●何 燈 李云杰

(福清第三中學(xué) 福建福清 350315)

?

一個(gè)條件等式派生出的若干不等式鏈*

●何 燈 李云杰

(福清第三中學(xué) 福建福清 350315)

文章以一個(gè)條件等式為出發(fā)點(diǎn)，建立了2條不等式鏈，并由此派生出與一些經(jīng)典不等式競(jìng)賽試題相關(guān)的若干不等式鏈.

條件等式；不等式鏈；數(shù)學(xué)競(jìng)賽

1 問(wèn)題緣起

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中研究了以“p,q,r為正實(shí)數(shù),且p2+q2+r2+2pqr=1”為條件的一類(lèi)不等式的證明,得出了若干結(jié)論.特別地,文獻(xiàn)[2]中歸納了該條件下的5個(gè)性質(zhì),并應(yīng)用這些結(jié)論證明有關(guān)條件不等式.

性質(zhì) 設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù),且p2+q2+r2+2pqr=1,則

(1)

(2)

3)p+q+r≥2(pq+qr+rp);

(3)

(4)

(5)

文獻(xiàn)[3]則給出了上述5個(gè)性質(zhì)的統(tǒng)一的三角代換法證明.在拜讀3篇文章的同時(shí),筆者萌生一個(gè)想法：能否將上述零散的5個(gè)不等式統(tǒng)一成一體,構(gòu)成一條不等式鏈？經(jīng)探究,得到了2條主要的不等式鏈,并由此派生出與一些經(jīng)典不等式試題相關(guān)的若干不等式鏈.

2 2條基礎(chǔ)不等式鏈

結(jié)論1 設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù),且p2+q2+r2+2pqr=1,則

結(jié)論2 設(shè)p,q,r為正實(shí)數(shù),且pq+qr+rp+2pqr=1,則

由于上述2個(gè)結(jié)論可以相互轉(zhuǎn)化,限于篇幅,下面僅針對(duì)結(jié)論1給出其若干應(yīng)用.

3 結(jié)論1的應(yīng)用

(第48屆中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)

分析 令u=4p2,v=4q2,w=4r2,則已知條件轉(zhuǎn)化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價(jià)于

例2 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足xy+yz+zx+xyz=4,求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析 令xy=4p2,yz=4q2,zx=4r2,則已知條件轉(zhuǎn)化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價(jià)于

例3 設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2+y2+z2+xyz=4,求證：xy+yz+zx-xyz≤2.

(第30屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析 令x=2p,y=2q,z=2r,則已知條件轉(zhuǎn)化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價(jià)于

(2005年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題,2007年美國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)

(2011年中歐數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

由上觀之,通過(guò)對(duì)文首5個(gè)性質(zhì)的串聯(lián),本文所建立的2條基礎(chǔ)不等式鏈能夠?qū)σ活?lèi)不等式賽題給出上界、下界或隔離,并由此發(fā)現(xiàn)一些相關(guān)的不等式.2個(gè)結(jié)論的更多應(yīng)用,留給有興趣的讀者繼續(xù)探究.

[1] 陳建兵,鄒守文.一個(gè)條件等式派生的不等式在證明競(jìng)賽不等式試題中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2011(5):46-49.

[2] 鄒守文.一類(lèi)不等式奧林匹克競(jìng)賽試題的共同背景[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(9):43-46.

[3] 查正開(kāi).一類(lèi)代數(shù)問(wèn)題的三角解法[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2015(4):15-19.

[4] 李建潮.一類(lèi)三角形不等式的證法初探[J].河北理科教學(xué)研究,2014(4):41-43.

[5] 張俊.一個(gè)三角形恒等式繁衍出的代數(shù)不等式[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(9):61-62.

?2015-09-08；

2015-12-19.

何 燈(1984-)，男，福建福州人，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：初等數(shù)學(xué)、不等式.

O122.3

A

1003-6407(2016)03-31-03