☉浙江省溫州市第十九中學(xué)何萍

立足課標(biāo)經(jīng)歷猜想發(fā)展思維
——對(duì)“嘗試檢驗(yàn)法解方程”的教學(xué)思考

☉浙江省溫州市第十九中學(xué)何萍

浙教版（2012年版）義務(wù)教育教科書(shū)七年級(jí)上冊(cè)第5章第1節(jié)“一元一次方程”中提出了“嘗試檢驗(yàn)法”.在校本教研的一節(jié)課上，筆者看到了這樣的一個(gè)案例.

一、案例重現(xiàn)

D老師在學(xué)生了解了一元一次方程的解的概念的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：你知道一元一次方程的解是什么嗎？，所以估計(jì)x為負(fù)數(shù)，教師給出一列數(shù)，電腦上出示表1.

表1

接著，D老師讓學(xué)生求出對(duì)應(yīng)的從而得到方程的解是x=-3.然后，D老師告訴學(xué)生，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的方程，可以確定未

知數(shù)的一個(gè)較小的取值范圍，將這些未知數(shù)的值代入方程進(jìn)行嘗試檢驗(yàn)，來(lái)確定方程的解，這種方法叫作嘗試檢驗(yàn)法.

二、案例剖析

嘗試檢驗(yàn)法是新版浙教版教材中新添的內(nèi)容，這一內(nèi)容替換掉了老版教材中利用等式基本性質(zhì)解簡(jiǎn)單的一元一次方程的例子.學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)了用逆運(yùn)算的方法解一元一次方程，在不會(huì)解方程的情況下，原始的想法是先估計(jì)一個(gè)值，然后代入，觀察等號(hào)兩邊值的大小，從而估計(jì)調(diào)整、縮小解的范圍.其中，滲透了變量思想、函數(shù)思想，又體現(xiàn)了逐步逼近的思想.

表2

課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”，“數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織與呈現(xiàn)應(yīng)該重視過(guò)程.通過(guò)這樣一個(gè)過(guò)程，學(xué)生不僅能獲得知識(shí)與技能，而且能體會(huì)感悟到這些知識(shí)技能背后更為本質(zhì)的東西——知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)的思想、方法，積累起一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).同時(shí)，通過(guò)這一過(guò)程也可以使學(xué)生掌握一定的學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從整體上促進(jìn)自己數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.”

基于《課標(biāo)》的過(guò)程目標(biāo)，筆者認(rèn)為，經(jīng)歷“嘗試檢驗(yàn)法”過(guò)程，如教材中提出的“依次取x的值為11，12，13，14，15，16，17，代入方程左邊代數(shù)式，求出代數(shù)式的值，然后用方程的解的概念去驗(yàn)證求得未知數(shù)的值”的思維方法，是今后解決問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)基本思想，即推理能力.讓學(xué)生經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過(guò)程，在過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的推理能力，是教材提出“嘗試檢驗(yàn)法”的主要意圖.

基于此，筆者認(rèn)為，體驗(yàn)嘗試檢驗(yàn)法的起點(diǎn)不是先給出x的取值范圍，而是立足于讓學(xué)生猜的思維基礎(chǔ)上，“有道理”地去猜x的取值范圍.

三、教學(xué)重構(gòu)

師：猜猜x=？

學(xué)生1：x=3.

學(xué)生2：x=4.

（學(xué)生隨意報(bào)出兩個(gè)數(shù)）

表3

表4

師：從表3中看出，x不等于3，也不等于4，該往哪邊猜？

生3：x比3小.

師：怎么猜出來(lái)的？

（教師根據(jù)學(xué)生口述將表3調(diào)整成表4）

生4：我猜x=-1.

表5

師：還猜嗎？往哪邊猜？

生5：我猜x=-2.

生6：我猜x=-5.

師：哦，x=-2大了，x=-5小了.

生：x的值在-2和-5之間（表6）.

表6

生7：我猜到了，方程的解是x=-3.

師：怎么猜到的？

生7：x的值在-2和-5之間，我就代入x=-3，左右兩邊相等.

師：哦，隨機(jī)猜的.

生8：我取-5和-2中間的數(shù)-3.5代入，它們的差小于0，說(shuō)明x的值在-2和-3.5之間.

師：這兩個(gè)學(xué)生“猜”得很有規(guī)律.我們來(lái)回憶剛才的過(guò)程，看看怎樣能快速地猜出x的值？

生10：先任意猜兩個(gè)數(shù)，分別比較左右兩邊的差與0的大小，如果兩個(gè)差都比0大，那么x的值比猜的這兩個(gè)數(shù)小，如果兩個(gè)差都比0小，那么x的值比猜的這兩個(gè)數(shù)大，如果兩個(gè)差，一個(gè)比0大，一個(gè)比0小，那么x的值在這兩個(gè)數(shù)之間，我們就在這個(gè)范圍內(nèi)找x的值.

師：怎么找？

生11：再猜一個(gè)x，比較差與0的大小，按照這種方法，不斷縮小x的范圍，使得差與0越來(lái)越接近.

師：為了快速地猜出x的近似值，你有沒(méi)有方法？

生11：x=3時(shí)，差是9，x=-5時(shí)，差是-3，說(shuō)明x的值在3和-5之間，再取3和-5的中間的數(shù)-2，差是1.5，說(shuō)明x的值在-2和-5之間，再取-2和-5的中間數(shù)-3.5，差接近0，取x=-3.

師：哦，把x的取值范圍一分為二進(jìn)行嘗試，不斷地縮小x的取值范圍，使得這個(gè)范圍內(nèi)x的值所對(duì)應(yīng)的差與0越來(lái)越接近，從而找到滿足條件的x的值.

生12：我還有一種方法.也可以觀察x每增加（減少）1，差增加或減少了多少，從而找到x的值.

師：有點(diǎn)意思，舉個(gè)例子說(shuō)明.

生12：如我們猜了x=4時(shí)，差是10.5，x=3時(shí)，差是9，說(shuō)明x減少1時(shí)，差減少1.5.那么如果差從10.5減少到0，則x減少了那么x的值就是4-7=-3.

師：通過(guò)觀察兩個(gè)變化的量，來(lái)找出彼此之間的關(guān)聯(lián)，從而求得x的值，這是函數(shù)思想.

這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生思維異?；钴S，興趣高漲.比較兩次教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，優(yōu)點(diǎn)在于：第一，通過(guò)列表，讓學(xué)生初步體會(huì)取不同x的值，方程左、右兩邊的代數(shù)式的值會(huì)不同，每取一個(gè)x的值，每個(gè)代數(shù)式都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)值，滲透了變量思想和函數(shù)思想；第二，學(xué)生在猜x的值的過(guò)程中已經(jīng)運(yùn)用了二分法的思想將x的范圍不斷縮小，并用逼近的原理求出x的值，滲透了逐步逼近思想；第三，讓學(xué)生初步體會(huì)方程左右兩邊代數(shù)式隨x的值越來(lái)越大時(shí)，代數(shù)式值的變化趨勢(shì)，當(dāng)方程左邊代數(shù)式和右邊代數(shù)式的值相等時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值就是方程的解，也就是當(dāng)?shù)闹翟絹?lái)越大，1-x的值越來(lái)越小，在某時(shí)刻，兩者有一個(gè)共同的點(diǎn)，此時(shí)，x的值相同，代數(shù)式的值也相同，這個(gè)思維過(guò)程，讓學(xué)生初步去體會(huì)函數(shù)和方程的關(guān)系；第四，通過(guò)讓學(xué)生先“猜”，先“笨”做，再去驗(yàn)證猜想，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓.《課程》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.”教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于以知識(shí)和技能為載體，讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，從中來(lái)激發(fā)思維，感悟數(shù)學(xué)思想.