李代輝

（四川省德陽市德陽中學(xué)校）

抓住本質(zhì)化繁為簡———從函數(shù)定義出發(fā)理解復(fù)合函數(shù)定義域、解析式和值域

李代輝

（四川省德陽市德陽中學(xué)校）

在函數(shù)的教學(xué)中，復(fù)合函數(shù)是一個教材不講、理解困難、考試要考的老大難問題。本文將從函數(shù)定義出發(fā)考慮復(fù)合函數(shù)的定義域、解析式和值域，希望能為讀者理解復(fù)合函數(shù)提供幫助。

最新的人教版教材函數(shù)定義是：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于?x∈A，在集合B中都有唯一確定的數(shù)?y=f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。由這個定義，我們可以建立一個對應(yīng)的圖形來方便我們理解復(fù)合函數(shù)，如下圖：

一、看定義域

在函數(shù)定義中，我們用x表示A中所有元素，那么能否用字母t表示A中所有元素呢？當然可以。那能否用表達式x+1表示A中所有元素呢？也是可以的。那能否用一般的表達式g（x）表示A中所有的元素呢？也是可以的（注：這個說法是不嚴密的，因為g（x）的范圍不一定就能把A中所有元素取完。但高中只考查g（x）的范圍是R的時候，所以在高中是可以的）。由此，我們可以得到：同一個對應(yīng)法則f下，定義域A中的元素用哪一個表達式表示并不能改變A的范圍，它們的范圍都是A。所以可得結(jié)論：f［g（x）］中g(shù)（x）的范圍和f（x）中x的范圍相同。舉例如下：

例1.①已知f（x）定義域為［-1，1］，求f（x+1）的定義域；②已知f（x+1）定義域為［-1，1］，求f（x）的定義域；③已知f（x-1）定義域為［-1，1］，求f（x+1）的定義域

解：①∵f（x）中x∈［-1，1］，∴f（x+1）中x+1∈［-1，1］，解得，∴-2≤x≤0，∴f（x+1）的定義域為［-2，0］

②∵f（x+1）中x∈［-1，1］，解得0≤x+1≤2，∴f（x）中x∈［0，2］，∴f（x+1）的定義域為［0，2］

③∵f（x-1）中x∈［-1，1］，解得-2≤x≤0，∴f（x+1）中x+1∈［-2，0］，解得-3≤x≤-1，∴f（x+1）的定義域為［-3，-1］

點評：從本題可以看出f（x）與f［g（x）］是兩個不同的函數(shù)，x是不同的意思。兩個函數(shù)的唯一聯(lián)系就是f［g（x）］中g(shù)（x）的范圍和f（x）中x的范圍相同。

二、看解析式f

在定義中明確說了f（x）叫函數(shù)值，由此得到f（x）的兩層意思。第一層，當x確定時，f（x）是一個確定的函數(shù)值；第二層，當x任意變化時，f（x）是函數(shù)。而要求復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的解析式，我們完全可以從函數(shù)值的角度理解和求f［g（x）］。用g（x）整體替換f（x）中的x就可以得到f［g（x）］的解析式了。

解：①f（x2+1）=（注：用x2+1替換條件中每一個x）

②令x+1=t，則x=t-1，∴f（x+1）=f（t）=，

點評：f（x）與f［g（x）］的解析式互求體現(xiàn)的都是一個整體代換（即換元）的思想，所以能整體代換的就代換（題①），不能直接代換的可以通過換元來解決（題②）

三、看值域

由定義可知，f（x）的值域是由x的范圍A通過對應(yīng)法則f（也就是解析式）求出。而f［g（x）］的值域求解由上圖可知，先將f［g（x）］拆成f（t）和t=g（x），然后由x范圍通過對應(yīng)法則g求出t= g（x）的范圍，最后由t通過對應(yīng)法則f求出f［g（x）］的范圍。

解：令t=x2-2x，則f（x）=；∵x∈［3，5］，∴3≤t≤15，∴≤ f（x）≤，

點評：復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的值域求解難點就是要能將一個函數(shù)拆成多個常見函數(shù)，從而依次求范圍即可。

綜上所述，可知從函數(shù)定義理解復(fù)合函數(shù)的知識點是可行的。加之現(xiàn)在復(fù)合函數(shù)的考查已偏簡單，所以，讀者只需要能理解上面的結(jié)論，基本上求解和應(yīng)用都不在話下。

·編輯楊國蓉