安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華 峰
例析帶電體的圓周運(yùn)動(dòng)問題
安徽省靈璧黃灣中學(xué)華峰
圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理中的重要內(nèi)容,對同學(xué)們來說屬于有一定難度的知識(shí),若將圓周運(yùn)動(dòng)與帶電物體結(jié)合起來,對同學(xué)們來說難度更大。為了幫助同學(xué)們解難釋疑,下面舉例分析此類問題。
例1兩個(gè)粒子帶電量相等,在同一勻強(qiáng)磁場中只受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則()。
A.若速率相等,則半徑必相等 B.若質(zhì)量相等,則周期必相等
C.若動(dòng)量相等,則半徑必相等 D.若動(dòng)能相等,則周期必相等
例2如圖1所示,質(zhì)量均為m、形狀完全相同的小球A、B置于光滑絕緣的水平面上,光滑水平面接光滑絕緣的圓弧面。B球帶電量為-q,在半圓面內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場E。小球A不帶電且絕緣,以某一初速度v0沿水平向右的方向與靜止的B球發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞(小球B靜止在勻強(qiáng)電場外),已知圓弧的半徑為R。求:
(1)若mg>qE,碰后小球B恰能通過圓弧,初速度v0為多少?
(2)若mg<qE,碰后小球B恰能通過圓弧,初速度v0為多少?
解析A、B小球碰撞,由動(dòng)量守恒得mv0=mvA+mvB,
圖1
聯(lián)立以上兩式可解得vA=0,vB=v0。
例3在水平方向上的勻強(qiáng)電場中,一不可伸長的不導(dǎo)電細(xì)線的一端連著一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球,另一端固定于O點(diǎn),把小球拉至A點(diǎn)(細(xì)線水平),然后無初速度釋放。已知小球只能擺到最低點(diǎn)的另一側(cè)C點(diǎn),此時(shí)線與豎直方向的夾角為θ,如圖2所示。求小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)細(xì)線對小球拉力的大小。
解析對帶電小球從開始釋放到擺到C點(diǎn)的全過程運(yùn)用動(dòng)能定理,有mglcosθ-qEl(1+sinθ)=0-0;
圖2
在最低點(diǎn),根據(jù)牛頓第二定律,繩的拉力與小球重力的合力作為小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,有。
例4如圖3所示,在光滑絕緣水平桌面上,固定放置一條光滑絕緣的擋板ABCD,AB段為直線,BCD段是半徑為R的圓弧,擋板處于場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中,電場方向與圓直徑MN平行?,F(xiàn)使一帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球由靜止從斜擋板內(nèi)側(cè)上某點(diǎn)釋放,為使小球沿?fù)醢鍍?nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)并從D點(diǎn)拋出,求:
(1)小球從釋放點(diǎn)到N點(diǎn)沿電場方向的最小距離s。
(2)在(1)問中,小球經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)對擋板的壓力FN大小。
圖3
解析(1)小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng),由B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道,若恰能做圓周運(yùn)動(dòng),則小球在M點(diǎn)的速度最小,此時(shí),電場力提供向心力,即;再由動(dòng)能定理得。由以上兩式可解得。
由牛頓第三定律可知,小球?qū)醢宓膲毫N大小為6qE。
例5在豎直平面內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場,帶正電的小球質(zhì)量為m,其所受電場力等于重力。用輕繩系住小球,小球位于最低點(diǎn)A,若給小球一水平向右的初速度v0,要使小球能夠完成豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng),求:
(1)繩的最大長度。
(2)小球運(yùn)動(dòng)中相應(yīng)的最大速率。
圖4
從圖4中可以看出,球的“最低點(diǎn)”與“最高點(diǎn)”分別是圖中的B點(diǎn)、C點(diǎn),于是根據(jù)能量關(guān)系,
在“最高點(diǎn)”C處,向心力由等效重力提供(輕繩模型),則有。
例6一條長為L的細(xì)繩上端固定在O點(diǎn),下端系一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球,將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場中,電場強(qiáng)度為E,方向水平向右,已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡,細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ,如圖5所示。當(dāng)細(xì)繩與豎直方向成θ角時(shí),至少要給小球一個(gè)多大的沖量,才能使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)?
圖5
解析小球在重力場中豎直平面內(nèi)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),在最高點(diǎn)的臨界速度vmin可由求得,
帶電小球在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng),受到向下的重力,向右的電場力,如圖5所示。其合力即等效場力為,則等效重力加速度為。
繩系小球在復(fù)合場中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件與在單一重力場中類似,只不過其等效最高點(diǎn)為D,最低點(diǎn)為B,等效重力加速度為,如圖6所示。
圖6
對帶電小球從B運(yùn)動(dòng)到D應(yīng)用動(dòng)能定理,
例7在豎直平面內(nèi)有水平向右、場強(qiáng)為E=1×104N/C的勻強(qiáng)電場,在勻強(qiáng)電場中有一根長L=2 m的絕緣細(xì)線,一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為0.04 kg的帶電小球。靜止時(shí)懸線與豎直方向成37°角,如圖7所示。若小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),求:
(1)小球的帶電量q。
(2)小球動(dòng)能的最小值。
(3)小球機(jī)械能的最小值。(取小球在靜止時(shí)的位置為重力勢能零點(diǎn),cos37°=0.8,g=10 m/s2)
圖7
(3)小球由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓的最左端C點(diǎn),電場力做負(fù)功,小球在C點(diǎn)電勢能最大。由能量守恒可判斷,小球在C點(diǎn)機(jī)械能最小。小球在B點(diǎn)的機(jī)械能為:
EB=Ek+mg·2Lcos37°=0.5 J+0.04×10×2×2×0.8 J=1.78 J。
小球在C點(diǎn)的機(jī)械能最小值為:EC=EB-qE(L-Lsin37°)=1.78 J-3×10-5×1×104×(2-2×0.6)J= 1.54 J。
求解此類問題,首先應(yīng)確定物體的平衡位置,物體恰能做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度所對應(yīng)的向心力由非接觸力的合力提供,其最小速度的位置與平衡位置關(guān)于圓心對稱。
例8如圖8所示,在x<0與x>0的區(qū)域中,存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1和B2的勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向里,且B1>B2。一個(gè)帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以速度v沿x軸負(fù)方向射出,要使該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后又經(jīng)過O點(diǎn),B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件?
圖8
解析粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的速度大小恒為v,交替地在xOy平面內(nèi)B1和B2磁場區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道都是半個(gè)圓周。
設(shè)粒子的質(zhì)量與電荷量的大小分別為m與q,在兩磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1和r2,則有
現(xiàn)分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖9所示。在xOy平面內(nèi),粒子先沿半徑為r1的半圓C1運(yùn)動(dòng)至y軸上方離O點(diǎn)距離為2r1的A點(diǎn),接著沿半徑為r2的半圓D1運(yùn)動(dòng)至y軸上的O1點(diǎn),OO1的距離d=2(r2-r1)③。
此后粒子每經(jīng)歷一次“回旋”(即從y軸出發(fā)沿半徑為r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點(diǎn)下方的y軸),粒子的y坐標(biāo)就減小d。
設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于On點(diǎn),若OOn,即nd滿足
圖9
nd=2r1④,
則粒子再經(jīng)過半圓Cn+1就能夠經(jīng)過原點(diǎn),式中n=1,2,3,…為回旋次數(shù)。
聯(lián)立①、②、⑤式可解得B1、B2應(yīng)滿足的條件為(n=1,2,3,…)。