鄭 勇

（黔南民族師范學院 物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000）

利用氣體分子相對速度的各向同性導出平均相對速率

鄭 勇

（黔南民族師范學院 物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000）

首先通過類比發(fā)現(xiàn)理想氣體分子相對速度分布與速度分布具有相同的函數(shù)形式，但是困難在于確定前者的常數(shù)因子．我們發(fā)現(xiàn)一個常用的公式恰好可以幫助確定這個常數(shù)．最終通過類比平均速率的推導直接得到了平均相對速率公式．

理想氣體；平均相對速率；推導

事實上，用速度分布計算平均速率的過程學生是比較熟悉的

理想氣體中任意兩個分子的速度 v1和 v2顯然是相互獨立的；二者之間的相對速度 u=v2-v1是一個獨立的物理量，具有各向同性的特點，與分子速度v類似，其 3個分量 ux、uy、uz也是統(tǒng)計無關、相互等價的.u與 v具有的統(tǒng)計性質(zhì)是完全等同的，因此，它們的分布函數(shù)都只與其大小有關，都可寫成3個分量分布函數(shù)乘積的形式.從這些相同的統(tǒng)計性質(zhì)定出的二者的分布函數(shù)在形式上顯然應完全相同.

因此，與速度分布函數(shù)F（v）對比，我們可以直接寫出相對速度分布滿足的函數(shù)形式

其中β′是待定常數(shù).

但是我們面臨如何確定常數(shù)β′的問題.

在討論對速度分布函數(shù)時，常數(shù)β可以通過比較能量均分定理給出的關系式以及由分布函數(shù)算出的確定，結(jié)果是；但是對于相對速度，雖然由式（2）仍然有，但是沒有了能量均分定理給出的關系式.

為克服這一點，注意到如下公式［3］：

其中由于各向同性，v1和v2的平均值都為零，所以，〈v2·v1〉=〈v2〉·〈v1〉=0.

將式（4）與〈u2〉=比較，剛好可以用來確定常數(shù)β′，結(jié)果是（5）

代入式（3），我們便得到最終的平均相對速率表達式：

以上討論還可以推廣到同一系統(tǒng)中兩種質(zhì)量不同的分子間的平均相對速率的計算.若兩種分子質(zhì)量分別為m1、m2，此時式（4）變?yōu)?/p>

于是

從整個推導過程可以看出，與通常用麥克斯韋速度分布討論氣體分子相對速度分布、計算平均相對速率的方法不同，我們充分利用了分子相對速度具有各向同性的特點，用類比的方法計算平均相對速率.這種思路的關鍵是要能確定出分布函數(shù)中的待定常數(shù)，對于速度分布函數(shù)，能量均分定理可以幫助完成這一點；而對于相對速度分布，類似關系也被我們找到.整個推導完全按照類比的思路進行，便于學生接受.

［1］ 李洪芳．熱學［M］．北京：高等教育出版社，2001：230-232．

［2］ 劉偉濤，張婷，李承祖．氣體分子平均相對運動速率的推導［J］．大學物理，2011（12）：36-37．

［3］ 趙凱華，羅蔚茵．熱學［M］．北京：高等教育出版社，1998：71-78．

Deriving the average relative speed of gas molecules with the isotropy

ZHENG Yong
（College of Physics and Electronics，Qiannan Normal College for Nationalities，Duyun，Guizhou 558000，China）

The relative velocity distribution of molecules of ideal gas is found to possess the same function form as the velocity distribution，which is due to the similar statistical properties they satisfy．The constant in this function is difficult to determine for the former and we have completed this by employing a familiar relation which generally being used in an approximate discussion of the average relative velocity．Then the average relative velocity is calculated．

ideal gas；average relative velocity；derivation

物理實驗

O 414．2

A

1000-0712（2016）10-0028-01

2015-10-21；

2016-03-12

貴州省教育規(guī)劃青年課題（2014C031）資助

鄭勇（1983—），男，四川宜賓人，黔南民族師范學院教師，主要從事凝聚態(tài)理論研究和基礎物理教學工作．