●許欽彪

(稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

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你分我來(lái)補(bǔ) 一招顯原形
——巧用割補(bǔ)法解決棱錐問(wèn)題*

●許欽彪

(稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的主要和必考內(nèi)容.從全國(guó)各省市歷年高考試題統(tǒng)計(jì)分析，立體幾何綜合解答題中許多是與棱錐有關(guān)的綜合問(wèn)題.如果能分析清楚這類問(wèn)題的命題依據(jù)、背景和來(lái)源，對(duì)解決這些棱錐問(wèn)題是很有益處的.認(rèn)清棱錐問(wèn)題的來(lái)源，將其還原為規(guī)則幾何體，再予解決的方法——“割補(bǔ)法”對(duì)于解決棱錐問(wèn)題具有重要的意義和作用.

棱錐;分割;添補(bǔ)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的主要和必考內(nèi)容.從全國(guó)各省市歷年高考試題統(tǒng)計(jì)分析，每年必有一個(gè)立體幾何綜合解答題，其中許多是與棱錐有關(guān)的綜合問(wèn)題.如果能分析清楚這類問(wèn)題的命題依據(jù)、背景和來(lái)源，對(duì)解決問(wèn)題是很有益處的.

我們先從2個(gè)常見(jiàn)的棱錐問(wèn)題入手分析.

問(wèn)題1 如圖1，三棱錐P-ABC的3條側(cè)棱PA，PB,PC兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為3，4，5，求該三棱錐的外接球的表面積.

圖1 圖2

從學(xué)生解答的情況看，普遍存在著解答過(guò)程冗長(zhǎng)、說(shuō)明不清、計(jì)算復(fù)雜等問(wèn)題，導(dǎo)致不能正確完整地解決.究其原因，是對(duì)這類棱錐問(wèn)題的命題來(lái)源不了解，感覺(jué)陌生困難，從而找不到正確、合理、快捷的解決方法.事實(shí)上，這種棱錐都是相應(yīng)的長(zhǎng)方體分割得到的，因而，把其添補(bǔ)還原成相關(guān)的長(zhǎng)方體，問(wèn)題就會(huì)變得熟悉而簡(jiǎn)單，從而迎刃而解.

1)把所給三棱錐添補(bǔ)成相應(yīng)的長(zhǎng)方體(如圖3)，其外接球就是該長(zhǎng)方體的外接球，直徑是對(duì)角線之長(zhǎng)

球的表面積為

圖3 圖4

由此可見(jiàn)，認(rèn)清棱錐問(wèn)題的來(lái)源，將其還原為規(guī)則幾何體，再予以解決的方法——“割補(bǔ)法”對(duì)于解決棱錐問(wèn)題的重要意義和作用.事實(shí)上，許多棱錐是由規(guī)則的長(zhǎng)方體或正方體等分割得到的，這些棱錐綜合問(wèn)題其來(lái)源和命題素材是相應(yīng)的長(zhǎng)方體或正方體.理解了這類問(wèn)題的背景和本質(zhì)，就可以嘗試把棱錐添補(bǔ)還原成相應(yīng)的長(zhǎng)方體或正方體，從而將其化為熟識(shí)的長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題來(lái)解決.

本文以幾則高考立體幾何綜合題來(lái)說(shuō)明如何巧用“割補(bǔ)法”解決棱錐綜合問(wèn)題.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖5 圖6

可見(jiàn)，巧用割補(bǔ)法把棱錐還原為相應(yīng)的正方體后，問(wèn)題變得簡(jiǎn)單熟悉，解答就更準(zhǔn)確、快捷，其事半功倍的效果顯而易見(jiàn).

例2 若四面體ABCD的3組對(duì)棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，則以下結(jié)論正確的是______.

①四面體ABCD每組對(duì)棱互相垂直；

②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；

③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°；

④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互相垂直平分；

⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng).

(2012年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析 如果僅根據(jù)題意得到的棱錐看，由于要判斷的結(jié)論多且涉及面廣，問(wèn)題就會(huì)感到陌生而困難.作為高考的一個(gè)填空題，時(shí)間上也必須快速.根據(jù)當(dāng)年的高考評(píng)卷分析，此題失分的考生較多，其原因就是因?yàn)椴荒苷J(rèn)識(shí)到該題的來(lái)源本質(zhì)，只在棱錐上考慮，從而找不到正確簡(jiǎn)潔的方法.如果認(rèn)識(shí)到了棱錐的來(lái)源本質(zhì)，就會(huì)聯(lián)想到長(zhǎng)方體的3組對(duì)面對(duì)角線分別相等，認(rèn)識(shí)到該棱錐是由長(zhǎng)方體分割得到的，可以把它添補(bǔ)為相應(yīng)的長(zhǎng)方體(如圖7)，問(wèn)題就化難為易，化陌生為熟悉了.

圖7

在長(zhǎng)方體中容易判斷出：

①不正確；

② 4個(gè)三角形的3條邊長(zhǎng)均相等，正確；

③若每個(gè)頂點(diǎn)3個(gè)夾角之和均小于180°，則4個(gè)頂點(diǎn)的夾角之和小于720°，而事實(shí)上，4個(gè)頂點(diǎn)的夾角之和(12個(gè)角)就是4個(gè)三角形面的角度之和等于720°，矛盾，不正確；

④每組對(duì)棱中點(diǎn)連線實(shí)際上就是長(zhǎng)方體每組對(duì)面的中心連線，這3條線段交于長(zhǎng)方體中心且垂直平分，正確；

⑤每一個(gè)頂點(diǎn)的3條棱其中2條棱是夾邊，第3條與對(duì)邊等長(zhǎng)，如AB,AD為夾邊，AC和BD等長(zhǎng)，而ABD是三角形，AB,AD,AC長(zhǎng)當(dāng)然也可以構(gòu)成三角形，正確.

例3 如圖8，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°.

1)求三棱錐P-ABC的體積；

(2015年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖8 圖9

例4 如圖10，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn).

1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值.

2)線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥面AMN？若存在，求出線段AS的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖10 圖11

分析 據(jù)題意可知，此命題源于正方體，還原為棱長(zhǎng)為1的正方體(如圖11)后，就化為熟悉的正方體問(wèn)題了.

從而

2)若ES⊥面AMN，則有ES⊥AN，即ES在正方體前面的射影BS⊥AN，此時(shí)S必為AN的中點(diǎn)，ES在正方體上面的射影(S′,E′必為所在棱的中點(diǎn))E′S′⊥MN，即ES⊥MN.

圖12

例5 在如圖12所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA∥PD，MA⊥平面ABCD，AD=PD=2MA,E,F,G,H分別是MB,PC,PB,PA的中點(diǎn).

1)求異面直線EF與PA所成角的余弦；

2)求平面EGF與底面ABCD所成二面角的大?。?/p>

3)求平面EGF與平面DHF所成二面角的余弦值.

(2010年山東省數(shù)學(xué)高考試題改編)

分析 此命題從給出的已知圖中較難找出所求的線、面之間的關(guān)系.考慮到題設(shè)條件，可將其添補(bǔ)還原為如圖13所示的正方體，就較易得出相互之間的關(guān)系.

如圖13中，作正方體中截面INQR，顯然E,G,F在該平面內(nèi).

圖13 圖14

1)取PD,MA的中點(diǎn)K,S，則EF∥SK.問(wèn)題就化為在左側(cè)平面正方形(如圖14)中，求SK與對(duì)角線PA所成角的余弦，再設(shè)O為KD的中點(diǎn)，則所求角化為更簡(jiǎn)單易求的∠PAO.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則

2)面EGF就是中垂面INQR，顯然面EGF與底面ABCD所成角為90°.

3)面EGF與面DHF所成的角就是面DHF與中垂面INQR所成的角θ.由圖14易知△DHF在中垂面上的射影就是△NGF.

由射影面積公式得

?2015-12-29；

2016-01-19.

許欽彪(1962-)，男，浙江紹興人，浙江省特級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)03-08-03