張 悅 馮 杰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

(收稿日期：2016-04-07)

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淺談動(dòng)量守恒定律的導(dǎo)出方式

張 悅 馮 杰

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

(收稿日期：2016-04-07)

動(dòng)量守恒定律是自然界中最普遍的定律并有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域,不僅適用于宏觀物體的運(yùn)動(dòng),同樣適用于微觀領(lǐng)域.不過，在目前的大多數(shù)教材中,都是由牛頓第二定律和牛頓第三定律導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律的，那么就會(huì)讓人們忽略動(dòng)量守恒定律的其他導(dǎo)出方式.試圖闡述動(dòng)量守恒的幾種不同導(dǎo)出方式，強(qiáng)化對(duì)動(dòng)量守恒定律的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用.

動(dòng)量守恒定律 動(dòng)量 空間均勻性

1 引言

在經(jīng)典力學(xué)中，作為牛頓定律的推論，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可以推出動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理及能量轉(zhuǎn)換和守恒定律[1].當(dāng)合外力等于零、合外力矩等于零或外力做的功與系統(tǒng)內(nèi)非保守力做的功總和等于零的情況下，可以得到相對(duì)應(yīng)的3條守恒定律，即動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律.這3條守恒定律其適用范圍與牛頓定律相同.值得注意的是，在一些情況下，3條守恒定律的適用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過牛頓定律，是比牛頓定律更基礎(chǔ)的物理規(guī)律，是時(shí)空性質(zhì)的反映，解決問題更方便，其物理意義也更加深刻.本文主要闡述動(dòng)量守恒定律的導(dǎo)出方式，強(qiáng)化對(duì)動(dòng)量守恒定律的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用.

動(dòng)量守恒定律：在任何情況下，物體組(運(yùn)動(dòng)系統(tǒng))不受外力作用或作用在物體組(運(yùn)動(dòng)系統(tǒng))的合外力等于零時(shí)，物體組(運(yùn)動(dòng)系統(tǒng))的總動(dòng)量保持不變，這一結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律.數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

在∑F=0的條件下

m1v1+m2v2+…+mnvn=恒量

2 動(dòng)量守恒定律的幾種導(dǎo)出方式

2.1 哲學(xué)思想

歷史上，人們對(duì)動(dòng)量及動(dòng)量守恒定律最初的認(rèn)識(shí)主要是從對(duì)碰撞問題的研究開始的.最早發(fā)表碰撞問題研究成果的是布拉格大學(xué)校長(zhǎng)、物理學(xué)教授馬爾西.他使用完全相同的一串大理石做碰撞實(shí)驗(yàn)，并將研究過程及結(jié)果寫在1639年發(fā)表的《運(yùn)動(dòng)的比例》中：“一個(gè)物體與另一個(gè)相同處于靜止?fàn)顟B(tài)的物體做彈性碰撞，就會(huì)失去自己的運(yùn)動(dòng)，把速度等量地交給另一物體.”[2]顯然，馬爾西已經(jīng)認(rèn)識(shí)到動(dòng)量守恒的思想，但他并未作進(jìn)一步理論分析.

可以說，動(dòng)量及其守恒的概念最初是由法國(guó)科學(xué)家笛卡爾以思辨、演繹的形式提出來的，這就是動(dòng)量守恒定律建立的最初形式.笛卡爾的基本理念是：上帝創(chuàng)造了廣延,并把運(yùn)動(dòng)放進(jìn)了宇宙，此后就任其自然進(jìn)行.所有宇宙中的運(yùn)動(dòng)總量必然是個(gè)常數(shù).笛卡爾在1644年發(fā)表的《哲學(xué)原理》中說道：“物質(zhì)有一定量的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)量從來不增加也從來不減的，雖然在物質(zhì)的某些部分有所增減.就是這個(gè)緣故，當(dāng)一部分物質(zhì)以兩倍于另一部分的速度運(yùn)動(dòng)，而另一部分物質(zhì)卻大于這一部分物質(zhì)兩倍時(shí)，我們應(yīng)該認(rèn)為這兩部分的物質(zhì)具有等量的運(yùn)動(dòng).并且，我們應(yīng)該認(rèn)為每當(dāng)一個(gè)部分的物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)減少時(shí)，另一部分就相應(yīng)地增加.”顯然，此處笛卡爾已經(jīng)將物質(zhì)的量和運(yùn)動(dòng)的度量?jī)烧呓Y(jié)合在一起，這兩者的結(jié)合就是后來的動(dòng)量(mv)的概念.而宇宙中“物質(zhì)與運(yùn)動(dòng)的總量必然是個(gè)常數(shù)”，則意味著動(dòng)量守恒的基本思想.

隨后，荷蘭物理學(xué)家惠更斯對(duì)碰撞問題作了比較細(xì)致的研究，在《論碰撞作用下物體的運(yùn)動(dòng)》一文中得出了5條重要結(jié)論，其中兩條說到：“兩個(gè)物體所具有的運(yùn)動(dòng)量在碰撞中可以增多或減少,但是它的量值在同一方向上保持不變”；“兩個(gè)、三個(gè)或任意多個(gè)物體的共同重心，在碰撞前后總是朝著一個(gè)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)”.這些顯然是動(dòng)量守恒定律非常完善的表述.

從以上的討論我們可以看出，雖然，后來人們運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯演繹等方法通過定量的方式導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律，但是最初的哲學(xué)思想仍然是該理論的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).可以說，動(dòng)量守恒的觀點(diǎn)最初是從哲學(xué)理念演繹出來的[3].

2.2 實(shí)驗(yàn)法

“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”實(shí)驗(yàn)是高中物理中重要的驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)之一.本文中，筆者試圖通過實(shí)驗(yàn)來導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律(為了方便理解，僅討論系統(tǒng)在水平方向上的動(dòng)量守恒).本實(shí)驗(yàn)中我們通過間接地測(cè)量物理量，利用了“思維逆向法”和“轉(zhuǎn)換法”等物理思想方法來導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律.

如圖1所示，O點(diǎn)是小球拋出點(diǎn)在地面上的垂直投影，在這個(gè)裝置上有球1和球2.首先，我們讓球1多次從斜軌上的S點(diǎn)位置靜止釋放，找到其平均落地點(diǎn)的位置P點(diǎn)，測(cè)得平拋射程OP.接下來，我們讓球2靜止放在O′點(diǎn)位置，讓球1多次從斜軌上的S點(diǎn)位置靜止釋放，找到球1和球2平均落地點(diǎn)的位置M點(diǎn)和N點(diǎn)，測(cè)得平拋射程分別為OM和ON.

圖1 實(shí)驗(yàn)法驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律示意圖

當(dāng)球1未與球2碰撞時(shí)，飛出的水平距離為OP，在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則

球1與球2碰撞后飛出的水平距離分別為OM和ON，則

由于小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則小球的水平速度與飛行時(shí)間的乘積在數(shù)值上就等于小球飛出的水平距離.又因?yàn)橄侣涞母叨认嗤\(yùn)動(dòng)的時(shí)間就相同[4]，因此小球的水平速度可以用飛出的水平距離來表示.

通過對(duì)m1,m2,OP,OM,ON的測(cè)量,可以得到

m1OP=m1OM+m2ON

則

m1v=m1v1+m2v2

那么球1和球2組成的系統(tǒng)在碰撞前后動(dòng)量守恒(水平方向上).雖然用此方法導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律存在著特殊性，但仍然在一定程度上說明了動(dòng)量守恒定律的基礎(chǔ)性和普遍性.

2.3 牛頓定律法

利用牛頓第二定律、牛頓第三定律和動(dòng)量定理導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi，外界物體對(duì)該質(zhì)點(diǎn)作用的力為Fi(e)，稱為外力；質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)其他質(zhì)點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)作用的力為Fi(i)，稱為內(nèi)力.

由動(dòng)量定理公式

得出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量為

將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)n個(gè)方程相加，得

由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力總是共線、反向、等值，成對(duì)出現(xiàn)，故其內(nèi)力矢量之和等于零，即

又由于∑mivi=p，得到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式

(1)

得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和.

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理是矢量式，應(yīng)用時(shí)常選取適當(dāng)?shù)耐队靶问?，?1)在直角坐標(biāo)軸上的投影式為

可見，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量改變僅取決于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，而與內(nèi)力無關(guān).

上述即為通過牛頓定律導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律的過程.

2.4 伽利略變換法

如圖2所示，在慣性參照系∑中,考慮兩個(gè)自由粒子1 和2 ,它們的質(zhì)量分別為m1和m2,具有初始速度v10和v20.

圖2 伽利略變換法驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律示意圖

假設(shè)它們的初始位置及最終位置都相隔很遠(yuǎn)，這兩個(gè)粒子在初始及最終階段都沒有相互作用,則它們的初始動(dòng)能

現(xiàn)在讓這兩粒子碰撞，碰撞后的動(dòng)能

其中v1和v2是碰撞后的速度.

由能量守恒定律得

(2)

(3)

在∑′系中，能量守恒定律的表達(dá)式為

(4)

由伽利略變換可知：

(1)所有慣性系中時(shí)間是相同的，即t′=t，或者說時(shí)間與參考系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，即時(shí)間是絕對(duì)的.由此可得出同一事件在不同慣性系經(jīng)歷的時(shí)間間隔也是相同的，即Δt′=Δt，這表明在伽利略變換下時(shí)間間隔也是絕對(duì)的.

(2)在不同的慣性系里，同一時(shí)刻作兩點(diǎn)之間的距離測(cè)量，結(jié)果也是相同的，即ΔL′=ΔL,空間長(zhǎng)度與參考系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，即空間長(zhǎng)度是絕對(duì)的.

總之，在伽利略變換下，t,L,a都是絕對(duì)的，此外牛頓力學(xué)中力F，質(zhì)量m也不變，這就必然導(dǎo)致在所有慣性系中力學(xué)定律，即牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律都是相同的，即具體表述時(shí)有相同的數(shù)學(xué)形式.也就是說，能量守恒定律在伽利略變換下具有不變性.

如果能量守恒定律在伽利略變換下具有不變性，那么，在∑′和∑兩參考系中，初始動(dòng)能都必須等于最終的動(dòng)能加上動(dòng)能損失量ΔEk.就是說式(2)和式(4)一定都成立.

將式(3)代入式(4)，得到∑′系的能量守恒定律為

這個(gè)式子中如果

(m1v10+m2v20)·u=

(m1v1+m2v2)·u

(5)

那么式(5)就和在∑系中能量守恒定律式(2)完全相同了.

由于式(3)對(duì)應(yīng)于任何v值都成立，則有

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

這正是動(dòng)量守恒定律.

2.5 空間的均勻性

經(jīng)典物理學(xué)中的空間對(duì)稱性概念總是和某種變換下的不變性相聯(lián)系，物理學(xué)中的對(duì)稱性將導(dǎo)致物理規(guī)律的不變性.空間對(duì)稱性原理表述為:

(1)空間的均勻性；

(2)空間各向同性；

(3)時(shí)間的均勻性.

經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒和能量守恒是分別由空間均勻性、空間各向同性和時(shí)間均勻性所致，鑒于本文只應(yīng)用空間均勻性導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律，故不對(duì)原理(2)、(3)加以評(píng)述.

空間的均勻性在物理學(xué)中起著非常重要的作用，若沒有均勻性，自然定律也就不存在了.空間的均勻性意味著在沒有任何物質(zhì)存在的物理空間內(nèi)每一點(diǎn)的性質(zhì)相同.因此，我們可以選任意一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而原點(diǎn)不同的坐標(biāo)系的性質(zhì)也應(yīng)當(dāng)相同[5].下面我們利用空間均勻性來推導(dǎo)動(dòng)量守恒定律.

在經(jīng)典力學(xué)中，設(shè)一個(gè)由幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)，這一力學(xué)體系用拉格朗日函數(shù)L(ri,vi,t)來描述，如圖3所示.

圖3 從空間的均勻性角度分析動(dòng)量守恒

空間的均勻性意味著坐標(biāo)可以任意平移而不會(huì)改變體系的力學(xué)性質(zhì).即當(dāng)空間有一任意無窮小平移δr時(shí)，反映體系力學(xué)性質(zhì)的拉格朗日函數(shù)L不會(huì)發(fā)生改變.當(dāng)系統(tǒng)整體在空間向任意方向平行移動(dòng)時(shí)，即

ri→ri+δr

根據(jù)空間均勻性它的力學(xué)性質(zhì)不變，則體系在平移情況下拉格朗日函數(shù)L(ri,vi,t)保持不變，質(zhì)點(diǎn)組整體平移任意的無窮小位移δr時(shí)，則

L(ri,vi,t)→L(ri+δr,vi,t)=L(ri,vi,t)

由

δL=L(ri+δr,vi,t)-L(ri,vi,t)=0

故

由于δr是任意的微元位移，故

利用拉格朗日方程

得

則體系的總動(dòng)量

這正是動(dòng)量守恒定律.

由上述分析可見，是空間的均勻性導(dǎo)致了孤立系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.因此，我們說動(dòng)量守恒定律的存在不是偶然的，它是空間均勻性原理的自然結(jié)果.

2.6 量子力學(xué)法

如圖4所示，由于在空間平移不變性的體系中，當(dāng)體系沿x方向移動(dòng)任意無窮小位移δx，即

x→x′=x+δx

(6)

圖4 量子力學(xué)法分析動(dòng)量守恒

將Ψ(x+δx)泰勒展開，得

引入動(dòng)量算符

則

代入式(6)中得

則

從而可得

由此筆者通過量子力學(xué)中的空間平移不變性導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定律.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過哲學(xué)思想、實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)學(xué)的邏輯演繹等幾種不同的方式導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律，不僅強(qiáng)化了我們對(duì)動(dòng)量守恒定律的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，而且擴(kuò)大了動(dòng)量守恒定律與其他相關(guān)物理知識(shí)的聯(lián)系，同時(shí)也鍛煉了我們的物理思維能力.當(dāng)然，實(shí)踐證明，無論是經(jīng)典的或近代物理的實(shí)驗(yàn)，都證明了這一基本定律.直至目前還沒有發(fā)現(xiàn)違背動(dòng)量守恒定律的現(xiàn)象.動(dòng)量守恒定律不僅適用于牛頓力學(xué)，甚至牛頓力學(xué)失效的地方仍然適用，且和空間均勻性緊密相聯(lián).因此，動(dòng)量守恒定律是一條最基本、最普遍的絕對(duì)守恒定律.

1 馮杰.大學(xué)物理專題研究.北京:北京大學(xué)出版社，2011.325

2 鄧發(fā)明.關(guān)于動(dòng)量守恒定律的討論.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004，30(6):856～858

3 張?zhí)珮s.動(dòng)量守恒定律的演變.六盤水師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004,16(6):13～15

4 李艷東.對(duì)“動(dòng)量守恒定律”實(shí)驗(yàn)的方法歸納.才智，2008(18)：132

5 劉英，程立斌.對(duì)動(dòng)量守恒定律的幾點(diǎn)討論.上饒師專學(xué)報(bào),1992，19(6)：25～29

6 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué).北京:科學(xué)出版社,1982.167～169

Taking about the Derivation Method on Law of Conservation of Momentum

Zhang Yue Feng Jie

(College of Mathematics and Physics,Shanghai Normal University,Shanghai 200234)

The law of conservation of momentum is common in the nature of law and has a broad application field, applies not only to macroscopic movement of the object, also apply to the micro field. In current textbooks of most, however, are all derived from Newton′s second law and the law of Newton′s third law of conservation of momentum, it can make people ignore other export momentum conservation. This paper tries to expound several different ways of export of conservation of momentum, strengthen the awareness of the law of conservation of momentum and the application.

the law of conservation of momentum;momentum;export

張悅(1992- ),女，在讀研究生，學(xué)科教學(xué)(物理)專業(yè).

指導(dǎo)教師：馮杰(1961- ),男，博士，教授，物理課程論學(xué)科帶頭人，長(zhǎng)期從事物理學(xué)研究和教學(xué)，主研方向?yàn)槔碚撐锢?、非線性光學(xué)、物理課程與教學(xué)論.