☉浙江省寧波市北侖職業(yè)高級中學(xué)　樂志剛

凸顯數(shù)學(xué)思想方法提升中職數(shù)學(xué)課品質(zhì)——以“直線的傾斜角與斜率”為例

☉浙江省寧波市北侖職業(yè)高級中學(xué)樂志剛

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)一直被認為是改變數(shù)學(xué)教師觀念、提高教師素質(zhì)的主要途徑.傳授數(shù)學(xué)知識、演化數(shù)學(xué)思想、傳承數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，從這個意義而言，掌握了數(shù)學(xué)方法就是掌握了課堂的要義，掌握了數(shù)學(xué)的精髓，從而也為學(xué)生的發(fā)展指明了一條光明的道路.在教學(xué)過程，教師如果能夠注意滲透常見的數(shù)學(xué)思想方法，注意一些數(shù)學(xué)思想挖掘、提煉和滲透，這對中職學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)能力、開發(fā)智力及提高學(xué)生的素質(zhì)都是至關(guān)重要的.本文以高等教育出版社出版的中職《數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)模塊下冊中第八章第二節(jié)“直線的傾斜角與斜率”為例，淺議數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透.

一、滲透建模思想，增強學(xué)生分析問題、理論聯(lián)系實際的能力

教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生建立合適的數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)分析.在解決實際問題時，對基礎(chǔ)知識的具體應(yīng)用，是指學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問題，采取何種應(yīng)對策略進行解決，該做什么及怎么做，這些都屬于數(shù)學(xué)方法的范疇，至于做的好與壞，則可以歸為數(shù)學(xué)思想的范疇了.

為了調(diào)動中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感與興趣、啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生積極和主動地參與到數(shù)學(xué)課堂的活動中，我們往往采用“情景教學(xué)”.本節(jié)首要的任務(wù)是學(xué)習(xí)直線傾斜角的概念，如圖1所示.在教學(xué)中，我們通過高射炮的圖示導(dǎo)入，以地面所在直線為x軸、垂直地面所在直線為y軸、炮管中心軸為所在直線，為了確定直線對x軸的傾斜程度，引入直線傾斜角的概念.這就是通過生活中的實例圖像向數(shù)學(xué)中的基本圖形轉(zhuǎn)變，從而使抽象的數(shù)學(xué)概念實物化，架起數(shù)學(xué)知識和實際問題之間的橋梁，靈活運用建模思想.

圖1

二、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移能力

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生形成數(shù)學(xué)意識的紐帶，它很好地把幾何內(nèi)容和代數(shù)知識結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的載體.作為一種隱性的知識，數(shù)學(xué)結(jié)合思想具有隱喻性的特點，它隱于知識內(nèi)部，又高于書本的知識.數(shù)形結(jié)合作為一種常見的數(shù)學(xué)思想方法在日常的教學(xué)中是非常實用和常見的，圖形性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系之間形成互換是它的常見形態(tài).

在實際情況下，高射炮的炮管是可以調(diào)節(jié)的，所以它的傾斜角是在變化.而在本節(jié)內(nèi)容中，我們引導(dǎo)學(xué)生通過直線旋轉(zhuǎn)，來尋找直線傾斜角的取值范圍，觀察傾斜角a與直線方程（一次函數(shù)y=kx+b的形式）中x的系數(shù)k之間的關(guān)系，這就是最簡單數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).結(jié)合直線旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的幾種圖形能有效地幫助學(xué)生找到直線傾斜角的取值范圍并且形成直線斜率的概念.例如，在教學(xué)中，為了便于學(xué)生更好地理解直線斜率的概念，我們借助幾何畫板設(shè)計：（1）α變化→直線的變化→y= kx+b中x的系數(shù)k變化（同時觀察tanα的變化）；（2）y=kx+b中x的系數(shù)k變化→直線的變化→α變化（同時觀察tanα的變化）.通過動態(tài)演繹，數(shù)與形就結(jié)合起來了，這樣，能夠幫助學(xué)生更好地理解斜率這一數(shù)學(xué)概念，如圖2所示.

圖2

三、滲透分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物，靈活處理問題的能力

職高數(shù)學(xué)教學(xué)擔(dān)負著培養(yǎng)學(xué)生理性思維的責(zé)任，數(shù)學(xué)教師一定要不斷探索有效的教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)可以將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性、多樣性和變通性，對于發(fā)展學(xué)生的思維能力起著積極推動作用.

圖3

圖4

例如，當(dāng)我們研究如何根據(jù)直線上的任意兩個點的坐標來確定傾角大小的時候，我們就要分兩類情況來討論：當(dāng)α≠90°時，x1≠x2，tanα=（如圖3、4）；當(dāng)α=90°時，x1=x2，tanα的值不存在，此時直線l與x軸垂直（如圖5）.前面通過學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)傾角α（α≠90°）的正切值叫作直線l的斜率，用小寫字母k表示，即k=tanα.為了更加準確地理解斜率k和傾斜角α的關(guān)系，我們將k分為四種情況來確定傾斜角α的取值：當(dāng)k<0時，90°<α<180°；當(dāng)k=0時，α=0°；當(dāng)k>0時，0°< α<90°；當(dāng)k不存在時，α=90°.

圖5

四、滲透方程與函數(shù)的思想，鞏固學(xué)生的計算能力

α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° k

引導(dǎo)學(xué)生通過建立方程，形成模型思想，這是最基本、最常用的數(shù)學(xué)方法.在教學(xué)中，只有加強數(shù)學(xué)意識的教學(xué)，才能使學(xué)生得心應(yīng)手，從容應(yīng)答，從而突破思維的桎梏，達到理想的狀態(tài).

按照教學(xué)大綱要求，本節(jié)課需要中職學(xué)生掌握直線的傾斜角和斜率的計算方法.根據(jù)直線斜率和傾斜角的計算公式k=tanα（α≠90°），我們把傾斜角α看作自變量，斜率k看作α的函數(shù)，通過對應(yīng)法則求相對應(yīng)的值.同時，我們根據(jù)中職學(xué)生的特點，結(jié)合后面直線方程的知識點，我們將所有特殊角列出，結(jié)合方程的思想，要求學(xué)生求出相對應(yīng)的斜率值，如下表：

五、滲透化歸思想，提高學(xué)生解決問題的能力

化歸是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，簡單的說，如果一個難題直接解決存在一定的困難，我們就可以通過等價類比進行轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化成我們能夠解決的問題或者形式來給予解決的方法，這是思想方法較高的層次，可以說化歸思想在數(shù)學(xué)新教材中是貫穿始終的.

以本節(jié)內(nèi)容為例，課后習(xí)題2：設(shè)點P（-3，1）、Q（-5，3），則直線PQ的斜率為_______，傾角為_______.這道題目就是直線的傾斜角、斜率及坐標之間的轉(zhuǎn)換，相關(guān)計算方法tanα（α≠90°）=k=的綜合.為了培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，深化直線傾斜角和斜率的概念，提高部分學(xué)生繼續(xù)探究的能力，我們提出習(xí)題：已知直線l1平行于直線l2，l1上任意兩點A（-2，2）、B（3，-1），l2上任意兩點C（4，2）、D（x，x+2），求點D坐標.引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，在已知條件中尋找突破點，搭建解決問題的橋梁.接下來就是求出D點的坐標，然后依次求解出直線l2的斜率.根據(jù)初中所學(xué)的知識“兩直線平行，同位角相等”，我們通過兩直線平行的條件，了解到傾斜角是相同的，因此斜率也相同.借助于直線l1的兩點坐標求出直線l1的斜率，最終解決點D的坐標.這就是化歸思想在本節(jié)教學(xué)中的運用.

總之，數(shù)學(xué)中滲透著基本數(shù)學(xué)思想，它們是基礎(chǔ)知識的靈魂和脊髓，是數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)反映，追求的是“授人以漁”，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“金鑰匙”，是數(shù)學(xué)發(fā)展的杠桿.可以說，數(shù)學(xué)思想較之于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用數(shù)學(xué)方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學(xué)方法，在運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及方法處理數(shù)學(xué)問題時，具有指導(dǎo)性的地位.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)把握數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，把數(shù)學(xué)教學(xué)上升到思想方法的層次，才能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，展示數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.

1.陳克勝.基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課程再思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009（1）.

2.徐明華.從一節(jié)隨堂課看數(shù)學(xué)文化教育的實施［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2010（7）.

3.張德勤.數(shù)學(xué)思想方法的意義、分類與教學(xué)價值［J］.教學(xué)研究與評論，2013（8）.F