☉江蘇省梁豐高級中學(xué) 宋東娟

復(fù)習(xí)回顧，深入挖掘，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)
——“平面與平面平行的判定定理”一課引發(fā)的思考

☉江蘇省梁豐高級中學(xué) 宋東娟

最近，觀摩了上級教研部門組織的立體幾何教學(xué)研討活動，有兩位教師開設(shè)了公開課，上課的主題是《平面與平面平行的判定定理》.眾所周知，與傳統(tǒng)的立體幾何相比，新課程中立體幾何教學(xué)發(fā)生了兩大變化，一是從以往的點(diǎn)、線、面、體局部到整體展開轉(zhuǎn)變?yōu)榘凑照w到局部的方式展開幾何內(nèi)容；二是從傳統(tǒng)的對定理、性質(zhì)的嚴(yán)格證明的思維過程轉(zhuǎn)變?yōu)橥怀鲋庇^感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算的探索歷程.

本節(jié)課是在空間線線、線面、面面位置關(guān)系以及直線與平面平行的判定基礎(chǔ)上展開的，兩個平面平行的判定定理是立體幾何中的一個重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法，培養(yǎng)幾何直觀能力和抽象概括能力，為以后學(xué)習(xí)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)打下基礎(chǔ).兩位教師的教學(xué)設(shè)計與風(fēng)格基本雷同，主要包含了以下幾個過程.

一、一般的教學(xué)流程

（一）復(fù)習(xí)回顧，引入新課

問題1直線與平面有幾種關(guān)系？線面平行如何定義？

問題2請分別用圖形語言、文字語言、符號語言陳述直線與平面平行的判定定理.

問題3類比直線與平面平行的定義，你能描述一下平面與平面平行的定義嗎？

問題4直接用定義判定面面平行方便嗎？

（二）動手操作，探究新知

問題5一個三角板和或一本書，如何把三角板（書）所在平面都擺成與桌面平行的位置狀態(tài)？

問題6調(diào)整三角板，使三角板的一條邊所在的直線和桌面平行，這時三角板所在平面與桌面是否平行？

問題7調(diào)整三角板，使三角板的兩條邊所在的直線和桌面平行，這個三角板所在平面與桌面是否平行？

（三）借助模型，感知定理

問題8一個平面中一條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行嗎？如果“一條直線”不夠，那么“兩條直線”、“三條直線”、“無數(shù)條直線”夠了嗎？

教師借助長方體模型，利用長方體中棱長所在直線與各面之間的關(guān)系與學(xué)生一起探究問題8，最后得到判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

圖1

圖2

圖3

（四）應(yīng)用定理，內(nèi)化規(guī)則

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

變式1如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別為AA1，AB，AD中點(diǎn).求證：平面PQR∥平面CB1D1.

變式2如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是棱A1B1，AA1，B1C1的中點(diǎn)，在此正方體中，是否存在過點(diǎn)E，M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由.

點(diǎn)評：本課的設(shè)計比較傳統(tǒng)，一般教師都是按照這樣的套路進(jìn)行.以“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)識過程展開；精心設(shè)計問題，通過問題驅(qū)動的方式展開教學(xué)；以長（正）方體模型為載體，利用其

結(jié)構(gòu)對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等特點(diǎn)，直觀研究線線、線面、面面位置關(guān)系；提供學(xué)生動手操作的機(jī)會，展開空間想象，主動建構(gòu)知識.

二、存在的問題

雖然兩節(jié)課從總體上講循規(guī)蹈矩，不存在大的問題，但有兩個教學(xué)細(xì)節(jié)還是讓人覺得很困惑.

困惑1：兩位教師都采用的是“復(fù)習(xí)回顧”的方式引入課題，通過復(fù)習(xí)線面平面的關(guān)系及判定定理，從而引發(fā)對面面平行的思考.這完全符合奧蘇貝爾的“有意義學(xué)習(xí)”中的“先行組織者”理論.先行組織者是在課堂教學(xué)之前呈現(xiàn)的，通常是一個總的概述或類推，有助于學(xué)習(xí)者將學(xué)習(xí)材料置于一定背景中，從而構(gòu)成“接受新材料的穩(wěn)定中心”.“先行組織者”通常用于較為復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)、較高級別的學(xué)習(xí)，是課堂教學(xué)前為學(xué)生提供的一個框架或結(jié)構(gòu)，使得教學(xué)內(nèi)容組織、轉(zhuǎn)化成有意義關(guān)聯(lián)的部分，無論是概念的學(xué)習(xí)，還是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，甚至問題的解決，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程都可以稱得上較為“復(fù)雜”的學(xué)習(xí)，因此，“先行組織者”對高中數(shù)學(xué)教學(xué)是非常必要的策略.［1］但兩位教師的“復(fù)習(xí)回顧”似乎僅僅停留在“引入”的層面，沒有進(jìn)一步挖掘知識前后的聯(lián)系，只是給人一種“例行公事”的感覺.

困惑2：兩位教師基本上都是從一條、兩條、無數(shù)條直線到兩條相交直線的思路引導(dǎo)學(xué)生探究，尋找面面平行的判定條件（定理），這些探究是否符合數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程？是否真正發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？很多老師的理由是在這之前學(xué)生經(jīng)歷過直線與平面的位置關(guān)系的研究過程，了解直線與平面平行轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)一條直線的關(guān)系，所以，在尋找面面平行的判定條件時，首先考慮的是從一條直線開始，如果不夠，再依次增加.上述理由看似合理，但前提是學(xué)生預(yù)先已經(jīng)知道面面平行跟線面平行有關(guān)，否則只是教師的一廂情愿.

困惑3：兩節(jié)課都是利用教材中的實(shí)例，比如三角尺、書本作為探索判定定理模型，而缺乏更生動、更實(shí)際的應(yīng)用模型，這反映出教師在平時上課時拘泥于課本，將數(shù)學(xué)教學(xué)建立在教材的基礎(chǔ)上，而很少聯(lián)系實(shí)際生活，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和建立數(shù)學(xué)概念.平面與平面平行的判定究竟對現(xiàn)實(shí)生活中有什么實(shí)際意義？

三、教學(xué)過程的優(yōu)化

基于上述分析，本課的兩個環(huán)節(jié)可以進(jìn)行如下優(yōu)化.

（一）引入環(huán)節(jié)

還是通過復(fù)習(xí)“線面平行的判定”引入，但不要僅僅局限于定理的本身，而是要深入挖掘定理獲得過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.直線與平面平行的判定，主要是利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，即“高維”轉(zhuǎn)為“低維”.在線面平行的判定中，把維度相對高的“線面平行”轉(zhuǎn)化為維度相對低的“線線”平行來判定，這在立體幾何的公理化體系中表現(xiàn)得淋漓盡致.比如，線與線的關(guān)系往往用“點(diǎn)”來刻畫，判定線是否在面內(nèi)，只需“兩個點(diǎn)”在面內(nèi)，面與面的關(guān)系往往用“線”來刻畫，判斷面與面是否相交，只需存在一條“公共直線”就行了.用“點(diǎn)”刻畫線，用“線”刻畫面，用“一維”來刻畫“二維”，用“二維”刻畫“三維”……用“低維”刻畫“高維”這才是立體幾何思想方法的精髓，我們常說的“空間問題平面化”就是充分體現(xiàn)了這個原理.因此，這個原理在復(fù)習(xí)引入中一定要展現(xiàn)給學(xué)生，并且要不斷強(qiáng)化.如此，面面平行的判定思路自然清晰了，即要轉(zhuǎn)化為“線面”平行，至于需要幾次線面平行，那就是一些細(xì)枝末節(jié)的問題了.教學(xué)的大方向把握好，教學(xué)過程自然水到渠成.

通過復(fù)習(xí)回顧，不僅建立新、舊知識之間的聯(lián)系，平面與平面的位置關(guān)系問題可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的位置關(guān)系問題，進(jìn)而還可以轉(zhuǎn)化為直線與直線的位置關(guān)系問題，而且為后續(xù)線面垂直的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

（二）應(yīng)用環(huán)節(jié)

本課，雖然有三角板這一工具的助陣，但無法充分體現(xiàn)面面平行判定定理的應(yīng)用價值.其實(shí)，立體幾何的公理、定理都能再現(xiàn)實(shí)生活中找到生動的應(yīng)用案例.比如，如何判定四條腿的凳子是否平穩(wěn)，可先按緊其中三條凳腿，然后前后左右地晃，看另一條沒被按緊的凳腿是否被“晃動”，如果紋絲不動，就說明凳子平穩(wěn)了，這就是利用了立體幾何的公理“不共線的三點(diǎn)確定一個平面”.面面平行的判定定理在現(xiàn)實(shí)中也有應(yīng)用.木工師傅的水準(zhǔn)器是比較常見的器械，這里面的依據(jù)就是面面平行的判定定理，教師事先準(zhǔn)備一臺，讓學(xué)生動手操作、體驗(yàn).

教師不是“教教材”，而是“用教材”.關(guān)注教材知識的前后聯(lián)系，通過深入挖掘知識內(nèi)涵，整合優(yōu)化教材的知識結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)教材應(yīng)用的“再創(chuàng)造”.

1.石志群.例談“先行組織者”的途徑與功能［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（2）.Z