思維分析世界；會用數(shù)學語言表達世界.數(shù)學思維指的是邏輯推理、數(shù)學運算，其數(shù)學特征是數(shù)學的嚴謹性.對數(shù)學運算的要求，將不只是學生能將算術題算對，也不僅僅是將數(shù)學運算問題算正確，而是需要通過實踐和探究，尋找解決問題的多種途徑、方法，最終選擇一個最合適的方法.

六、對教學中培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng)的反思

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程.內(nèi)容應當主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結(jié)果等（以上為概念內(nèi)涵）.數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段.數(shù)學運算也是一種演繹推理，是計算機解決問題的基礎（以上為學科價值）.

數(shù)學運算應當是在提出問題的前提下，著手去解決問題的過程.數(shù)學運算就是“演繹推理”，是在對“數(shù)”的概念、運算及關系的公理體系下，并在由此導出或“規(guī)定”的運算法則下展開演繹推理的過程.如果不是連貫地書寫的話，完全可以用“三段論”的格式進行表達.

教師教學中往往從多個角度來引進和理解數(shù)學知識，說明大多數(shù)教師更看重變式教法在教學中的作用.教師普遍認為變式的使用是學生理解、練習的需要，是課前有意識設計的.在學習空間的創(chuàng)設上，優(yōu)秀教師更能創(chuàng)設適當?shù)淖儺惥S度.筆者認為，應用變式教學法是培養(yǎng)核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算能力的一種好方法.

七、推廣的意義——舉一反三能力的提高

如果想要提高學生的運算能力，培養(yǎng)舉一反三的能力將是比較重要的手段.而舉一反三的數(shù)學素養(yǎng)，需要平時多加訓練.除教師在教學過程中對一些問題進行變式教學外，讓學生主動參與到問題的變化中來，更為有效.當然，變式過程中，一定要遵循以下幾個原則：第一，合理性；第二，變異性；第三，相似性；第四，漸進性.下面筆者舉一例說明.

該問題的證明過程并不復雜，所以筆者在此不贅述了.而我們讓學生研究的，絕不只是將這個三角形的面

積公式記住，而是用它來解決非常單一的求解三角形面積問題！而是讓學生理解本問題的求解方法及過程.那么我們?nèi)绾螌Υ藛栴}進行變式，以達到讓學生真正掌握這一知識點和數(shù)學運算的方法呢？不妨先分析一下本題考查的主要知識點：解三角形中的余弦定理、三角形面積公式、橢圓定義及三角變換.方法主要是整體代換.

當然我們還有很多的變化方式，比如添加參數(shù)將求值問題變成求范圍問題等.

為了訓練不同的知識點或者解決問題的方法，我們可以采用舉一反三的方法進行變式教學，相信這樣的教學方式對學生的訓練，就不是呆板的、重復的、無聊的純代數(shù)計算題，而把它變成符合數(shù)學學科核心素養(yǎng)要求的、培養(yǎng)數(shù)學運算能力的有效教學方法.

希望我們能夠幫助學生通過高中數(shù)學課程的學習，能有效借助運算方法解決實際問題，增強應用意識；通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成程序化解決問題的品質(zhì)；養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.F