☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校丁志國

思路貫通想教學，洞察結構再變式
——以2016年中考湖北武漢第24題為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校丁志國

我們知道，全國不少省份都是以地級市為單位統(tǒng)一命制中考試題，這一方面使得中考命題風格呈現(xiàn)“百花齊放”的格局，另一方面不少地區(qū)也延續(xù)著命題組個性化的喜好，引導著本地區(qū)備考復習的風向.本文關注湖北武漢2016年中考壓軸題，在思路突破之后，反思考題的深層結構，并開展變式練習的教學思考，供研討.

一、考題思路突破與解后反思

考題（2016年湖北武漢，第24題）拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方.

（1）如圖1，若P（1，-3）、B（4，0），

①求該拋物線的解析式；

②需要分兩種情況思考，構造圖3所示的兩種可能的點D，在該圖中都滿足∠DPO=∠POB.而且當∠D1PO=∠POB時，PD1∥AB，根據(jù)拋物線對稱性質(zhì)，容易求出D1的坐標是（-1，-3）.以下重點計算點D2的坐標.若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標.

圖1

圖2

（2）如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點.當點P運動時是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

1.思路突破

（1）①給了兩點坐標之后，根據(jù)待定系數(shù)法可把P（1， -3）、B（4，0）代入y=ax2+c，得拋物線的解析式為

圖3

圖4

圖5

讓我們分離出圖4方便問題的討論.在圖4中，△QOP是等腰三角形，PQ=OQ，PH=3，OH=1.設PQ=m，則HQ=m-1.在Rt△PQH中，根據(jù)勾股定理可得（m-1）2+32=m2，解得m=5，即Q（5，0），于是直線PQ為

另解思考：如果不能及時構造Rt△PQH利用勾股定理突破，也可以走另外的路徑設法求出Q點的坐標，比如解析法.構造圖5，作OP的中垂線交x軸于Q，可利用N（1，-1.5）及兩直線垂直的性質(zhì)，求出直線QN的解析式，從而確定Q點的坐標（5，0），后同上述解法.

（2）問題十分抽象，因為沒有一個常量給出，可考慮設B（b，0），根據(jù)對稱性質(zhì)有A（-b，0），將其代入拋物線解析式得ab2+c=0，變形為如圖6，過點P（m，n）作

PQ⊥AB，有n=am2+c.

圖6

2.解后反思

（1）問題的難點有幾處？

對于（1）②，難點之一是需要分類討論，難點之二是分類討論之后點P右側(cè)的點D如何求，真正的難點是如何確定直線PD2的解析式，并與拋物線方程聯(lián)立求解.

第（2）問的難點在于“全程”參數(shù)化運算，對數(shù)式運算變形提出太高的要求，信心不足、預習性不強的考生很容易中途放棄.

（2）最后一問的結構是什么？

由第（2）問“全程”參數(shù)化運算，最后也能獲得定值這一結論，將此結論稍作推導、成果擴大，可得出如下一些真命題，比如OE+OF=2OC；點C為EF的中點等.為了更清楚地說明問題的深層結構，我們還可以將圖形進一步簡化為圖7.

圖7

問題結構：頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m交于A、B兩點，點P是AB下方拋物線上任意一點，直線AP、BP交拋物線的對稱軸于E、F.是否一定有C為EF的中點？如何證明？

思路概述：點C確是EF的中點.可考慮作PD⊥AB于D點，利用相似三角形計算出AB的中點為原點，AB為x軸，重新建立直角坐標系，令OB=p，則拋物線方程為y=a（x2-p2），OC=ap2.設OD=d，則PD=a（p2-d2）.這里以對稱軸為y軸、AB重新建立坐標系，將問題特殊化后研究起來比較容易些，而對比武漢卷壓軸題也是這樣的設計意圖.

二、教學思考

由于武漢卷帶有濃濃的“地方個性”，故對相關地區(qū)選練或復習備課時提出如下教學建議.

1.函數(shù)綜合題復習時要重視“解析法”滲透

以函數(shù)為載體的綜合題一直是各地中考命題的重點和熱點，通常都會與平面幾何進行有效融合.像本文考題這樣利用幾何相似或直角三角形等性質(zhì)可以獲得問題突破.講評時，面對高層次學生傳遞不同解法時，不宜回避初中課標并不涉及的解析思路，即利用不同直線之間的位置關系對應的直線方程中的系數(shù)特殊靈活處置，往往可以直達問題本質(zhì)，使對思維要求偏高的幾何構造減弱為解析法中的運算.這就提醒我們，面對類似考題的命題特點，備考教師應該將解析法中常見的一些技巧、設元策略向?qū)W生傳遞、輔導，比如兩直線平行，它們的直線方程中一次項系數(shù)相等；兩直線關于直線x=a對稱，則兩直線方程中的一次項系數(shù)互為相反數(shù)，等等.這些性質(zhì)可以不要求所有學生都理解或掌握，但對于高層次學生（人群中前5%）來說是很容易理解和掌握的.

2.解題教學時要注意預設鋪墊、拓展追問

對于這樣的較難問題，在講評時，不宜直接呈現(xiàn)考題，而應該先在外圍設計一些熱身問題、鋪墊問題，使得較難問題出現(xiàn)時，學生可以通過一些鋪墊問題獲得啟示和探究的方向.以下就是圍繞考題第（1）②問的鋪墊式設問的PPT截圖（如圖8），供分享：

圖8

3.加強解后回顧，特別是難點反思與結構揭示

解題教學中，在思路貫通、規(guī)范表達之后，還需要引入解后回顧環(huán)節(jié)，即從問題的難點反思、結構揭示、方法提煉、經(jīng)驗積累等角度引導學生反思.比如考題的最后

一問，隱著圖7所揭示出來的深層結構，稍作變式就可生成很多新的問題.

三、變式改編

作為本文的結束，我們本著命題研究的興趣，再對考題給出變式改編，供研討.

變式改編題：拋物線y=ax2+k與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點M在拋物線上，且位于x軸上方.

圖9

圖10

（1）如圖9，若M（1，3）、B（4，0），

①求頂點C的坐標；

②若D是拋物線上一點，滿足∠DMO=∠MOB，求△ABD的面積.

（2）如圖10，已知直線MA、MB與y軸分別交于E、F兩點.設E點關于x軸的對稱點為點E′，猜想線段E′F與OC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

1.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（7）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.Z