☉江蘇省海安縣隆政初級(jí)中學(xué)錢宜鋒

反思結(jié)構(gòu)四點(diǎn)共圓，變式改編一題一課
——以2016年四川成都中考卷第27題為例

☉江蘇省海安縣隆政初級(jí)中學(xué)錢宜鋒

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2016年8月、9月連續(xù)兩期都發(fā)表了純幾何綜合考題的研究文章，作者從思路突破出發(fā)，指向教學(xué)，起到很好的引領(lǐng)作用.受到啟發(fā)，筆者也深入研究了2016年四川成都中考卷第27題，這也是一道純幾何的綜合題，本文給出該題的思路突破，并立足于解題教學(xué)的視角，對(duì)該題的解題教學(xué)給出一些建議，提供研討.

一、考題及思路貫通

考題（2016年四川成都中考卷第27題）如圖1，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DH=CH，連接BD.

圖1

圖2

圖3

（1）求證：BD=AC.

（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點(diǎn)B、D分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)），連接AE.

①在Rt△AHC中如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（F不與C重合），若BC= 4，tanC=3，求AE的長(zhǎng)；

②如圖5，設(shè)CG、AH交于點(diǎn)Q，由題意可知EH=AH，HF=CH，∠AHE=∠FHC=90°+30°=120°，再利用三角形如圖3，當(dāng)△EHF是由△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH.試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

1.思路突破

（1）這是初二剛學(xué)全等時(shí)就練習(xí)的一道常見(jiàn)習(xí)題，利用“SAS”證明△BDH≌△ACH，就可得BD=AC.

（2）將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF后，可以確認(rèn)兩個(gè)等腰三角形，也就是△CHF，△HAE是等腰三角形，而且它們的頂角∠CHF=∠AHE，即這兩個(gè)等腰三角形是相似的.相似比為CH∶AH，結(jié)合△AHC是直角三角形，可知它們的相似比與∠C的正切值有關(guān).所以AH=3CH.結(jié)合增設(shè)出來(lái)的強(qiáng)化條件BC=4，tanC=3，可算出CH=1，AH= BH=3，接下來(lái)構(gòu)造圖4進(jìn)一步分析，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AC于點(diǎn)M，在Rt△CHM中回到圖2中，在等腰三角形CHF中，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)得出再對(duì)應(yīng)到上面得到的那組相似三角形：△CHF與△HAE，可以解出內(nèi)角和性質(zhì)所以△AQG∽△CQH，可得比例式同樣再由∠AQC=∠GQH，證出△AQC∽△GQH，所以sin30°.結(jié)合AC=EF，所以

圖4

圖5

2.解后反思

第（2）①問(wèn)的關(guān)鍵是作HG⊥AC，利用△AEH∽△CFH，溝通AE與CF的數(shù)量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.第（2）②問(wèn)的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)含120°的等腰△AEH，△FHC，并且發(fā)現(xiàn)A，G，H，C四點(diǎn)共圓.另外，旋轉(zhuǎn)與相似在這一道題中有較多的體現(xiàn)，包括等線段的轉(zhuǎn)化.

二、教學(xué)微設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)一：開課階段，熱身練習(xí)

練習(xí)1：如圖6，Rt△ABC中，AC= BC，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，且CE=CD.連接BD、AE.

（1）直接寫出sin∠BAC的值.

（2）指出線段BD、AE的數(shù)量與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）小南同學(xué)認(rèn)為△ACE可以看是△BCD旋轉(zhuǎn)得到的，你能理解嗎？

（4）當(dāng)CD=1，tan∠E=2，求△ABC的周長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：圍繞原考題的圖1，開發(fā)出來(lái)的系列問(wèn)題，意圖是訓(xùn)練該圖形中相關(guān)線段與角度問(wèn)題，為后續(xù)研究圖形的旋轉(zhuǎn)熱身準(zhǔn)備.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：順向旋轉(zhuǎn)，初步探究

練習(xí)2：如圖2，Rt△ABH中，∠ABH=45°，點(diǎn)D在AH上，且DH=CH，連接BD.將△BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點(diǎn)B、D分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)），當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（F不與C重合），連接AE.

（1）求證：△HCF∽△HAE；

（2）若BC=4，tanC=3，求AH的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)H到AC的距離；

（4）在（2）的條件下，求△AEH的面積.

設(shè)計(jì)意圖：將原考題的第（2）①問(wèn)分解成4個(gè)小問(wèn)，各個(gè)突破，直到最后一問(wèn)跳過(guò)求AE的長(zhǎng)，而是求△AEH的面積，仍然需要利用原考題中的求解思路.

圖6

教學(xué)環(huán)節(jié)三：逆向旋轉(zhuǎn)，深入探究

練習(xí)3：如圖3，Rt△ABH中，∠ABH=45°，點(diǎn)D在AH上，且DH=CH，連接BD.將△BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△EHF（點(diǎn)B、D分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)），設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH.

（1）求證：△HCF∽△HAE.

（2）小潔發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A，G，H，C四點(diǎn)能在同一個(gè)圓上！請(qǐng)判斷“小潔發(fā)現(xiàn)”的真假，如果是真，請(qǐng)指出該圓的圓心與半徑；如果是假，說(shuō)明理由.

（3）設(shè)AH，CG相交于點(diǎn)M，求證：GM·CM=HM·AM.

（4）小穎發(fā)現(xiàn)，E，G，F(xiàn)，H四點(diǎn)也能在同一個(gè)圓上，并且半徑的長(zhǎng)等于GH！請(qǐng)判斷“小穎發(fā)現(xiàn)”的真假，如果是真，說(shuō)明理由；如果是假，舉出反例.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)原考題的最后一問(wèn)進(jìn)行深度構(gòu)建與追問(wèn)，使得該題中存在多處四點(diǎn)共圓都得到挖掘和深入追問(wèn)，讓學(xué)生對(duì)該題的深層結(jié)構(gòu)有更清楚的認(rèn)識(shí).

教學(xué)環(huán)節(jié)四：聽(tīng)課檢測(cè)，效果反饋

變式改編題：如圖7，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，且BD=ED，連接CE.

（1）求證：AB=CE.

（2）若BC=4，tanB=3，求AE的長(zhǎng).

（3）將△DCE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到△DMN（點(diǎn)C、E分別與點(diǎn)M、N對(duì)應(yīng)），連接AM.

①當(dāng)點(diǎn)N落在AB上時(shí)，畫出符合要求的圖形，并指出△BDN與哪一個(gè)三角形相似？說(shuō)明理由.

②當(dāng)α為銳角時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A，M，D，N四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，如果在，說(shuō)明理由，并指出該圓的圓心與半徑；如果不在，說(shuō)明理由或舉出反例.

改編意圖：將原考題的點(diǎn)D的位置與45°進(jìn)行了位置上的變換，增加了旋轉(zhuǎn)后自主構(gòu)圖的要求，求解的路徑或方法仍然類似于原考題，可有效達(dá)到聽(tīng)課檢測(cè)的效果.

圖7

三、研發(fā)“一題一課”的教學(xué)建議

1.深刻理解考題結(jié)構(gòu)，確保圍繞考題重點(diǎn)與難點(diǎn)開展解題訓(xùn)練

近一段時(shí)間以來(lái)，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）有多篇考題研究的文章在思路貫通之后，都進(jìn)行了一題一課的構(gòu)建，這種將解題研究引向教學(xué)研究的撰文取向值得學(xué)習(xí).再有，這些課例中的問(wèn)題設(shè)計(jì)都能有效地圍繞考題結(jié)構(gòu)展開，而不是離“題”千里，另搞一套所謂的類似的習(xí)題.我們?cè)谏厦娴?個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中安排的習(xí)題全部源自考題，有些是直接對(duì)應(yīng)原圖形，有些是將圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換，比如更換字母、圖形的位置等，這樣有效地保證了整節(jié)課解題訓(xùn)練都是圍繞著原考題的重點(diǎn)與難點(diǎn)開展.

2.注意變式改編拓展，基于多元表征理論讓問(wèn)題呈現(xiàn)豐富多樣

鄭毓信教授倡導(dǎo)的多元表征理論對(duì)于變式教學(xué)，特別是命題研究中的變式改編有直接的指導(dǎo)作用.在上面的課例設(shè)計(jì)中，我們正是基于多元表征理論，把考題用不同的方式、面貌呈現(xiàn)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生在這些豐富多樣的變式題訓(xùn)練中感悟問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，當(dāng)學(xué)生理解了這些不同形式問(wèn)題背后都是一致時(shí)，他們的解題能力、眼力、洞察力也就得到了相應(yīng)的訓(xùn)練和提升.

1.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.楊衛(wèi)東.客從何處來(lái)：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

3.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡(jiǎn)約［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.H