劉偉平，郝金明，于合理，田英國

信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南 鄭州450001

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北斗衛(wèi)星多天軌道合成方法及其精度分析

劉偉平，郝金明，于合理，田英國

信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南 鄭州450001

目前，北斗衛(wèi)星多天解軌道主要是通過常規(guī)的數據累積解算獲得，處理效率較低。此外，由于開通運行不久，北斗衛(wèi)星力學模型尚未完善，限制了多天解軌道精度的進一步提高。針對以上問題，本文提出了附加偽隨機脈沖的北斗衛(wèi)星多天軌道合成方法，利用法方程疊加實現北斗衛(wèi)星多天軌道合成，可有效提高軌道解算效率。同時，利用偽隨機脈沖對力學模型的補償作用，進一步提高了多天軌道合成的精度水平。實測數據分析表明：在多天軌道合成中，單天邊界附加偽隨機脈沖對北斗衛(wèi)星軌道精度有明顯改進作用。其中，3類衛(wèi)星切向、法向軌道精度的改善程度大于徑向，GEO和IGSO衛(wèi)星軌道精度的提高幅度大于MEO衛(wèi)星。一定范圍內，隨著定軌弧段的增長，北斗衛(wèi)星定軌精度能夠得到不同程度的改善，且主要表現在軌道切向。

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)；精密定軌;法方程疊加;軌道合成;偽隨機脈沖

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國自主建設、獨立運行的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)[1-2]，其軌道精度水平直接影響到系統(tǒng)的拓展應用[3-4]。在導航衛(wèi)星精密定軌中，通常以一天為一個時段進行處理，然而由于單天解軌道存在末端效應，即時段兩端的軌道誤差相對較大，因此，需要將單天解軌道合成為多天解軌道[5-6]。

以往的處理是將幾個單天時段的數據集合到一起，而后統(tǒng)一處理得到多天解軌道，計算耗時耗力，并隨著跟蹤站數目及處理天數的增多，對計算機性能的要求越來越苛刻。而后發(fā)展起來的法方程疊加方法通過并行處理單天觀測數據，再在法方程層面進行軌道合成，極大地提高了處理效率[7-8]。國外關于法方程疊加方法的研究起步較早，早在20世紀90年代中后期，文獻[5]就研究了應用法方程疊加合成多天軌道的方法；隨后，文獻[7]系統(tǒng)探討了法方程疊加原理及其在大地測量與地球動力學中的應用；文獻[9]將法方程疊加原理應用到了區(qū)域形變估計中。國內，文獻[10]在深入研究了法方程疊加原理的基礎上，探討了基于法方程疊加的多時段軌道合成方法；文獻[11]利用法方程疊加原理，分析了多個子網解軌道合成整網解軌道的處理效果。然而，以上研究大多是針對GPS和GLONASS衛(wèi)星，目前北斗衛(wèi)星采用的多天解軌道主要是依靠傳統(tǒng)的多天數據累積解算獲得[12-17]。這種處理模式在精度上與基于法方程疊加的結果是一致的，但是計算過程復雜，無法并行處理各天數據，計算效率較低。此外，在軌道合成中，涉及的主要軌道參數包括密切元素、力學參數和偽隨機脈沖參數，已有研究主要集中于密切元素(參考時刻的6個開普勒根數)和力學參數(如光壓模型參數等)的合成處理，而對另一類重要參數——偽隨機脈沖的處理方法雖有所涉及，但相關研究還不夠深入。偽隨機脈沖具有彌補力學模型精度不足的作用[18]，對當前數據累積有限、部分攝動力難以精確建模的北斗衛(wèi)星精密定軌具有重要意義。

針對以上問題，本文首先給出了法方程疊加的基本原理，并重點推導了軌道合成中主要應用的參數轉換方法。而后，在給出密切元素和力學參數合成方法的基礎上，著重研究了偽隨機脈沖的處理方法。據此，提出了附加偽隨機脈沖的北斗衛(wèi)星多天軌道合成方法。最后，利用北斗衛(wèi)星實測數據，設計相應算例，驗證了本文方法的應用效果。

1 法方程疊加基本原理

在基于法方程疊加的軌道合成中，首先處理單天數據，形成單天解法方程并保存，再在法方程水平進行參數轉換、疊加等處理，得到多天解軌道。參數轉換的本質是對法方程進行重新參數化，其基本思想是通過建立新參數與原參數的線性關系，并利用這一關系對原法方程系統(tǒng)進行轉換，形成新的法方程系統(tǒng)，在進行法方程疊加之前，通常需要進行參數轉換。這里首先推導了法方程轉換方法，而后給出了法方程疊加的基本原理。

1.1 參數轉換

設有誤差方程

(1)

其對應的法方程為

(2)

式中，N=BTPB；U=BTPL；P為觀測值的權陣。

(3)

將式(3)代入式(1)，得

(4)

則新的法方程系統(tǒng)可表示為

(5)

式中

N′=CTBTPBC=CTNC

(6)

U′=CTU-CTNd

(7)

式(6)和式(7)即為對應的參數轉換公式。實際應用中，首先建立新參數與原參數的線性關系(如式(3))，即給定C和d的具體形式，而后直接由參數轉換公式獲得新法方程的系數矩陣，即可建立新的法方程系統(tǒng)。

1.2 法方程疊加

假設有兩組觀測量，相互之間獨立，且有觀測方程如下

(8)

(9)

按照最小二乘原理，式(8)和式(9)對應的法方程可分別表示為

(10)

(11)

兩組法方程疊加得到如下新的法方程系統(tǒng)

(12)

2 附加偽隨機脈沖的多天軌道合成

通過法方程疊加進行多天軌道合成時，可將對應的單天解法方程中包含的參數分為兩大類：一類為“感興趣”的軌道參數；另一類為暫時“不感興趣”的參數，如對流層延遲參數、鐘差參數等。對于后者，可以在疊加之前首先將其預消除，待到疊加完成并解得軌道參數后，再通過回代的方法進行解算。關于參數的預消除與回代方法，相關文獻多有論及[7,10-11]，不再贅述。這里主要關注軌道參數，通常包括密切元素和力學參數。結合北斗衛(wèi)星目前數據累積有限、部分力學模型有待進一步精化的特點，這里還考慮在軌道合成時于單天邊界處附加偽隨機脈沖參數，以吸收力學模型誤差。下面首先給出密切元素和力學參數的合成方法，而后重點推導偽隨機脈沖的具體處理方法。

2.1 密切元素和力學參數的合成

假定有n天軌道需要合成，那么只要能夠建立第1天的密切元素和力學參數與其后n-1天相關參數的線性關系，并利用這一關系對n-1個單天解法方程進行參數變換，以統(tǒng)一所有單天解法方程的待估參數集，最后，根據法方程疊加原理，即可完成相關參數的合成。

如果要將n-1天的軌道通過第1天的軌道參數表示，就要求相鄰兩天邊界處衛(wèi)星位置與速度具有連續(xù)性，同時可要求各天的力學參數相等。有如下關系

(13)

利用密切元素與衛(wèi)星位置、速度的對應關系以及式(13)，經過推導，可以得到如下線性關系

(14)

式中，ΔEi、Δqi分別表示第i天(i=2,3,…,n)的密切元素和力學參數；ΔE1、Δq1分別表示第1天的密切元素和力學參數；Ki,1、Li,1、Mi,1、Ni,1分別表示對應的關系矩陣，具體形式可參閱文獻[7]；I表示單位陣。

利用式(14)建立的線性關系，參照1.1節(jié)給出的參數轉換方法，對n-1天的法方程系統(tǒng)進行參數轉換，統(tǒng)一各天的待估參數集，而后利用1.2節(jié)給出的法方程疊加方法，即可完成相應的合成處理。

2.2 偽隨機脈沖參數的合成

為了減弱北斗衛(wèi)星力學模型精度不足的不利影響，考慮在單天邊界處附加偽隨機脈沖參數，其可定義為在給定歷元的瞬間速度增量[19-20]，通過下式表示

vnew(τ)=vold(τ)+so

(15)

式中，s表示偽隨機脈沖的大小，o表示偽隨機脈沖的方向，兩者共同定義了偽隨機脈沖；τ表示偽隨機脈沖發(fā)生的時刻；vold、vnew分別表示偽隨機脈沖發(fā)生前后的衛(wèi)星速度。

在進行軌道合成時，需要考慮當前時刻之前所有偽隨機脈沖對衛(wèi)星軌道的影響。為便于討論，假定τ為附加偽隨機脈沖對應的參考歷元，ti為第i天法方程對應的參考歷元，分兩步處理以上問題：

2.2.1 τ歷元偽隨機脈沖對τ歷元密切元素的影響

將τ歷元偽隨機脈沖so在徑向、橫向和軌道面法向的分量分別記為sR、sT、sN。根據牛頓受攝運動方程[21]，引起的密切元素變化量可表示為

(16)

將τ歷元偽隨機脈沖對τ歷元密切元素的影響以矩陣形式表示，有

ΔEs(τ)=sκs(τ)

(17)

式中，ΔEs(τ)表示偽隨機脈沖引起的密切元素的變化量；κs(τ)是由式(16)給定的系數矩陣；s含義與以上相同。

2.2.2 τ歷元密切元素對ti歷元密切元素的影響

根據衛(wèi)星變分方程，可得狀態(tài)轉移矩陣Ms(ti,τ)，其元素為

(18)

則τ歷元密切元素對ti歷元密切元素的影響，可表示為

ΔEs(ti)=Ms(ti,τ)ΔEs(τ)

(19)

綜合式(17)和式(19)，可得τ歷元偽隨機脈沖對ti歷元密切元素的影響為

ΔEs(ti)=Tss

(20)

并有

Ts=Ms(ti,τ)κs(τ)

(21)

綜上，當前時刻之前所有偽隨機脈沖對ti歷元密切元素的影響可通過式(20)獲得，表示如下

(22)

對第i天的法方程系統(tǒng)進行參數轉換，對照式(3)，有

(23)

di=0

(24)

利用參數轉換公式(6)和式(7)，可得

(25)

(26)

利用以上方法，對各單天解法方程進行參數轉換，得到新的法方程系統(tǒng)，而后基于法方程疊加原理，即可完成偽隨機脈沖參數的合成。

方便推導起見，以上分別討論了密切元素、力學參數和偽隨機脈沖的合成方法。實際處理中，3類參數同時出現在法方程中，需首先按照處理偽隨機脈沖的方法對各單天解法方程進行參數轉換，而后進行密切元素和力學參數的參數轉換，最后再進行法方程疊加，即可完成多天軌道的合成處理。

3 算例分析

為了驗證本文方法的正確性及其在北斗衛(wèi)星精密定軌中的實際應用效果，結合北斗衛(wèi)星實測數據，首先探討單天邊界附加偽隨機脈沖對北斗衛(wèi)星軌道精度的改善作用，而后，分析北斗衛(wèi)星多天軌道合成的實際效果。

3.1 偽隨機脈沖的作用

采用全球24個測站2013年6月3日到2013年6月24日共22 d的北斗觀測數據進行試驗分析，其中，12個測站來自IGS組織的多系統(tǒng)實驗網(multi-GNSS experiment，M-GEX)，12個測站來自武漢大學建立的北斗衛(wèi)星觀測實驗網(BeiDou experimental tracking stations,BETS)，測站分布見圖1。

圖1 測站分布圖Fig.1 Station layout

處理中，首先利用單天數據以非差動力法進行北斗衛(wèi)星單系統(tǒng)精密定軌，并保存單天解法方程，而后，利用本文給出的方法進行3d軌道合成。為了方便對比，軌道合成時采用如下兩種方案，兩種處理方案僅在偽隨機脈沖的處理上有所區(qū)別，其他處理策略(見表1)相同。

方案1(S1)：3d軌道合成，單天邊界處不附加偽隨機脈沖。

方案2(S2)：3d軌道合成，單天邊界處附加偽隨機脈沖。

以3d軌道的重疊弧段軌道差值考察兩種方案的定軌精度，方法如圖2。表2和圖3給出了兩種方案下各衛(wèi)星在所有重疊弧段上徑向(R)、切向(T)、法向(N)和三維(P)的平均RMS情況。

表1 數據處理策略

圖2 重疊弧段軌道差值比較方法Fig.2 Method of overlapped-arc comparison

圖3 北斗衛(wèi)星精密定軌精度對比圖Fig.3 Comparison of BeiDou satellites orbit precision

Tab.2 Statistics of BeiDou satellites orbit precision m

由圖3和表2的結果可見，多天軌道合成時在單天邊界處附加偽隨機脈沖，所有北斗衛(wèi)星的精密定軌精度都獲得了明顯改善。平均來講，GEO衛(wèi)星軌道精度在R、T、N方向分別提高了0.062、0.191和0.179 m；IGSO衛(wèi)星分別提高了0.024、0.170和0.109 m；MEO衛(wèi)星分別提高了0.015、0.056和0.032 m。相比R方向，偽隨機脈沖的引入對3類衛(wèi)星T、N方向軌道精度的改善更為明顯。從三維定軌精度來看，GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星分別提高了0.256、0.212和0.071 m，GEO和IGSO衛(wèi)星軌道精度的提高幅度明顯大于MEO衛(wèi)星。偽隨機脈沖的主要作用是彌補力學模型精度的不足，以上結果在一定程度上表明，北斗系統(tǒng)3類衛(wèi)星的力學模型在T、N方向具有較大的殘余誤差影響，相比MEO衛(wèi)星，GEO和IGSO衛(wèi)星的力學模型精度具有更大的改進空間。

3.2 多天軌道合成效果

為了進一步驗證北斗衛(wèi)星多天軌道合成的效果，采用2013年6月1日到2013年6月26日共26 d的北斗衛(wèi)星實測數據，所用測站及處理策略與上一算例方案2相同。在附加偽隨機脈沖的條件下，分別計算了北斗衛(wèi)星3 d(S1)、5 d(S2)和7 d(S3)解軌道。便于對比起見，僅取多天解軌道的中間一天作為當天最終軌道，采用文獻[17]給出的方法，通過統(tǒng)計連續(xù)兩天最終軌道在00:00:00(或24:00:00)的軌道差異值中位數，來評定定軌精度。圖4以圖示的形式對比了GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星3 d 、5 d和7 d解軌道的三維軌道差異值中位數，表3則對3種解算方案中各衛(wèi)星徑向(R)、切向(T)、法向(N)和三維(P)的軌道差異值中位數進行了統(tǒng)計。

圖4 多天軌道合成試驗各星軌道精度對比圖Fig.4 Comparison of BeiDou satellites orbit precision in orbit combination

Tab.3 Statistics of BeiDou satellites orbit precision in orbit combination m

由圖4和表3的結果可見：

(1) 隨著定軌弧段的增長，大部分衛(wèi)星的定軌精度都獲得了不同程度的改善。但是，應該引起注意的是，C02星軌道精度隨定軌弧段的增長反而有明顯的降低趨勢，具體原因尚待進一步分析。

(2) 從三維軌道精度來看，由3 d定軌弧段增長到5 d時，GEO、IGSO、MEO平均定軌精度分別提高了23.6%、32.0%和48.6%；由5 d增長到7 d時，3類衛(wèi)星分別提高了13.0%、17.8%和12.1%。由此可見，定軌弧段由3 d增長到5 d對軌道精度的改善作用更為明顯。這一點在圖4中也有直觀反映，這是由于定軌弧段增長到一定限度對觀測構形的改善作用就不再顯著，力學模型的精度也在一定程度上限制了定軌弧段的長度。此外，定軌弧段由3 d增長到5 d時，GEO、IGSO和MEO的軌道精度提高幅度依次增大，主要是由于多天數據的累積對“運動”中的IGSO和MEO(特別是MEO)衛(wèi)星觀測結構改善作用更大，而對“靜止”的GEO衛(wèi)星改善作用稍弱。但是，這種改善對觀測幾何結構較差的GEO衛(wèi)星卻具有重要意義，表現在其軌道精度改進的絕對量要明顯大于IGSO和MEO衛(wèi)星。當定軌弧段由5 d增長到7 d時，3類衛(wèi)星軌道精度改善幅度的差異性已經不甚明顯。

(3) 以3 d定軌弧長與7 d定軌弧長作對比，在R方向上，GEO、IGSO、MEO衛(wèi)星平均定軌精度分別提高了0.045、0.013和0.019 m，在T方向上，3類衛(wèi)星分別提高了0.215、0.119和0.078 m，在N方向上，3類衛(wèi)星分別提高了0.050、0.084和0.044 m。隨著定軌弧段的增長，3類衛(wèi)星T方向軌道精度改善最為明顯。這主要是由于導航衛(wèi)星的距離觀測量對軌道T方向幾何約束不足，通過多天數據累積，有助于改善T方向的觀測幾何約束。

在使用相同的軌道精度評定方法并采用相同長度的定軌弧長的條件下，以上結果與文獻[17]的定軌精度基本相當，本文結果略優(yōu)。除了附加偽隨機脈沖對力學模型缺陷的彌補作用之外，還得益于文中使用了更多的測站數據。需要說明的是，以上軌道精度評定方法實質上是以單天邊界處軌道的不連續(xù)性來統(tǒng)計定軌精度，由于動力法定軌的末端效應，定軌弧段兩端軌道精度較低，因此以弧段中間一天邊界處軌道的不連續(xù)性統(tǒng)計獲得的軌道精度要略優(yōu)于重疊弧段的結果。此外，隨著定軌弧段的增長，相鄰兩個定軌弧段公用的觀測數據會不斷增多，這在一定程度上也會引起軌道內符合精度升高。因此，算例中軌道精度隨定軌弧段增長而不斷提高，除得益于觀測數據的累積效應之外，以上兩個因素也具有一定的影響作用。

4 結 論

針對目前北斗衛(wèi)星多天解軌道計算依靠常規(guī)方法效率低下的問題，本文深入研究了基于法方程疊加的多天軌道合成方法，同時，結合北斗衛(wèi)星部分攝動力模型精度尚待進一步精化的現實情況，在研究了密切元素和力學參數處理方法的基礎上，重點推導了偽隨機脈沖參數的合成方法，提出了附加偽隨機脈沖的北斗衛(wèi)星多天軌道合成方法。結合北斗實測數據，對相關方法進行了分析驗證，結果表明：在軌道多天合成中，單天邊界附加偽隨機脈沖對北斗衛(wèi)星軌道精度有明顯改進作用，其中，3類衛(wèi)星T、N方向軌道精度的改善程度大于R方向，GEO和IGSO衛(wèi)星軌道精度的提高幅度大于MEO衛(wèi)星。偽隨機脈沖的主要作用是彌補力學模型精度的不足，以上試驗結果在一定程度上也說明：北斗系統(tǒng)3類衛(wèi)星的力學模型在T、N方向具有較大的殘余誤差影響；相比MEO衛(wèi)星，GEO和IGSO衛(wèi)星的力學模型精度具有更大的改進空間。此外，利用文中方法進行北斗衛(wèi)星多天軌道合成，一定范圍內，隨著定軌弧段的增長，北斗星定軌精度能夠得到不同程度的改善。定軌弧長由3 d增長到5 d對定軌精度的改善作用要明顯大于由5 d增長到7 d的情況，定軌弧長的增長對北斗3類衛(wèi)星T方向的軌道精度改善作用更大，但是C02星軌道精度隨定軌弧段的增長反而有明顯的降低趨勢，具體原因有待進一步分析。

需要指出的是，利用本文方法在附加偽隨機脈沖條件下獲得的高精度軌道反過來可以用于精化北斗衛(wèi)星力學模型，其具體方法有待進一步深入研究。

致謝：感謝全球連續(xù)監(jiān)測評估系統(tǒng)(iGMAS)信息工程大學分析中心對本文工作的幫助和支持。

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(責任編輯：叢樹平)

Solution Method and Precision Analysis of Multi-days Orbit Combination of BeiDou Satellites

LIU Weiping，HAO Jinming，YU Heli，TIAN Yingguo

School of Navigation and Aerospace Engineering，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China

Multi-days orbit of BeiDou satellites is gotten by the routine method of stacking observation data at present,which limits calculation efficiency.And moreover,the dynamic model of BeiDou satellites is not perfect because of the short running time,which also limits the precision of multi-days orbit.The method of multi-days BeiDou satellite orbit combination is present.In this method,normal equation stacking is used to combining some consecutive one-day BeiDou satellite orbits to one multi-days orbit,which can improve calculation efficiency.Meanwhile,pseudo-stochastic pulse is used to compensate the deficiency of dynamic model.The analysis shows that it is the pseudo-stochastic pulse at one-day boundary that improves the precision of BeiDou satellite orbits obviously.And the tangential and normal precision is improved more than the radial.The orbit precision of GEO and IGSO is improved more than that of MEO.And the precision of BeiDou satellite orbit can be improved by extending the orbit arc length with certain limits,which is especially in the tangential direction.

BeiDou navigation satellite system; precise orbit determination; normal equation stacking; orbit combination; pseudo-stochastic pulse

Major Projects of the Second Generation Satellite Navigation System in China (No.GFZX0301040308)

LIU Weiping (1986—)，male，PhD，lecturer，majors in precise satellite orbit determination and positioning.

劉偉平，郝金明，于合理，等.北斗衛(wèi)星多天軌道合成方法及其精度分析[J].測繪學報，2016,45(10)：1157-1164.

10.11947/j.AGCS.2016.20160055.

LIU Weiping，HAO Jinming，YU Heli，et al.Solution Method and Precision Analysis of Multi-days Orbit Combination of BeiDou Satellites[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(10):1157-1164.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160055.

P228

A

1001-1595(2016)10-1157-08

中國第2代衛(wèi)星導航系統(tǒng)重大專項(GFZX0301040308)

2016-01-31

修回日期：2016-06-21

劉偉平(1986—)，男，博士，講師，研究方向為衛(wèi)星精密定軌定位。

E-mail：lwpchxy@sina.com