孟俊娜,于利爽,劉炳勝

(天津大學管理與經濟學部,天津300072)

基于投影的直覺模糊群決策專家權重確定方法

孟俊娜,于利爽,劉炳勝

(天津大學管理與經濟學部,天津300072)

文章針對方案屬性值為直覺模糊數(shù)的群決策問題,提出了一種基于投影的專家權重確定方法。該方法按照投影分析的基本思想,給出了確定直覺模糊環(huán)境下群決策專家權重的計算步驟。其核心是計算每個專家的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影,進而利用領導者的偏好度求出專家個體決策矩陣與群體決策矩陣的相似度,最終確定每個專家的權重。最后給出的算例表明了該方法的可行性和有效性。

群決策;直覺模糊數(shù);投影;專家權重

0 引言

Zadeh[1]于1965年提出了模糊集理論,該理論的核心思想是把取值僅為0或1的特征函數(shù)擴展到可在單位閉區(qū)間[0,1]中任意取值的隸屬函數(shù)。由于模糊集的隸屬函數(shù)值僅是一個單一的值,它并不能同時表示支持、反對和猶豫的程度,因而Atanassov[2]將僅考慮隸屬度的Zadeh的傳統(tǒng)模糊集拓展為考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度的直覺模糊集。直覺模糊集比傳統(tǒng)的模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具靈活性和實用性,因此有關直覺模糊集理論的研究引起了學者們的廣泛關注[3～8],并已應用于群決策和模式識別等領域。

目前,對于直覺模糊環(huán)境下的群決策專家權重確定問題的研究較少。文獻[5]利用專家個體評價結果與群體評價結果的偏差最小化以及專家個體評價結果之間的偏差最小化,建立兩個非線性規(guī)劃模型確定專家的權重;文獻[6]將專家矩陣集結為群體決策矩陣,利用專家矩陣和群體決策矩陣的相似度確定專家權重。文獻[7]通過直覺模糊集的交叉熵和熵分別確定專家的權重,并利用組合加權法確定專家的最終權重。現(xiàn)有的直覺模糊環(huán)境下專家定權的研究多直接考慮專家個體決策矩陣和群體決策矩陣的關系,忽略了專家個體的隸屬度矩陣和群體隸屬度矩陣、非隸屬度矩陣和群體非隸屬度矩陣間的關系?；诖?本文以傳統(tǒng)投影法的基本理論為基礎,通過計算專家個體的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影,最終確定直覺模糊群決策的專家權重。

1 預備知識

1.1 直覺模糊集和直覺模糊數(shù)

Atanassov在文獻[2]中將Zadeh的模糊集擴展為直覺模糊集,考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面的信息,因而能更細膩地刻畫客觀世界的模糊性本質。

定義1[2]:設X是一個非空集合,則稱A=｛x,μA(x), vA(x)|x∈X}為直覺模糊集,其中μA(x)和vA(x)分別表示X中元素X屬于A的隸屬度和非隸屬度,即μA:X→[0,1], vA:X→［0,1］,且滿足0≤μA(x)+vA(x)≤1。此外,πA(x)= 1一μA(x)一vA(x)表示X中的元素X屬于A的猶豫度。

定義2[9]:稱a=(μa,va)為直覺模糊數(shù),其中μα∈[0,1],vα∈[0,1],0≤μα+vα≤1。

定義3[10]:設αj=(μαj,vαj)(j=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù),且設IFWA:Θn→Θ,若

則稱IFWA為直覺模糊加權平均算子。

其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T為αj(j=1,2,…,n)的權重向量,

定義4[10]:設αj=(μαj,vαj)(j=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù),則由IFWA算子得到的集成值也是直覺模糊數(shù),且

其中ω=(ω1,ω2,…,ωn)T為αj(j=1,2,…,n)的權重向量,ωj∈［0,1］(j=1,2,…,n),且

定義5[11,12]:對任一直覺模糊數(shù)α=(μα,vα),定義s(α)=μα一vα為a的得分函數(shù),h(α)=μα+vα為a的精確函數(shù)。

定義6[10]:對于直覺模糊數(shù)α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2), s(α1)=μα1一vα1和s(α2)=μα2一vα2分別為a1和a2的得分函數(shù),h(α1)=μα1+vα1和h(α2)=μα2+vα2分別為a1和a2的精確函數(shù),則:

(1)若s(α1)＜s(α2),則α1＜α2;

(2)若s(α1)=s(α2),則

①若h(α1)=h(α2),則α1=α2;②若h(α1)＜h(α2),則α1＜α2;③若h(α1)＞h(α2),則α1＞α2。

1.2 投影法

定義7[13,14]:設α=(α1,α2,…,αn)和β=(β1,β2,…,βn)是兩個n維向量,定義:

一般來說,Pr jβ(α)的值越大,表示向量a越接近于向量β。

與向量間的投影類似,Yue[15]給出了矩陣間的投影式。

為矩陣A在矩陣B上的投影。類似地,Pr jB(A)的值越大,表示矩陣A越接近于矩陣B。

2 基于投影的直覺模糊群決策專家權重確定過程

對于直覺模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題來說,假設有m個可行方案A1,A2,…,Am,n個評價屬性G1,G2,…,Gn和t個決策專家E1,E2,…,Et。決策專家Ek對可行方案Ai在評價屬性Gj下的決策值為直覺模糊數(shù)則專家Ek(k=1,2,…,t)的直覺模糊決策矩陣為:

下面給出基于投影的直覺模糊群決策專家權重確定方法的具體計算步驟。

步驟1:將專家Ek(k=1,2,…,t)的直覺模糊決策矩陣Xk分為隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣

步驟2:確定所有專家的群體決策矩陣X*。

這里,取所有專家對每個方案每個屬性決策意見的均值為群體決策。因此,有:

步驟3:將群體決策矩陣X*分為隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣

式中：Te表示驅動電動機的的額定轉矩(N·m)；ne表示電動機額定轉速(r/min)；Tmax表示電動機的最大轉矩(N·m)，過載系數(shù)λ，一般取2～3。

這里用專家決策矩陣在群體矩陣上的投影來衡量每個專家的評價值和群體值的相似程度。考慮到每個專家的決策矩陣和群體決策矩陣均包括隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣,因此考慮兩類投影關系:每個專家的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和每個專家的非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影。

步驟4:計算專家Ek(k=1,2,…,t)的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和專家的非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影。

由式(4)可以分別計算出:

①專家Ek(k=1,2,…,t)的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣X*μ上的投影:

②專家Ek(k=1,2,…,t)的非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影:

步驟5:計算專家Ek(k=1,2,…,t)的決策矩陣Xk與群體決策矩陣X*的相似度。

一個專家的決策矩陣越相似于群體決策矩陣,那么這個專家的評價信息是重要的,應被賦予一個較大的權重。反之,一個專家的決策矩陣與群體決策矩陣差異較大,那么這個專家的評價信息是不重要的,因而應被賦予一個較小的權重。定義:

為專家Ek的決策矩陣Xk與群體決策矩陣X*的相似度。其中,定義θ∈［］0,1為偏好度,是一個給定值,表示領導者對隸屬度矩陣信息的偏好程度。如θ=0.7表示領導者更偏好隸屬度矩陣給出的信息。

步驟6:計算專家Ek(k=1,2,…,t)的權重值。

對Ek(θ)(k=1,2,…,t)進行歸一化處理。有:

那么專家Ek的權重值為:

基于上面給出的專家權重確定方法,可以進行直覺模糊群決策。利用已確定的專家權重和式(2)可以得到每個方案的評價值,利用定義5和定義6可以對方案進行比較排序,最終確定最優(yōu)方案。

3 算例

某一食品生產企業(yè)為其加工過程中的某原料在全國范圍內尋找最優(yōu)供應商?，F(xiàn)在有5個供應商A1,A2,…,A5可供選擇,該企業(yè)邀請來自各領域的4位專家E1,E2,…,E4利用5個決策屬性對這5個供應商進行評估:G1為原料的價格; G2為原料的質量;G3為供應商的信譽;G4為供應商品質控制能力;G5為原料供應渠道的暢通性。專家Ek(k=1,…,4)利用直覺模糊數(shù)評估供應商Ai(i=1,2,…,5)在決策屬性Gj(j=1,2,…,5)下的特征。專家Ek(k=1,…,4)評估結果表1至表4所示的直覺模糊決策矩陣Xk。

表1 專家E1的直覺模糊決策矩陣X1

表2 專家E2的直覺模糊決策矩陣X2

表3 專家E3的直覺模糊決策矩陣X3

表4 專家E4的直覺模糊決策矩陣X4

步驟1:將專家Ek(k=1,…,4)的直覺模糊決策矩陣Xk分為隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣

由于篇幅限制,下面僅具體列出專家E1的隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣

步驟2:確定所有專家的群體決策矩陣X*:

步驟3:將群體決策矩陣X*分為隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣

步驟4:利用式(5)和式(6)可以得到專家Ek(k=1,…,4)的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和專家的非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影:

步驟5:計算專家Ek(k=1,…,4)的決策矩陣Xk與群體決策矩陣X*的相似度Ek()θ:

這里,取領導者的偏好度θ=0.7。則有:

步驟6:計算專家Ek(k=1,2,…,t)的權重值。

那么專家Ek的權重值為:

因此,4位專家E1,E2,…,E4的權重值分別為0.2584, 0.2378,0.2573,0.2465。

接下來,進行直覺模糊環(huán)境下的群決策。利用4位專家的權重和式(2),將他們對每個方案每個屬性的直覺模糊矩陣集結為群體對每個方案每個屬性的直覺模糊矩陣X:

設5個決策屬性的權重分別為ρ=(0.2,0.15,0.2,0.3, 0.15)T。利用決策屬性權重和式(2)可以集結群體直覺模糊矩陣X的每一行,從而得到每個供應商的直覺模糊評價值:

由定義5可得每個供應商的得分函數(shù)值:

依據(jù)供應商的得分函數(shù)值和定義6,可以得到各供應商的排序為:

因此,最優(yōu)供應商為A3。

4 結束語

對于直覺模糊環(huán)境下的群決策問題,本文提出了基于投影的專家權重確定方法。該方法的核心是計算專家個體的隸屬度矩陣在群體隸屬度矩陣上的投影和專家個體的非隸屬度矩陣在群體非隸屬度矩陣上的投影,然后利用偏好度,求出每個專家的決策矩陣和群體決策矩陣的相似度,進而確定專家權重。本文的方法充分考慮并利用了專家個體和群體的隸屬度矩陣和非隸屬度矩陣的信息,提高了群決策的科學性和可靠性。這為直覺模糊群決策下確定專家權重提供了一種新的方法和思路。最后給出的算例分析表明該方法有效可行,在解決工程招標中的承包商選擇、制造業(yè)中的供應商選擇等存在不確定性因素的管理決策問題中簡單實用。

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(責任編輯/浩天)

C934

A

1002-6487(2016)20-0043-04

國家自然科學基金青年項目(71403181)

孟俊娜(1974—),女,山西運城人,博士,副教授,研究方向:項目管理、群決策分析與評價。于利爽(1989—),女,山東威海人,碩士研究生,研究方向:群決策分析與評價。劉炳勝(1979—),男,天津人,博士,副教授,研究方向:建筑業(yè)經濟與管理、工程決策理論與方法。