張夏葦

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

悲觀的多覆蓋模糊粗糙集

張夏葦

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

在樂觀的多覆蓋模糊粗糙集的基礎(chǔ)上,建立了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型.分別討論了悲觀多覆蓋模糊粗糙集、基于交的覆蓋模糊粗糙集、覆蓋模糊粗糙集和樂觀多覆蓋模糊粗糙集之間的關(guān)系.該模型的建立和得到的諸多性質(zhì)豐富了粗糙集理論.

模糊粗糙集;悲觀;多覆蓋

粗糙集理論首先是由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak[1]引入的,是一種處理不確定信息和數(shù)據(jù)非常有效的工具和方法.Pawlak粗糙集是由定義在論域上的一個(gè)劃分(等價(jià)關(guān)系)來定義的,這一要求在很多情形下卻成了Pawlak粗糙集進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用的一個(gè)“短板”.于是Zakowski[2]對(duì)Pawlak粗糙集進(jìn)行了推廣,引入論域上的一個(gè)覆蓋的定義,提出了覆蓋粗糙集模型.從另一個(gè)角度來看,因?yàn)镻awlak粗糙集是由一個(gè)等價(jià)關(guān)系定義的,從而Pawlak粗糙集是單?；?于是錢宇華等[3-4]又提出了樂觀的多粒化粗糙集和悲觀的多?；植诩?種模型.后來很多學(xué)者都對(duì)多粒化粗糙集進(jìn)行了深入的討論[5-11].接著在覆蓋粗糙集和多?；植诩幕A(chǔ)上,人們又研究了多覆蓋的粗糙集模型[12-13].

另一方面,模糊集理論也是一種處理模糊和不確定信息的有效工具.于是,人們便把粗糙集理論和模糊集理論結(jié)合起來研究,提出了各種模糊的粗糙集模型.例如,Xu等[14]研究了多?；哪：植诩挠嘘P(guān)性質(zhì).Kong等[15]也建立了覆蓋模糊粗糙集模型,得到了許多深刻的結(jié)論.此外,Liu等[16]還研究了樂觀多覆蓋模糊粗糙集模型.但是至今悲觀多覆蓋模糊粗糙集模型還沒有建立和研究,因此本研究在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上,提出了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型,并討論了有關(guān)性質(zhì),得到了一些有意義的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[17]設(shè)U是一個(gè)論域,C是U的一個(gè)覆蓋,稱序?qū)?U,C)為一個(gè)覆蓋近似空間.對(duì)任意x∈U,稱為x的最小描述.“∧”表示取最小值.

定義2[18]設(shè)(U,C)為一個(gè)覆蓋近似空間,對(duì)X?U,則分別稱

為X的覆蓋下近似和上近似.

在文獻(xiàn)[18]中,可以得到X的覆蓋下近似和上近似有如下性質(zhì):

定義3[16]設(shè)C是U的一個(gè)覆蓋且K∈C,如果K是C-{K}中某些元素的并,則稱K是覆蓋C的可去元素.本文中把覆蓋C中所有的可去元素都剔除后剩下的覆蓋稱為C的一個(gè)約簡(jiǎn),記為reduct(C).

定義4[19]設(shè)C1,C2是U的兩個(gè)覆蓋,若對(duì)任意的K1∈reduct(C1)都存在K2∈reduct(C2)使得K1?K2,則稱C1比C2細(xì),記作C1?C2.

定義5[19]設(shè)C1={K11,K12,…,K1m1,},C2= {K21,K22,…,K2m2,}是U的兩個(gè)覆蓋,則定義這兩個(gè)覆蓋的交為

在本文中,F(U)表示所有定義在U上的模糊集的全體.

定義6[19]設(shè)(U,C)為一個(gè)覆蓋近似空間,對(duì)X∈F(U),則分別稱

為X的覆蓋模糊下近似和上近似.這里“∨”表示取最大值.

定義7[19]設(shè)U是一個(gè)論域,Ω={C1,C2,…, Cm}是U的一個(gè)覆蓋族,稱序?qū)?U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間.

定義8[16]設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則分別稱

為X的樂觀多覆蓋模糊下近似和上近似.

為此,在定義8的基礎(chǔ)上也可以定義悲觀的多覆蓋模糊下近似和上近似:

定義9 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則分別稱

為X的悲觀多覆蓋模糊的下近似和上近似.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則有下列性質(zhì)成立

證明 由定義9顯然可得.

但是對(duì)悲觀的多覆蓋模糊粗糙集而言,如下性質(zhì)

一般卻并不成立.下面舉例說明.

例1 設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5},C1= {{x1,x2},{x2,x3,x4},{x5}},C2={{x1,x2,x3, x4},{x3,x4,x5}},則有

對(duì)模糊集X={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5},有

設(shè)C1,C2,…,Cm是U的m個(gè)覆蓋,根據(jù)定義5, m個(gè)覆蓋的交仍然是U的一個(gè)覆蓋.于是對(duì)任意模糊集X,可以定義基于覆蓋的覆蓋模糊粗糙集.那么悲觀的多覆蓋模糊粗糙集和基于覆蓋的覆蓋模糊粗糙集有何關(guān)系呢?首先,不妨舉個(gè)例子對(duì)此做一個(gè)初步的說明.

從而,可得

因此,由例2有如下結(jié)論:

定理2 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則有下列性質(zhì)成立

證明 1)為了論述方便,只對(duì)m=2的情形給于證明.

設(shè)C1,C2是U的兩個(gè)覆蓋,對(duì)任意x∈U,把C1, C2中所有包含x的元素的集合分別記為

從而有

2)仿1)的證明可得.

悲觀的多覆蓋模糊粗糙集是由m個(gè)覆蓋C1,C2,…,Cm定義的,為研究由m個(gè)覆蓋C1,C2,…,Cm所定義的悲觀的多覆蓋模糊粗糙集與m個(gè)覆蓋C1,C2,…, Cm中任一個(gè)覆蓋Ci,i=1,2,…,m所定義的覆蓋模糊粗糙集的關(guān)系,本研究通過一個(gè)例子來做一個(gè)初步的探討.

例3 設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5},C1={{x1, x2},{x2,x3},{x2,x3,x4,x5},{x3,x4,x5},{x5}}, C2={{x1,x2,x3},{x1,x2,x3,x4},{x3,x4,x5}},對(duì)X={0.5,0.4,0.3,0.2,0.1},有

同樣,對(duì)Y={0.5,0.6,0.7,0.8,0.9},也有

因此,由例3有如下結(jié)論:

定理3 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm}.對(duì)任意的Ci,i=1,2,…,m和任意X∈F(U),下列性質(zhì)成立:

證明 由定義6和定義9顯然可證.

注1 在文獻(xiàn)[9]中,我們知道若C1,C2,…,Cm滿足條件:C1?C2?…?Cm,則有等式成立:另一方面,在例3中發(fā)現(xiàn)盡管C1?C2,但是

下面回答由C1,C2,…,Cm定義的悲觀的多覆蓋模糊粗糙集和由reduct(C1),reduct(C2),…, reduct(Cm)定義悲觀的多覆蓋模糊粗糙集的關(guān)系.于是有下面的結(jié)論.

定理4 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則有下列性質(zhì)成立:

證明 因?yàn)閷?duì)任意x∈U,覆蓋C和其約簡(jiǎn)reduct(C)生成的md(x)是相同的,于是由定義9顯然可證.

最后,根據(jù)定義8和定義9,可得樂觀的多覆蓋模糊粗糙集和悲觀的多覆蓋模糊粗糙集的如下關(guān)系.

定理5 設(shè)(U,Ω)為一個(gè)多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對(duì)X∈F(U),則有下列性質(zhì)成立

3 結(jié) 論

探討各種廣義粗糙集模型的性質(zhì)是當(dāng)前粗糙集理論研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.本研究則在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上建立了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型,并對(duì)該模型的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了探討,得到了一些有意義的結(jié)果.

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Pessimistic Multi-covering Fuzzy Rough Sets

ZHANG Xiawei

(School of Appliced Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

In this article,based on the optimistic multi-covering fuzzy rough sets,the model of pessimistic multi-covering fuzzy rough sets is developed.Furthermore,relationships among optimistic multi-covering fuzzy rough sets,covering fuzzy rough sets based on intersection,covering fuzzy rough sets and pessimistic multi-covering fuzzy rough sets have been studied.All of these results enrich the fuzzy rough set theory.

fuzzy rough sets;pessimistic;multi-covering

O 22

A

0438-0479(2016)06-0918-04

10.6043/j.issn.0438-0479.201603032

2016-03-21 錄用日期:2016-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(61472463,61402064);福建省科技計(jì)劃項(xiàng)目(JA15281,JAT160369)

xiawzhang@163.com

張夏葦.悲觀的多覆蓋模糊粗糙集[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,55(6):918-921.

ZHANG X W.Pessimistic multi-covering fuzzy rough sets[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55 (6):918-921.(in Chinese)