向 茜，王世慶，李自成，李興紅，候景景

（1．成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院 核工程與高新技術(shù)研究所，四川 樂山 614000；2．核工業(yè)西南物理研究院，四川 成都 610041；3．中核核電運(yùn)行管理有限公司，浙江 嘉興 314300）

大學(xué)生園地

帶電螺線管磁場(chǎng)的數(shù)值研究

向 茜1，2，王世慶1，2，李自成1，2，李興紅1，2，候景景3

（1．成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院 核工程與高新技術(shù)研究所，四川 樂山 614000；2．核工業(yè)西南物理研究院，四川 成都 610041；3．中核核電運(yùn)行管理有限公司，浙江 嘉興 314300）

從畢奧-薩伐爾的基本定律出發(fā)，引入有效半徑、有效空間位置和有效空間取向等概念，通過比較電流環(huán)和磁偶極場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算與嚴(yán)格的帶電螺線管磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果，采用優(yōu)化螺線管結(jié)構(gòu)和構(gòu)建計(jì)算模型，可以有效地克服螺線管本身帶來的空間磁場(chǎng)有限長(zhǎng)度效應(yīng)．在有效空間范圍內(nèi)進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果表明，磁偶極場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似不僅可以滿足磁場(chǎng)計(jì)算的精度要求，而且具有極高的計(jì)算速度．可以實(shí)時(shí)地實(shí)現(xiàn)具有多帶電螺線管復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電磁計(jì)算，滿足電磁空間定位和電磁導(dǎo)航的要求．

帶電螺線管；磁場(chǎng)計(jì)算；有效半徑；有效空間位置；有效空間取向

本文是以具有典型工程應(yīng)用的醫(yī)學(xué)電磁導(dǎo)航外科手術(shù)系統(tǒng)的電磁輻射系統(tǒng)與電磁導(dǎo)航區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，研究密繞多層帶電螺線管在導(dǎo)航區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算方法．這種研究方法在工程應(yīng)用中具有廣闊的拓展空間［1-5］．在有效空間范圍內(nèi)，通過電流環(huán)和磁偶極場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算與嚴(yán)格的螺線管磁場(chǎng)計(jì)算進(jìn)行比較，引入有效半徑，有效空間位置和有效空間取向等概念，優(yōu)化螺線管結(jié)構(gòu)和構(gòu)建計(jì)算模型，可以有效地克服螺線管本身帶來的空間磁場(chǎng)有限長(zhǎng)度效應(yīng)．

1 帶電螺線管的計(jì)算模型

1．1帶電螺線管的嚴(yán)格計(jì)算模型

將密繞多層帶電螺線管線圈置于直角坐標(biāo)系中，如圖1所示，其內(nèi)半徑為 a，管長(zhǎng)度為 L，線圈匝數(shù)為n，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在空間點(diǎn)P（x，y，z）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

圖1　密繞多層螺線管結(jié)構(gòu)

式（1）中dB為電流元在空間點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場(chǎng)，μ0為真空磁導(dǎo)率，I為流過螺線管的電流，A和B分別為電流I流入和流出螺線管的起始點(diǎn)，dl是螺線管線圈繞組總長(zhǎng)度l的線元，r=rP-r′是線元到空間點(diǎn)P的位置矢量，rP為坐標(biāo)原點(diǎn)到空間點(diǎn)P的位置矢量，r′為坐標(biāo)原點(diǎn)到線元的位置矢量.積分是沿螺線管線圈從電流I流入點(diǎn)A到流出點(diǎn)B的線積分.

除了位于螺線管軸線的空間點(diǎn)外，對(duì)于其他位置空間點(diǎn)P，要給出式（1）的解析解是十分困難的.假設(shè)密繞多層帶電螺線管線圈的管長(zhǎng)遠(yuǎn)大于線圈導(dǎo)線的半徑時(shí)，在空間點(diǎn)P（x，y，z）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可以近似為n個(gè)不同位置、不同半徑的電流環(huán)在空間位置點(diǎn)P（x，y，z）處的磁場(chǎng)疊加，有

1．2電流環(huán)近似模型

將密繞多層帶電螺線管線圈等效為n個(gè)電流環(huán)疊加時(shí)，電流環(huán)置于直角坐標(biāo)系中 xy平面，如圖2所示，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，環(huán)面法線與 z軸重合，電流環(huán)在空間點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B環(huán)為

圖2　xy平面上的電流環(huán)

對(duì)式（3）沿閉合電流環(huán)積分，分別得到空間點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的3個(gè)分量B環(huán)x、B環(huán)y和 B環(huán)z的解析表達(dá)式為［6］：

其中

雖然從式（4）到式（6）給出了空間點(diǎn) P處磁感應(yīng)強(qiáng)度3個(gè)分量的解析解，但表達(dá)式太復(fù)雜，每個(gè)分量的計(jì)算都要面臨處理橢圓積分，數(shù)學(xué)處理難度加大.

1．3磁偶極遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型

當(dāng)空間點(diǎn)P（r）到電流環(huán)中心的距離遠(yuǎn)大于電流環(huán)半徑a時(shí)，磁偶極遠(yuǎn)場(chǎng)近似成立，如圖3所示.

圖3　磁偶極子不在坐標(biāo)原點(diǎn)的模型

可以用空間點(diǎn)P（r）的磁偶極場(chǎng)取代電流環(huán)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng).因此式（2）又可以表示為

圖3表示不在坐標(biāo)原點(diǎn)的磁偶極子，利用遠(yuǎn)場(chǎng)近似式可得空間點(diǎn)P（r）的磁感應(yīng)強(qiáng)度［7］：

其中

S為電流環(huán)圍繞的面積，以電流方向?yàn)闇?zhǔn)，S按右手定則確定面積的正向，m為磁偶極矩，r是磁偶極子的中心到空間點(diǎn)P的位置矢量，rp為坐標(biāo)原點(diǎn)到空間點(diǎn)P的位置矢量，r′為坐標(biāo)原點(diǎn)到磁偶極子中心位置的矢量.

2 計(jì)算方法

2．1帶電螺線管磁場(chǎng)計(jì)算方法

如圖1所示，改寫密繞多層帶電螺線管磁場(chǎng)計(jì)算式（1），空間P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式（14）中Bi為密繞多層帶電螺線管線圈繞組分為k段電流元中的第i段電流元I0Δli在空間點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，ri是第 i段電流元 I0Δli到空間點(diǎn)P的位置矢量，求和是對(duì)整個(gè)帶電螺線管線圈而言.

利用式（14）計(jì)算螺線管在空間 P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，需要計(jì)算遍及整個(gè)帶電螺線管線圈的每個(gè)電流元，每一步計(jì)算都需要重新定位帶電螺線管線圈的線元，及其與空間點(diǎn)P的相對(duì)位置矢量，然后進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，因此計(jì)算量非常大，計(jì)算速度慢但精度高，故又稱為嚴(yán)格計(jì)算法.在有實(shí)時(shí)要求的工程應(yīng)用中，這種算法受到極大的挑戰(zhàn).

2．2電流環(huán)近似計(jì)算方法

式（2）給出了帶電螺線管原理性的電流環(huán)近似算法，需要從螺線管線圈匝數(shù)1到n求和.我們引入有效半徑，有效空間位置和有效空間取向等概念，構(gòu)建一個(gè)新的電流環(huán)體系，使其滿足如下條件：

圖4給出構(gòu)建因子m=1密繞多層螺線管線圈近似為電流環(huán)的有效半徑a，位于螺線管中平面電流環(huán)的有效空間位置O和由螺線管電流方向確定的電流環(huán)有效空間取向S.

圖4　構(gòu)建因子m=1密繞多層繞組螺線管構(gòu)建圖

式（16）中a1為密繞多層螺線管線圈的內(nèi)徑，a2為密繞多層螺線管線圈的外徑，d是線圈導(dǎo)線的直徑，L是螺線管線圈的長(zhǎng)度.為每層繞組的匝數(shù).

改寫式（3）計(jì)算m=1新構(gòu)建電流環(huán)體系在空間P點(diǎn)的磁場(chǎng)為

其中：Bi是將每匝電流環(huán)分為 k段電流元中的第 i段在空間點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度；I0Δli為每匝電流環(huán)中的第i段電流元；Δli在直角坐標(biāo)系中的分量為（Δlix，Δliy，Δliz）.將式（18）—式（21）代入式（17）可以得出n匝電流環(huán)在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布.

同樣可以采用類似的方法，構(gòu)建因子m=2，3，…，m0的電流環(huán)體系.研究結(jié)果表明新構(gòu)建的電流環(huán)體系可以大大提高計(jì)算速度，構(gòu)建m=5的電流環(huán)體系，空間磁場(chǎng)的計(jì)算精度可達(dá) 0.01%.這種新構(gòu)建的電流環(huán)體系在優(yōu)化螺線管線圈的結(jié)構(gòu)，克服螺線管線圈有限長(zhǎng)效應(yīng)起著十分重要的作用.

2．3磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算方法

處理密繞多層帶電螺線管線圈的磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)近似法與電流環(huán)近似法完全相同，用上節(jié)類似的方法求出近似磁偶極子的有效半徑，有效空間位置和有效空間取向，構(gòu)建一個(gè)滿足式（15）的磁偶極子體系.

圖4給出構(gòu)建因子m=1密繞多層帶電螺線管線圈近似磁偶極子有效半徑 a，位于螺線管中平面磁偶極子有效空間位置O和由螺線管電流方向確定的磁偶極子有效空間取向S.

m=1磁偶極子體系在空間P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

其中，n為螺線管線圈的總匝數(shù)，a為密繞多層帶電螺線管線圈的有效半徑，S為螺線管線圈的有效空間取向，r由式（13）得到.

同構(gòu)建的電流環(huán)體系一樣，同樣可以采用類似的方法，構(gòu)建因子m=2，3，…，m0的磁偶極子體系.例如構(gòu)建因子m=5的磁偶極子體系如圖5所示.

圖5　構(gòu)建因子m=5的磁偶極子體系

m=5磁偶極子體系在空間P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

式中，n為螺線管線圈的總匝數(shù)，a為密繞多層螺線管線圈的有效半徑，S為螺線管線圈的有效空間取向，rm為中心點(diǎn) Om到空間點(diǎn) P的位置矢量，由式（13）得到.

新構(gòu)建的磁偶極子體系和新構(gòu)建的電流環(huán)體系一樣，具有相同的空間磁場(chǎng)計(jì)算精度，構(gòu)建因子m=5的磁偶極子體系，計(jì)算精度可達(dá)0.01%.在優(yōu)化螺線管線圈的結(jié)構(gòu)和構(gòu)建計(jì)算模型，克服螺線管線圈有限長(zhǎng)效應(yīng)等方面，有著和新構(gòu)建的電流環(huán)體系一樣的作用.然而計(jì)算速度比新構(gòu)建的電流環(huán)體系快1到2個(gè)數(shù)量級(jí)，適合于各種實(shí)時(shí)電磁導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用.

3 仿真與討論

為了驗(yàn)證算法的性能，本文用Visual Studio 2008計(jì)算多層繞組帶電螺線管空間磁場(chǎng)分布（500×500× 500 mm3范圍內(nèi)），在有效空間內(nèi)進(jìn)行3種不同計(jì)算的比較，第一種是嚴(yán)格計(jì)算，第二種是電流環(huán)遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算，第三種是磁偶極子遠(yuǎn)場(chǎng)近似計(jì)算．為了便于對(duì)計(jì)算方法的研究和計(jì)算結(jié)果的比較，將螺線管的中平面置于xy平面，原點(diǎn)位于（0，0，0）處，螺線管沿z軸放置.3種計(jì)算得到磁場(chǎng)分布均一致，如圖6和圖7所示顯示空間磁場(chǎng)的3維分布.

圖6　xy平面上磁感應(yīng)強(qiáng)度在3D空間的分布

圖7　磁感應(yīng)強(qiáng)度各分量的3D空間分布

圖8　構(gòu)建因子m=1，3種方法計(jì)算結(jié)果的比較

圖9　構(gòu)建因子m=5，磁偶極子體系磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果比較

圖8和圖9給出由3種計(jì)算方法得到磁感應(yīng)強(qiáng)度及其 y分量在 z=9．0 cm，y=0，沿 x方向從x=-25 cm到x=25 cm的變化．在圖8中，構(gòu)建因子m=1電流環(huán)體系的計(jì)算結(jié)果（綠線所示）和構(gòu)建因子m=1磁偶極子體系的計(jì)算結(jié)果（藍(lán)線所示）比較一致，但他們與螺線管嚴(yán)格計(jì)算的結(jié)果（紅線所示）在A、B和C處都有明顯的偏差.這種偏差來自于螺線管的有限長(zhǎng)度L，而且隨著螺線管的長(zhǎng)度L加長(zhǎng)，這種偏差越明顯.重新構(gòu)建m=5的磁偶極子體系近似計(jì)算與m=1的電流環(huán)近似計(jì)算和螺線管嚴(yán)格計(jì)算進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9所示.新構(gòu)建 m=5的磁偶極子體系磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果與螺線管嚴(yán)格計(jì)算的結(jié)果一致性已經(jīng)相當(dāng)好，這兩條變化曲線幾乎重合.因此隨著構(gòu)建因子m值越大，這兩條變化曲線的偏差越小.

4 結(jié)論

本文通過研究帶電螺線管磁場(chǎng)計(jì)算的3種方法，引入有效半徑、有效空間位置和有效空間取向等概念，優(yōu)化螺線管結(jié)構(gòu)和構(gòu)建計(jì)算模型，可以有效地克服螺線管本身帶來的空間磁場(chǎng)有限長(zhǎng)度效應(yīng).從創(chuàng)建的操作界面上可以直觀地展示磁場(chǎng)分布特點(diǎn)及比較.解決了對(duì)多層繞組帶電螺線管線圈在空間磁場(chǎng)計(jì)算的實(shí)用性問題.

［1］ 童國(guó)平．螺線管離散模型與連續(xù)模型的比較［J］．大學(xué)物理，2014，33（7）：15-16．

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［7］ 俞允強(qiáng)．電動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)明教程［M］．北京：北京大學(xué)出版社，1999：97．

Numerical study of the magnetic field of the charged solenoid

XIANG Qian1，2，WANG Shi-qing1，2，LI Zi-cheng1，2，LI Xing-hong1，2，HOU Jing-jing3
（1．Institute of Nuclear Engineering and Technology，Engineering＆Technica College，Chengdu University of Technology，Leshan，Sichuan 614000，China；2．Southwestern Institute of Physics，Chengdu，Sichuan 610041，China；3．CNNP Nuclear Power Operations Management Co．，Ltd，Jiaxing，Zhejiang 314300，China）

Based on the Boit-Savart law，the concepts of effective radius，effective spatial location and effective spatial orientation are introduced by comparing the far-field approximate calculation of charged current loops and the dipole magnetic field with the strict calculation of the magnetic field of the solenoids．By optimizing the solenoid structure and rebuilding，the computing model can overcome the limited length effect of the spatial magnetic field brought by the solenoid itself effectively．By simulating the system within the effective region，the result shows that the far-field approximate calculation of the dipole magnetic field not only meets the accuracy in magnetic field calculation but also has very fast calculation speed．The method can realize the magnetic calculation with the complex structure from many solenoids in real time and satisfy the real-time requirement of spatial positioning and electromagnetic navigation．

charged solenoid；magnetic field calculation；effective radius；effective spatial location；effective spatial orientation

O 441

A

1000-0712（2016）10-0029-06

2015-09-02；

2016-02-29

國(guó)家自然科學(xué)基金（11375055）、院級(jí)青年科學(xué)基金（c122014019）資助

向茜（1982—），女，四川省成都市人，講師，碩士，主要從事遠(yuǎn)程醫(yī)療定位跟蹤及應(yīng)用電磁學(xué)研究工作.