☉江蘇省如東縣岔河中學(xué)冒亞萍

善于提問：難題講評(píng)前的預(yù)設(shè)視角
——由兩道較難二次函數(shù)習(xí)題講評(píng)為例

☉江蘇省如東縣岔河中學(xué)冒亞萍

數(shù)學(xué)作業(yè)（包括各類作業(yè)、考試）講評(píng)課是日常數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的一種課型，然而講評(píng)有些較難試題時(shí)，由于缺乏深入的預(yù)設(shè)和充分的準(zhǔn)備，往往講評(píng)效果并不理想.我們認(rèn)為，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授提出的數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功之一的“善于提問”就是值得我們?cè)陔y題講評(píng)前認(rèn)真構(gòu)思的一種備課視角.

一、兩道較難習(xí)題的講評(píng)案例

案例1：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在該函數(shù)的圖像上，當(dāng)1＜x1＜2，3＜x2＜4時(shí)，分析y1與y2的大小關(guān)系；

（3）若將此圖像沿x軸向右平移3個(gè)單位，請(qǐng)寫出平移后圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（4）設(shè)點(diǎn)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像上，問：當(dāng)m＜-3時(shí)，y1、y2、y3的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)嗎？為什么？

講評(píng)預(yù)設(shè)：前三問比較簡(jiǎn)單，這里直接給出它們的答案.（1）y＝（x-2）2；（2）y1＜y2；（3）y＝（x-5）2或y＝x2-10x+25.以下重點(diǎn)講解第（4）問的思路突破.首先，要思考問題的起點(diǎn)，即需要考慮這三個(gè)點(diǎn)在函數(shù)圖像上的大致位置，因?yàn)樗鼈兊奈恢脮?huì)影響y1、y2、y3大小的排列（y1＞y2＞y3＞0），而它們的大小順序又影響著三角形三邊的大小的排列和作差比較；接下來思考貫通的路徑，需要把相應(yīng)的橫坐標(biāo)分別代入解析式，得到y(tǒng)1、y2、y3的表達(dá)式，再作差比較.即y2+y3-y1＝（m-1）2+m2-（m-2）2＝m2+2m-3.這個(gè)式子的正、負(fù)影響著三角形能否圍成目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，有不同的路徑，比如將其因式分解為（m+3）（m-1），結(jié)合m＜-3時(shí)，“負(fù)負(fù)得正”，說明y2+y3-y1＞0，即y1、y2、y3的值一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng).也可將m2+2m-3配方得（m+1）2-4，視它為一個(gè)關(guān)于m的二次函數(shù)，當(dāng)自變量m＜-3時(shí)，該函數(shù)一定為正數(shù).基于上述認(rèn)識(shí)，我們構(gòu)思如下的PPT（如圖1），在不同的障礙點(diǎn)處分別安排了“起點(diǎn)”“目標(biāo)”“貫通思路”“難點(diǎn)突破”等提示語，使得學(xué)生在研習(xí)時(shí)抬級(jí)而上，既獲得幫助又需要自己努力思考.

圖1

案例2：已知關(guān)于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0.

（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若拋物線y＝mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上（點(diǎn)P、Q不重合），且y1＝y(tǒng)2，求代數(shù)式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值.

講評(píng)預(yù)設(shè)：在網(wǎng)絡(luò)上檢索出該題出自2012年北京海淀區(qū)中考一模，后很多地區(qū)?？蓟蛩^的月考紛紛引用，只是將最后的待求代數(shù)式的常量進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的改編，因?yàn)榇鷶?shù)式“4x12+12x1n+5n2+16n”是定值16.前兩問比較常規(guī)，我們只給出第（2）問的思路點(diǎn)撥（PPT如圖2）.

圖2

值得一說的是，在PPT中三個(gè)箭頭分別提醒學(xué)生如

何得到（m+3）（mx+1）＝0，并如何分析這個(gè)方程，從而確認(rèn)m＝1.

圖3

接下來重點(diǎn)說說最后一問.這里比較難思考的是y1＝y(tǒng)2能帶來怎樣的信息，如果僅從函數(shù)值相等，把x1、n代入然后變形得出2x1+n+4＝0，則有一定意義，進(jìn)一步可變形得2x1＝-n-4，再代入待求代數(shù)式中（注意整體代入2x1比較恰當(dāng)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)化），經(jīng)過運(yùn)算、化簡(jiǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)參數(shù)n被消去，得到16+200＝216.這里后一階段的運(yùn)算量仍然較大，對(duì)較為繁雜的運(yùn)算能力是又一次考驗(yàn).如果能從另外的角度發(fā)揮y1＝y(tǒng)2的作用，則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化求解.

這里可以引入高中解析幾何中的重要性質(zhì)，當(dāng)f（x1）＝f（x2）時(shí)，一定有f（x1+x2）＝f（0）＝c的性質(zhì).即本題有f（x1）＝f（x1+n），則有f（x1+x1+n）＝f（0）＝3，而拋物線y＝x2+4x+3的對(duì)稱軸方程為x＝-2，則f（-4）＝f（0）＝3，即x1+x1+n＝-4，而這與之前經(jīng)過較繁雜運(yùn)算得出的2x1+n+4＝0殊途同歸，接下來再代入待求代數(shù)式中即可明確解答，循此思路，我們預(yù)設(shè)如下的PPT（如圖4）.

圖4

在這一頁P(yáng)PT中，當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生分析出2x1+n+4＝0之后，沒有直接代入代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，而是引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)y1＝y(tǒng)2的性質(zhì)，從而解讀出x1+x1+n＝-4.

二、進(jìn)一步的思考

1.深刻理解問題，辨明難點(diǎn)所在是善于提問的前提面對(duì)較難的數(shù)學(xué)習(xí)題，作為教師，首先要貫通思路，然后從不同角度追求更簡(jiǎn)化、更優(yōu)化的思路，或更自然、更初等的方法來揭示問題的解法，這是深刻理解問題的內(nèi)涵之一.在此基礎(chǔ)上，回看問題的難點(diǎn)有哪些？這些難點(diǎn)基于什么來破解？與我們?cè)诮滩纳夏男└拍钪苯酉嚓P(guān)？與哪些經(jīng)典問題有相似或關(guān)聯(lián)之處？多思考這樣的問題，就是學(xué)會(huì)辨明難點(diǎn)和難點(diǎn)突破，也是進(jìn)一步開展教學(xué)設(shè)計(jì)的前提.

2.增設(shè)恰當(dāng)提示，通過課件漸次呈現(xiàn)、相機(jī)引導(dǎo)和啟發(fā)思考

在教師本人深刻理解問題之后，辨析了數(shù)學(xué)習(xí)題有哪些難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、歧路之后，就可以在這些難點(diǎn)、阻礙點(diǎn)、歧路處設(shè)計(jì)“路標(biāo)”，即恰當(dāng)?shù)奶崾荆訮PT標(biāo)注的方式動(dòng)畫呈現(xiàn)，一方面，引導(dǎo)學(xué)生向著正確的方向前進(jìn)，另一方面，也為“相機(jī)引導(dǎo)”（李庾南老師語）提供了可能，同時(shí)還為促進(jìn)學(xué)生思維較大限度地被“卷入”課堂思考中提供了有效保證.

3.問題適度拓展，引導(dǎo)學(xué)生洞察和理解問題深層結(jié)構(gòu)

在本文中，我們所指的問題適度拓展并不是指在原考題的基礎(chǔ)上再次拓展變式、增加思維挑戰(zhàn)，而是指在思路貫通之后，能反思回顧，并把原有解法納入到一個(gè)“高觀點(diǎn)”下俯視，追求更加簡(jiǎn)約、深刻的解題路徑，當(dāng)然我們也需要向?qū)W生傳遞“算法簡(jiǎn)單的方法往往要付出邏輯思維的代價(jià)”.比如上文題例2中最后一問待求的代數(shù)式“4x12+12x1n+5n2+16n”是一個(gè)定值，如果不能理解這一結(jié)構(gòu)，則會(huì)誤以為后面的常數(shù)200是一個(gè)有效的數(shù)據(jù)，干擾思路，形成思維歧路.

1.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

2.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

3.陳愛軍.預(yù)設(shè)互動(dòng)促進(jìn)對(duì)話，課件簡(jiǎn)約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

5.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.Z