陳秀琴，熊文真，李鈞濤

(1.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

?

基于非線性狀態(tài)觀測(cè)器的不確定混沌系統(tǒng)同步

陳秀琴1，熊文真1，李鈞濤2

(1.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2.河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

針對(duì)一類含有不確定因素的混沌系統(tǒng)的同步問題，設(shè)計(jì)了一個(gè)帶有非線性觀測(cè)器的控制器.當(dāng)非線性項(xiàng)滿足一定條件時(shí)，可實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，而且控制器存在的充分條件是以一個(gè)線性矩陣不等式(LMI)的形式給出，可以通過求解一個(gè)線性矩陣不等式獲得控制器的實(shí)際方法.最后通過對(duì)蔡氏電路的分析和數(shù)值模擬研究，驗(yàn)證了所提方法的有效性.

混沌系統(tǒng)；混沌同步；觀測(cè)器；LMI方法

0 引言

自從Pecora[1]821-824和Carrol于20世紀(jì)90年代初首先提出用PC方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步后， 混沌系統(tǒng)的同步控制曾一度被認(rèn)為是控制界的難點(diǎn). 同時(shí)混沌系統(tǒng)的同步也已經(jīng)引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注，并隨之出現(xiàn)了許多混沌同步方法[2]365-370，[3]751-758，[4]207-213，[5]49-52.

觀測(cè)器方法是一種較為理想的方法[6]22-24，[7]72-76，[8]35-42，它易于工程實(shí)現(xiàn)，且不許要計(jì)算Lyapunov指數(shù). 但對(duì)于狀態(tài)不能全部測(cè)量且含有不確定因素的混沌系統(tǒng)的同步問題，還缺少有效的方法，比如文獻(xiàn)[8]通過設(shè)計(jì)一個(gè)非線性狀態(tài)觀測(cè)器的方法來實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，但存在兩個(gè)缺點(diǎn):1) 要求系統(tǒng)所有狀態(tài)變量均有界，而在系統(tǒng)未實(shí)現(xiàn)同步前是不能假設(shè)觀測(cè)器狀態(tài)有界的;2) 取u=-k0tanh(Γε)，雖然能實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步且有較快的同步速度，但是當(dāng)所需控制能量很大時(shí)，很難正確估計(jì)k0的大小.基于上述討論本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，利用線性矩陣不等式(LMI)方法給出了混沌系統(tǒng)同步的充分條件和控制器設(shè)計(jì)方法，所得到的控制器簡(jiǎn)單，且易于實(shí)現(xiàn)， 最后通過仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性.

1 問題的描述

考慮如下一類混沌系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，y(t)∈Rp為系統(tǒng)輸出，A∈Rn×n，C∈Rp×n是常數(shù)矩陣，g(x(t),t):Rn×R→Rn且g∈C1.

對(duì)式(1)作如下假設(shè):

(ⅰ) (A,C)可觀測(cè)的;

(ⅱ) 系統(tǒng)的非線性項(xiàng)滿足Lipschitz條件

其中γ是已知正常數(shù).

為實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，設(shè)計(jì)上式的觀測(cè)器為:

(2)

定義同步誤差信號(hào)為:

(3)

由(1)和(2)式可得誤差系統(tǒng)：

(4)

于是， (1)(2)式的同步控制問題，可以轉(zhuǎn)化為誤差式(4)的穩(wěn)定性問題研究，即選擇合適的控制器u(t)使

(5)

引理[9]317-324對(duì)任意四維向量ξ，ζ和任意常數(shù)h>0，下式成立.

2 基于狀態(tài)觀測(cè)器的反饋控制器的設(shè)計(jì)

構(gòu)造控制器為：

(6)

其中：K∈Rm×n為待定的增益矩陣，此時(shí)誤差式(4)可寫成:

(7)

定理 針對(duì)驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)式(1)和(2)， 如果下面的線性矩陣不等式：

(8)

其中，

Ω=AX+XAT+BY+YBT-Q-QT+I

存在正定對(duì)稱矩陣X，Y和矩陣Q.則所設(shè)計(jì)的式(6)對(duì)任意初始條件e(0)都能實(shí)現(xiàn)式(1)和(2)漸近同步，而且K=YX-1.

證明:考慮在式(6)作用下的同步誤差式(7)，顯然e(t)=0是平衡點(diǎn).選取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(9)

其中：P為對(duì)稱正定矩陣，則沿著同步式(7)的正半軌跡求導(dǎo)：

(10)

根據(jù)引理1及假設(shè)(ⅱ)有：

(11)

把(11)式代入到(10)式得：

(12)

顯然，若：

(13)

根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)[9]437-442， (13)式等價(jià)于:

(14)

在式(14)左右兩邊同乘diag(P-1,I),并記X=P-1,Y=KX,LCX=Q.這樣式(14)等價(jià)于(9)式，即定理證畢.

3 仿真示例

為了驗(yàn)證上述結(jié)論，以下給出蔡氏電路同步的計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果.所得模擬仿真結(jié)果中的初值是隨機(jī)選取的.

描述蔡氏電路的方程為：

(15)

其中：

當(dāng)α=10,β=14.87,a=-1.27,b=-0.68時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，顯然C=(1,1,0),容易驗(yàn)證C和A滿足可觀性條件.

設(shè)計(jì)如下響應(yīng)混沌系統(tǒng)：

其中：

對(duì)于給定參數(shù)，根據(jù)定理1得到如下結(jié)果：

圖1 蔡氏電路同步誤差變化曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了混沌系統(tǒng)同步問題，基于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法和線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)給出了實(shí)現(xiàn)混沌同步的充分條件，并給出了通過求解線性矩陣不等式的方法來設(shè)計(jì)控制器的增益，最后的仿真結(jié)果也證明了本文所提方法的正確性.

[1] Pecora L. M，Carroll T. L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990，64(08).

[2] Lu J A，Wu X Q，Lü J H.Synchronization of a unified chaotic system and the application in secure communication [J].Physics Letters A，2002，305(06).

[3] Chen S H，Yang Q，Wang C P.Impulsive control and synchronization of unified chaotic system [J].Chaos Solitons and Fractals， 2004，20(04).[4] 孫克輝，陳志盛，張?zhí)┥?統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制同步[J].控制與決策，2005，20(02).

[5] 陳秀琴，沈志萍，李文林.具有噪聲擾動(dòng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步控制[J].電光與控制，2008，15(08).

[6] 陳從顏，宋文忠.基于非線性觀測(cè)器設(shè)計(jì)的混沌同步控制[J].控制與決策，2005，20(05).

[7] 鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，等.狀態(tài)觀測(cè)器法實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)同步[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，44(01).

[8] 姚利娜，高金峰，廖旎煥.實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的非線性狀態(tài)觀測(cè)器方法[J].物理學(xué)報(bào),2006，55(01).

[9] 俞 立.魯棒控制線性矩陣不等式方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002

[責(zé)任編輯 梧桐雨]

Synchronization of Uncertain Chaotic Systems Based on Nonlinear State Observer

CHEN Xiuqin1， XIONG Wenzhen1， LI Juntao2

(1.CollegeofMathematicsandComputerScience，XinyangVocationalandTechnicalCollege，Xinyang464000，China；2.CollegeofMathematicsandInformationScience，HenanNormalUniversity，Xinxiang453007，China)

For a class of chaotic systems with uncertainties in which all state variables are not measured，the synchronization problem based on nonlinear observer with a controller is investigated. Assuming the nonlinear variable satisfies some condition，the controller designed will synchronize with the drive system. The existence of the controller is given in terms of a LMI，and the design of the controller is obtained by solving the LMI. Finally，analysis of the synchronization system and numerical simulation are presented to show that the method proposed is effective.

chaotic system； chaos synchronization； observer； LMI approach

2016-06-11

國(guó)家自然科學(xué)基金“基于自適應(yīng)支持向量機(jī)的微陣列分類與群體基因選擇研究”(項(xiàng)目編號(hào)：61203293)；河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)計(jì)劃(項(xiàng)目編號(hào)：122102210131)

陳秀琴(1981- )，女，河南信陽(yáng)人，信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。

1671-8127(2016)05-0008-03

O415.5; TP273

A