☉江蘇省啟東中學(xué) 黃群力

基于CPFS理論的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)

☉江蘇省啟東中學(xué) 黃群力

一、CPFS理論

喻平教授在文1～文3中提出CPFS結(jié)構(gòu)理論，其中CPFS結(jié)構(gòu)是由下列四個(gè)概念組成的：概念域（concept field）指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)一個(gè)概念時(shí)頭腦中形成了一組等價(jià)定義；概念系（concept system）指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)新概念時(shí)頭腦中形成了一組概念及相互之間的關(guān)系；命題域（proposition field）指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)命題后頭腦中形成了一組等價(jià)命題；命題系（proposition system）指學(xué)習(xí)者頭腦中貯存了一組命題及相互之間存在推出關(guān)系.CPFS是取概念、命題、域、系四個(gè)英文單詞的首字母組成的一種簡(jiǎn)單標(biāo)記.CPFS結(jié)構(gòu)理論對(duì)高三數(shù)學(xué)教學(xué)具有十分重要的指導(dǎo)意義.

二、CPFS理論與高三數(shù)學(xué)教學(xué)

1.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程是學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)建立、優(yōu)化的過(guò)程

目前高中各校數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀是，學(xué)生進(jìn)入高三之前已學(xué)完整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí).在高一、高二新課教學(xué)階段，數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是逐個(gè)擊破知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)之間雖然有聯(lián)系，但因?yàn)閷W(xué)生下位概念（命題）還沒(méi)有學(xué)過(guò)，或是上位概念（命題）學(xué)生學(xué)過(guò)了但時(shí)間久遠(yuǎn)已經(jīng)遺忘，加上進(jìn)度的要求很難建立系統(tǒng)的知識(shí)之間的聯(lián)系.而高三數(shù)學(xué)教學(xué)卻沒(méi)有上述知識(shí)與時(shí)間的限定，這一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是全面復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)各知識(shí)點(diǎn)及其聯(lián)系的數(shù)學(xué)理解，初步形成個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)，“編織”知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再利用形成的命題域、命題系指導(dǎo)解題，同時(shí)解題過(guò)程又使個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)不斷得以補(bǔ)充、完善，其過(guò)程如圖1所示.

圖1CPFS結(jié)構(gòu)理論與高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)

因此，基于CPFS結(jié)構(gòu)理論，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，形成完備的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù).

2.優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)促進(jìn)學(xué)生解題能力提高

高三數(shù)學(xué)教學(xué)大部分是解題教學(xué).學(xué)生面臨復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，一般需要先轉(zhuǎn)化為幾個(gè)較為簡(jiǎn)單的子問(wèn)題，再逐一解決.而要實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與劃歸，及時(shí)、有效地在命題域中提取出等價(jià)的形式，在命題系中選用合理的轉(zhuǎn)化途徑、調(diào)取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，必須具備穩(wěn)固、完善的CPFS結(jié)構(gòu).例如，完備的等差（比）數(shù)列這一概念域（系）和命題域（系）結(jié)構(gòu)對(duì)解決下面問(wèn)題至關(guān)重要.

問(wèn)題1已知數(shù)列｛an｝滿足：a1=1，an+an+1=3·2n，n∈N*，求｛an｝的通項(xiàng)公式.

在解決該問(wèn)題時(shí)，需要聯(lián)想到下列相關(guān)的概念與命題：

A1：已知數(shù)列an+1、an之間的遞推關(guān)系式和首項(xiàng)a1，則數(shù)列確定；

B1：若an+1-an=d（d為常數(shù)），則｛an｝為等差數(shù)列；

B2：若an+1÷an=q（q為非零常數(shù)），則｛an｝為等比數(shù)列；

C1：用累加法可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

C2：用累乘法可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

C3：數(shù)列｛an｝與其前n項(xiàng)和Sn之間滿足關(guān)系an=

其中命題A1明確告訴我們?cè)搯?wèn)題可求，命題Bi給我們提供了足夠多的信息源泉，命題Ci激活了我們解決類似問(wèn)題的方法，產(chǎn)生可靠類比依據(jù)，基于上述命題系，從不同角度出發(fā)可以找出問(wèn)題的一些解決方法.

解法1：聯(lián)想到由累加法推出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的過(guò)程，可得出下列解法：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=3·2n-1-an-1=2n-1，n≥3，n=1也適合.

綜上得，an=2n+（-1）n-1，n∈N*.

解法2：聯(lián)想到等比數(shù)列，可以用待定系數(shù)法構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，具體做法如下：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）=3×，即an=2n+（-1）n-1，

利用公式an=易得an=2n+（-1）n-1，n∈N*.

在“數(shù)列”這一大的命題系下，通過(guò)不同的聯(lián)結(jié)方式得出問(wèn)題1的三種解法，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)及思維過(guò)程如圖2.在問(wèn)題解決過(guò)程中，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)起著關(guān)鍵的作用，因此，高三數(shù)學(xué)教學(xué)注重完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生解題能力的提高至關(guān)重要.

圖2

三、高三數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)的教學(xué)策略

1.精心設(shè)置問(wèn)題串，搭建命題之間的橋梁

CPFS結(jié)構(gòu)建立僅憑課堂上簡(jiǎn)單地羅列知識(shí)框圖是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，可靠、牢固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是在一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中形成.高三的學(xué)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，為了讓學(xué)生在頭腦中深深烙上知識(shí)之間的聯(lián)絡(luò)圖，教師應(yīng)將相關(guān)的概念和命題通過(guò)問(wèn)題的形式精心設(shè)置成串，這樣才能起到事半功倍的效果.例如，為了讓學(xué)生理解等差與等比數(shù)列之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步完善相關(guān)的概念域（系）結(jié)構(gòu)，可設(shè)置下面的問(wèn)題.

問(wèn)題2對(duì)于給定數(shù)列｛cn｝，如果存在實(shí)常數(shù)p，q，使得cn+1=pcn+q（p≠0）對(duì)于任意的n∈N*都成立，我們稱這個(gè)數(shù)列｛cn｝是“M類數(shù)列”.

（1）等差數(shù)列是否為“M類數(shù)列”，并舉例說(shuō)明；

（2）等比數(shù)列是否為“M類數(shù)列”，并舉例說(shuō)明；

（3）當(dāng)p=2，q=1時(shí)，求｛cn｝的通項(xiàng)公式；

（4）當(dāng)p=-1，q=2時(shí)，求｛cn｝的前n項(xiàng)和Sn，并判斷｛Sn｝是否為“M類數(shù)列”；

（5）若數(shù)列｛an｝是“M類數(shù)列”，則數(shù)列｛an+an+1｝、｛an· an+1｝是否一定是“M類數(shù)列”.若是，加以證明；若不是，說(shuō)明理由.

2.科學(xué)合理變式訓(xùn)練，凸現(xiàn)命題之間的聯(lián)系

高三解題教學(xué)時(shí)，不能就題論題，問(wèn)題解答后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，再將原問(wèn)題變式訓(xùn)練.變式分為等價(jià)和不等價(jià)兩種形式，等價(jià)的變式問(wèn)題可使學(xué)生在不同條件下關(guān)注到問(wèn)題間的共同性，在辨別問(wèn)題差異的過(guò)程中凸顯問(wèn)題本質(zhì)，加深對(duì)等價(jià)概念或命題的理解，促使學(xué)生在頭腦中建構(gòu)某一概念的概念（命題）域；不等價(jià)的變式訓(xùn)練，通過(guò)相關(guān)概念（命題）的比較，讓學(xué)生感受知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系和變通，學(xué)會(huì)根據(jù)不同情境選擇適合的方法，通過(guò)知識(shí)間的變通和轉(zhuǎn)化加強(qiáng)了學(xué)生頭腦中概念（命題）之間的聯(lián)系，促進(jìn)該概念（命題）系的建構(gòu).

問(wèn)題3直線l：x-y+c=0上存在點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2+y2=4的兩條切線PM，PN，且PM⊥PN，求c的取值范圍.

變式1設(shè)A（1，0），B（-2，0），直線l：x-y+c=0上存在點(diǎn)P，使PB=2PA，求c的取值范圍.

變式3設(shè)A（1，0），直線l：x-y+c=0上是否存在點(diǎn)B，使得圓O：x2+y2=4的任意點(diǎn)P都有PB=2PA成立，若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)和此時(shí)c的值，若不存在，說(shuō)明理由.

變式1將原問(wèn)題中的“圓”等價(jià)變式成條件“PB= 2PA”，需要學(xué)生將該條件首先轉(zhuǎn)化為“圓”后化歸為原問(wèn)題.變式2把“圓”改成“橢圓”，是不等價(jià)變式，難度加大，但保持了原問(wèn)題中的本質(zhì)特征及解決策略不變.變式3和前面幾個(gè)問(wèn)題的共同點(diǎn)是，需要先求出P點(diǎn)的軌跡方

程（用參數(shù)表示），但與前面幾個(gè)問(wèn)題比較，在處理“點(diǎn)存在”有明顯不同.通過(guò)這種變與不變，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)命題域和命題系的認(rèn)識(shí).

3.注重課堂交流探討，促使學(xué)生在命題域（系）內(nèi)發(fā)散思維

高三解題教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常聽(tīng)到抱怨，老師講授的解法聽(tīng)得懂，但自己做的時(shí)候卻想不到，特別是一些思維跨度比較大的解法.究其原因，還是學(xué)生頭腦中的CPFS結(jié)構(gòu)不穩(wěn)固、不清晰，從而導(dǎo)致由此及彼的道路不暢通.如何有效地解決這一問(wèn)題呢？因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)都有各自的不足，但同時(shí)也會(huì)對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生自己獨(dú)特的理解，因此，課堂上教師應(yīng)注重加強(qiáng)學(xué)生間的交流探討，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的看法，在交流中認(rèn)清知識(shí)之間的聯(lián)系，探討問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)化方法，穩(wěn)固頭腦中的CPFS結(jié)構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.

問(wèn)題4已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，求a的最大值.

不進(jìn)則退，李高明在蒙自花了三萬(wàn)塊，挨著一家生意紅火的理發(fā)店，街頭街尾地打起了“價(jià)格戰(zhàn)”。此時(shí)的李高明，是小店五六個(gè)師傅中技術(shù)最好的，凡事他都想親力親為。有時(shí)生意好，給客人做頭做到一兩點(diǎn)，客人看晚了回不去，竟也樂(lè)意在他的小店里睡一宿。生意不好時(shí)，他犯愁，整夜整夜睡不著。心情起起伏伏地過(guò)了三個(gè)月，實(shí)在太煎熬，他受不了了。

師：由題目條件的特征，你能聯(lián)想哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)、方法？

生1：由a2+b2+c2=3想到圓的參數(shù)方程，所以可用三角換元法，具體解法如下：

由b2+c2=3-a2，可設(shè)b=，所以a=-（b+c）=所以，解得，故a的最大值為

生3：已知兩個(gè)等式三個(gè)未知數(shù)，想到先代入消去未知數(shù)b，再利用根的判別式求解：

由a+b+c=0，得b=-a-c，代入a2+b2+c2=3，整理得2c2+ 2ac+2a2-3=0.因?yàn)閏∈R，所以Δ=4a2-8（2a2-3）≥0，以下略.

生4：由已知的兩個(gè)等式，相等利用不等式（x+y）2≤2（x2+y2）求解：

生5：由已知的一次、二次方程想到直線和圓的方程，用數(shù)形結(jié)合求解：

令b=x，c=y，則x+y=-a，x2+y2=3-a2，所以直線x+y=-a與圓x2+y2=3-a2有公共點(diǎn)，由d=，以下略.

課堂上學(xué)生大膽聯(lián)想，交流探討，從不等式、方程、函數(shù)、解析幾何等不同角度出發(fā)，得到不同的解法，促進(jìn)知識(shí)之間的聯(lián)系.

4.注重學(xué)生自主探究，促進(jìn)自主建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，不僅需要掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，還要能夠明晰知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.這一過(guò)程只有讓學(xué)生獨(dú)立自主去經(jīng)歷，才會(huì)對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)理解更加深刻.有時(shí)候探究所花費(fèi)時(shí)間可能比較長(zhǎng)，但對(duì)個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)形成和完善卻是經(jīng)濟(jì)高效的，同時(shí)不斷完備的CPFS結(jié)構(gòu)會(huì)促進(jìn)解決問(wèn)題的能力，有助于學(xué)生探究更多更難的問(wèn)題.

探究的問(wèn)題需要教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情精心設(shè)計(jì)，提出的問(wèn)題應(yīng)有助于學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，盡量避免隨意性，例如在問(wèn)題4教學(xué)完成后，可以讓學(xué)生探究下面的問(wèn)題.

問(wèn)題5已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=3，求abc的最大值.

（1）與問(wèn)題4比較，問(wèn)題5的條件和所求有哪些變化？

（2）這些變化對(duì)問(wèn)題解決帶來(lái)哪些困難？原來(lái)的方法還適用嗎？

通過(guò)探究，讓學(xué)生增強(qiáng)對(duì)解決問(wèn)題4的幾種知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系理解，加深學(xué)生對(duì)命題之間關(guān)系的理解，建立命題之間穩(wěn)固的聯(lián)系.同時(shí)探究的問(wèn)題加大了難度，解決時(shí)需要更多的知識(shí)，從而在已形成的CPFS結(jié)構(gòu)上添加了新的元素和聯(lián)結(jié)，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以更新和升級(jí).

1.喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.喻平.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中個(gè)體的CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)遷移影響的研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（1）.

3.喻平，李渺，楊義瑩.個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)與探究問(wèn)題能力的關(guān)系研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（3）.

4.金山.一道解析幾何問(wèn)題的探究教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015（9）.F