安徽省太和中學　岳　峻

聚焦數(shù)學歸納法的應用

安徽省太和中學岳峻

數(shù)學歸納法是針對一些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的證明方法，即先證明當n取第一個值n0時命題成立，然后假設當n=k（k∈N*，k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立，那么就證明了這個命題成立。

為什么數(shù)學歸納法能夠證明對于無限多正整數(shù)都成立的命題呢？

這是因為第一步首先驗證了n取第一個值n0時命題成立，這樣假設就有了存在的基礎，至少k=n0時命題成立；根據(jù)假設和合理推證，證明出n=k+1時命題也成立，這實質上是證明了一種循環(huán)。如驗證了n0=1時命題成立，又證明了n=k+1時命題也成立，這就一定有n=2時命題成立；n= 2時命題成立，則n=3時命題也成立；n=3時命題成立，則n=4時命題也成立……以此類推，以至無窮。數(shù)學歸納法非常巧妙地解決了一種與無限多正整數(shù)有關的問題，這就是數(shù)學歸納法的神奇之處，也正是數(shù)學歸納法的本質。

一、證明恒等式問題

例1證明：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n·1·3·5·…·（2n-1）（n∈N*）。

證明（?。┊攏=1時，左=2，右=2，等式成立。

（ⅱ）假設當n=k時，等式成立，

即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2k·1·3·5·…·（2k-1）（k∈N*），

那么，（k+2）（k+3）…（k+k）［（k+1）+k］［（k+1）+（k+1）］

即當n=k+1時等式也成立。

根據(jù)（?。┖停áⅲ?，可知等式對任何n∈N*都成立。

點評用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式命題的注意事項：1.數(shù)學歸納法的兩個步驟相輔相成，缺一不可。缺少第一步，則失去了遞推基礎，缺少第二步，則失去了遞推的依據(jù)。2.關鍵在于“先看項”，弄清楚等式兩邊項的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關。從n=k時到n=k+1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項，如有減少，減少多少項，減少怎樣的項。

求證：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）=n［f（n）-1］（n≥2，n∈N*）。

二、證明不等式問題

例2（2014年安徽卷）設實數(shù)c＞0，整數(shù)p＞1，p∈N*。證明：當x＞-1且x≠0時，（1+x）p＞1+px。

證明待證不等式亦即著名的伯努利不等式，可用數(shù)學歸納法證明。

（ⅰ）已知x＞-1且x≠0，當p=2時，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x成立。

（ⅱ）假設當p=k（k＞1，k∈N*）時，有（1+x）k＞1+kx，

則當p=k+1時，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，

即當n=k+1時不等式也成立。

根據(jù)（?。┖停áⅲ?，可知不等式對任何p＞1，p∈N*都成立。

點評當遇到與正整數(shù)有關的一些不等式證明時，若用其他方法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法。用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k成立，推證n=k+1時也成立，證明時在歸納假設之后，靈活采用分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法。

三、證明整除性問題

例3（2015年北京卷）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…）。記集合M=｛an|n∈N*｝。

（1）若a1=6，寫出集合M的所有元素。

（2）若集合M中存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M中的所有元素都是3的倍數(shù)。

解析（1）由a1=6，可知a2=12，a3=24，a4=12，…，故集合M的所有元素為6，12，24。

（2）因為集合M中存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設ak是3的倍數(shù)，

（ⅰ）當n=k時，ak是3的倍數(shù)；

（ⅱ）由已知an+1=得ak+1=2ak或ak+1=2ak-36，所以ak+1是3的倍數(shù)。

根據(jù)（?。áⅲ?，可知對任意n≥k，an是3的倍數(shù)。

如果k=1，由an+1=則M中的所有元素都是3的倍數(shù)；

如果k＞1，因為ak=2ak-1或ak=2ak-1-36，所以2ak-1是3的倍數(shù)，于是ak-1是3的倍數(shù)，類似可得，ak-2，ak-3，ak-4，…，a1都是3的倍數(shù)，從而對任意n≥1，an是3的倍數(shù)，因此M中的所有元素都是3的倍數(shù)。

點評用數(shù)學歸納法證明整除問題的關鍵是“湊項”，即采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，將n=k+1時的式子湊出n=k時的情形，從而使問題獲證。

變式3證明：an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除（n∈N*）。

四、證明幾何問題

例4證明：在圓內畫n條線段，兩兩相交，將圓最多分割成f（n）=部分。

證明（?。┊攏=1時，f（1）=2，命題成立。

那么，當n=k+1時，第k+1條線段與原k條線段最多有k個交點，自然將所經(jīng)過的原來的k+1個部分的每一部分分割為兩部分，增加了k+1個部分，

所以當n=k+1時，結論也成立。

根據(jù)（?。┖停áⅲ?，可知結論對一切正整數(shù)n都成立。

點評用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從n=k變成n=k+1時，待證的幾何量將增加多少。

變式4圓內兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成多少條線段？（提示：猜想f（n）=n2。）

五、歸納、猜想、證明

例5（2015年湖北卷）已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，，e為自然對數(shù)的底數(shù)。計算，由此推測的計算結果，并給出證明。

下面用數(shù)學歸納法證明：

（?。┊攏=1時，左邊=右邊=2，（*）式成立。

所以當n=k+1時，（*）式也成立。

根據(jù)（?。┖停áⅲ?，可知（*）對一切正整數(shù)n都成立。

點評“歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式，其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結論，然后用數(shù)學歸納法證明。這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題時有著廣泛的應用，其關鍵是歸納、猜想出結論。

變式5 設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x）（x≥0），其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)。令g1（x）= g（x），gn+1（x）=g［gn（x）］（n∈N*），求gn（x）的表達式。

六、數(shù)學歸納法的活用

（1）討論f（x）的單調性。

（2）設a1=1，an+1=ln（an+1），證明：

（?。┊?＜a＜2時，-1＜a2-2a＜0，

若x∈（-1，a2-2a），則f′（x）＞0，所以f（x）在（-1，a2-2a）上是增函數(shù)；

若x∈（a2-2a，0），則f′（x）＜0，所以f（x）在（a2-2a，0）是減函數(shù)；

若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)。

（ⅱ）當a=2時，f′（x）≥0，所以f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù)。

（ⅲ）當a＞2時，a2-2a＞0，

若x∈（-1，0），則f′（x）＞0，所以f（x）在（-1，0）是增函數(shù)；

若x∈（0，a2-2a），則f′（x）＜0，所以f（x）在（0，a2-2a）是減函數(shù)；

若x∈（a2-2a，+∞），則f′（x）＞0，所以f（x）在（a2-2a，+∞）是增函數(shù)。

（2）由（1）知，當a=2時，f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù)。

當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞（x＞0）。

又由（1）知，當a=3時，f（x）在［0，3）是減函數(shù)。當x∈［0，3）時，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）＜（0＜x＜3）。

根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?，對任何k∈N*結論都成立。