鄧勇

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十字路口左轉(zhuǎn)信號燈設(shè)計建模

鄧勇

（喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆 喀什 844006）

探討了十字路口合理安裝和使用左轉(zhuǎn)信號燈的規(guī)則．在建立此問題的數(shù)學(xué)模型時，僅使用了微積分基本定理．因此，可將其作為微積分或建模課程教學(xué)的一個很好范例．

沖突因素；微積分基本定理；交通建模

道路交通問題已成為一個復(fù)雜的社會系統(tǒng)，它不僅與市民的生活密切相關(guān)，而且關(guān)系到經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會進(jìn)步．在城市繁華地帶的上下班高峰期，通行不足百米的道路花費近半小時是常事．因此，解決城市交通擁堵問題已迫在眉睫．本文以十字路口是否需設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭為研究對象，通過建立和求解數(shù)學(xué)模型，為解決城市交通問題提供參考依據(jù)．

1　模型概述

通常，交通工程師把每小時左轉(zhuǎn)車輛數(shù)和在相反方向直行車輛數(shù)的乘積定義為沖突因素[1]．在某十字路口，是否給北行左轉(zhuǎn)車輛設(shè)置信號箭頭，需要測出南向直行和北向左轉(zhuǎn)車輛發(fā)生沖突的數(shù)量（東行和西行交通量與討論問題無關(guān)）．假設(shè)在1 h內(nèi)，有156輛車北向左轉(zhuǎn)，同時有273輛車南向直行，則沖突因素為42 588；在左轉(zhuǎn)車輛很多，但無相對直行車輛的情況下，沖突因素為0．此時，無需設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭．注意，在測量交通沖突時，用乘法比加法會產(chǎn)生更好的效果．因為，此交通問題類似于標(biāo)準(zhǔn)流行病模型，即新感染人數(shù)與感染人數(shù)和易感人數(shù)的乘積成正比．當(dāng)易感人數(shù)或感染人數(shù)很少時，新感染人數(shù)幾乎為零．所以，用乘法來刻畫交通沖突較為恰當(dāng)[2]．

在十字路口是否需設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭由其最小沖突因素所決定，而最小沖突因素又與十字路口的車道數(shù)和是否有專用轉(zhuǎn)彎車道有關(guān)．如某條道路有4個車道，其中北行和南行各2條，但無專用北行左轉(zhuǎn)車道．為保證工作日此十字路口至少錯時2 h（未必連續(xù)），需設(shè)置北行左轉(zhuǎn)信號箭頭的最小沖突因素為45 000；若這條道路為2個車道，且無單獨左轉(zhuǎn)車道，則最小沖突因素為35 000[3]．

2　建模求解

2.1模型數(shù)據(jù)獲取

在早晨7：00-9：00之間（上班高峰期），交通工程師將傳感器放置在某十字路口（四車道），并測得每間隔15 min通行車輛的實際數(shù)據(jù)（見表1）．規(guī)定：沖突因素至少為45 000時，方可設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭．

表1　某十字路口7：00-9：00之間通過的車輛數(shù)

由表1可以看出，在7：00-8：00之間，共有310輛直行車和173輛左轉(zhuǎn)車，沖突因素為53 630．在8：00-9：00之間，共有376輛直行車和189輛左轉(zhuǎn)車，沖突因素是71 064．根據(jù)這2個數(shù)據(jù)，交通工程師得出結(jié)論：該十字路口的東行線必需設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭[4]．可見，用離散模型計算小樣本數(shù)據(jù)的沖突因素還是可行的．然而，為有效處理大樣本數(shù)據(jù)，并對模型進(jìn)行更完整的分析，必須使用連續(xù)模型[5]．

假設(shè)每天的交通高峰期僅1次（如早高峰）．在此假設(shè)下，用二次多項式即可建立其交通模型．這是較簡單的一種情況，現(xiàn)實中的模型絕非如此．但是，利用傅里葉級數(shù)總可將其轉(zhuǎn)化為上述簡單情況來處理．為方便操作，將表1的數(shù)據(jù)都乘以4．這樣，每15 min一個周期就換算成了小時比率，并取比率為時間間隔的中點．如7：00-7：15間有66輛直行車，就用點（7.125，264）來表示．然后，由傅里葉分析可得．其中，初始數(shù)據(jù)和見圖1a．類似可得和沖突因素函數(shù)（見圖1b）．

圖1交通數(shù)據(jù)的傅立葉分析

注意到，沖突因素函數(shù)的圖像均位于閾值之上．這種現(xiàn)象并不奇怪，因為連續(xù)型數(shù)據(jù)與離散型數(shù)據(jù)要求設(shè)置左轉(zhuǎn)信號箭頭的條件完全一致．這種解釋難免牽強(qiáng)附會，況且結(jié)論推導(dǎo)并不顯然．如何給出其定量分析呢，一般地，需在[0，23]中找出2個至少間隔1 h的，滿足．關(guān)于這點，可借助微積分，求滿足條件的2個最大值．

2.2最大沖突因素

研究沖突因素函數(shù)的性質(zhì)，必須對積分變限函數(shù)求導(dǎo)．由微積分基本定理并利用Leibniz求導(dǎo)法則[6]可得．

3　結(jié)束語

[1] 陳寬民，羅志忠．平面交叉口左轉(zhuǎn)車流的特性分析及對策研究[J]．公路交通技術(shù)，2006（2）：114-118

[2] 楊開春，段勝軍．交通流的紅綠燈模型[J]．西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，2004，7（5）：41-45

[3] 李銳．城市道路交叉口交通信號控制理論與實踐[M]．北京：冶金工業(yè)出版社，2015

[4] 徐秋麗，張召飛．關(guān)于廊坊市交通擁堵問題的數(shù)學(xué)模型的探究[J]．長春師范大學(xué)學(xué)報，2015，34（4）：12-16

[5] 張露娜，李曼瑄，管海瀅，等．紹興市區(qū)交通紅綠燈配時優(yōu)化模型研究——以大龍市場十字路口為例[J]．紹興文理學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，32（7）：40-44

[6] 王元恒，商建初，褚海峰．實用微積分教程[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2011

[7] 黃云清．?dāng)?shù)值計算方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2010

[8] 單雪紅，張文軍．?dāng)?shù)學(xué)建模思想融入微積分教學(xué)芻議[J]．曲阜師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，41（2）：123-125

Modeling design on left-turn signal at the crossroad

DENG Yong

（College of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844006，China）

The rule of reasonable installation and use of left turn signal lamp is discussed．It is only use the fundamental theorem of calculus in establishing the mathematical model of this problem．Therefore， it can be used as a good example for teaching calculus or modeling course．

conflict factor；fundamental theorem of calculus；traffic modeling

1007-9831（2016）09-0018-03

O29

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.006

2016-06-01

鄧勇（1967-），男，四川遂寧人，教授，從事數(shù)學(xué)課程教學(xué)論研究．E-mail：dengy-ks@sohu.com