☉浙江省寧波市效實中學　周　霞

歷經(jīng)三重境界探究翻折問題的教學設計

☉浙江省寧波市效實中學周霞

前不久，南京市高中數(shù)學骨干教師來我校進行課堂教學研討，筆者開設了以“翻折問題中的空間角探究”為課題的一堂復習課，內(nèi)容取材于2015年高考理科數(shù)學浙江卷第8題.本節(jié)課用一道題目設置“動手實驗，設疑激趣；證明猜想，釋疑引思；挖掘本質(zhì)，解惑探源”三個環(huán)節(jié)，歷經(jīng)“解”、“思”、“歸”三重境界探究翻折問題中空間角的教學設計，受到了參會老師的一致好評.2015年浙江理科第8題作為選擇題的壓軸題，看似平淡，實則內(nèi)涵豐富，立意深遠.本節(jié)課主要強化培養(yǎng)學生空間想象能力，強調(diào)思維的深刻性.關注解題思想方法，注重思維的靈活性.通過“設疑、釋疑、探源”等環(huán)節(jié)，讓學生真正成為課堂的主人.采用歷經(jīng)三重境界設計復習課是高三二輪復習教學的一次新嘗試，愿與大家共同探討.

一、題目分析

問題：如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

本題以常見的圖形翻折為

背景，考查二面角的平面角，考查學生的空間想象能力及分析問題、解決問題的能力.雖然本題可采用特殊位置法進行排除，但是結(jié)論正確性的證明有一定難度，結(jié)論揭示的是二面角的平面角與一類特殊的線線角（過二面角棱上一點在兩個半平面內(nèi)分別作兩條射線所形成的角）之間的大小關系，由此必將引發(fā)我們對二面角的平面角概念的思考.所以本題對于引導學生抓住數(shù)學本質(zhì)，建立良好的思維方式，感悟數(shù)學思想具有很好的指導價值.于是筆者嘗試運用此題開展探究性教學，與學生一起揭開試題的面紗，探求問題的本質(zhì)，尋找背后的規(guī)律，思考結(jié)論的價值，感受數(shù)學的魅力.

圖1

二、課堂簡錄

1.動手實驗，設疑激趣

實驗引入：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D為AB的中點，現(xiàn)沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD.

每位學生將手中的三角形紙片（課前分發(fā)）按上述要求折起，通過觀察分析，思考并回答下列問題：

（1）原Rt△ABC的三個角在翻折過程中有沒有變化？為什么有的發(fā)生了變化，有的沒有變？

（2）∠A′DB的變化范圍是什么？

（3）如何度量二面角A′-CD-B的大小？作出二面角的平面角α，并觀察α的變化范圍.

（4）在翻折過程中，探究∠A′DB、α、∠A′CB之間的大小關系.

設計意圖：翻折問題的關鍵是抓住變化中的不變量和不變關系，問題（1）讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)翻折前后始終位于折線同側(cè)的幾何量和位置關系不變.問題（2）（3）求角的變化范圍，可以讓學生在動手操作過程中體會角的動態(tài)變化情況，進而引出問題（4），即本節(jié)課要研究的問題.三個角度之間大小關系的比較對于學生來說并非易事，他們不可能立即給出正確結(jié)論，此時拋出問題只是希望學生對這個問題有一個直觀的感知，能夠自主尋求比較的方法.

學生在經(jīng)歷獨立思考，小組合作探究之后，得出如下的一些結(jié)論：

①∠A′DB>α>∠A′CB.

②可以比較三個特殊位置：α=0時，∠A′DB>∠A′CB>α；α=時，∠A′DB>α>∠A′CB；α=π時，∠A′DB=α>∠A′CB，但整個翻折過程中三個角的大小不知道怎么比較.

③α=0時，∠A′CB>α；α=π時，∠A′CB<α；所以α和∠A′CB大小不確定.

④從三個特殊位置看∠A′DB>α或∠A′DB=α，但其他情況判斷不了.

設計意圖：雖然此刻探究結(jié)果并不明朗，但學生已在動手操作過程中獲得了對這個問題的感性認識，并且這個問題所帶來的認識上的沖突和探究中的困惑，引發(fā)了他們強烈的求知欲望，激發(fā)了他們的學習興趣.

2.證明猜想，釋疑引思

在學生陷入困惑，束手無策時，筆者出示了這道高考題.作為選擇題，題目提供的四個選項給學生指明了方向，他們很快根據(jù)前面的分析結(jié)論給出了本題的正確答案：B.

師：怎么證明這個結(jié)論的正確性呢？（學生再次陷入了沉思，片刻之后）

生1：我覺得要比較二面角的平面角α（即∠A′EF）與∠A′DB的大小，應將其放入三角形中，也就是要構造三角形.

師：怎么構造三角形呢？

生1：如圖2，構造△A′DB和△A′EF，可是好像沒法證明……

（學生思考，無人回答）

師：這兩個三角形除了一個公共頂點A′外，再無其他共同元素，邊之間又沒有聯(lián)系，看起來很難比較.

生2（欣喜地）：可以先比較∠A′DB的補角∠ADA′和α的補角∠AEA′，因為△ADA′和△AEA′是兩個同底的等腰三角形.

師：這個想法好！直接比較遇到困難的時候轉(zhuǎn)化為補角進行比較，這種化歸思想是我們解題時常用的一種思維策略.

圖2

（板書證明過程）

證明：設AE=a，AD=b，AA′=c.

由b≥a，得cos∠ADA′≥cos∠AEA′，

所以∠ADA′≤∠AEA′，則∠A′DB≥α.（*）

設計意圖：結(jié)論的證明消除了學生心中原有的疑問，得到了明確的結(jié)果：∠A′DB和α可以比較大小并且可以嚴格證明兩者的大小關系（證明方法有多種，研究本題的意圖不在于一題多解，故不再探究其他證法）.學生經(jīng)歷了從感性認識上升到理性認識的過程，如果此時見好就收，放棄對該題的繼續(xù)探究，必然領悟不到此題的價值和真諦，錯失一次探究的好機會.因為現(xiàn)有的結(jié)論還將引發(fā)我們進一步深入思考.

3.挖掘本質(zhì)，解惑探源

師：是什么原因使得∠A′DB和α可以比較大小，而∠A′CB和α的大小關系卻不能確定呢？

有了前面的探究成果，學生對新的問題充滿自信，躍躍欲試.

生3：題目中有條件“D是AB的中點”.

（部分學生表示贊同）

生4：我覺得不是這個原因，因為改變點D在線段AB上的位置仍然可以用剛才的方法證明∠A′DB≥α.

師（借助幾何畫板動態(tài)演示）：結(jié)論與∠A′DB的頂點D的位置確實沒有關系，那么與什么有關呢？

生5：與∠A′DB的兩條邊有關吧，我發(fā)現(xiàn)隨著點D在線段AB上移動，射線DB、DA′與棱所成角θ1，θ2也發(fā)生變化，但是始終有θ1=θ2.

生6：射線CB、CA′與棱所成角不相等，所以∠A′CB和α的大小不確定.

師：這個分析聽起來很有道理，能否給出嚴格的證明呢？

為了對這個問題有一個更為清晰的認識，我們從具體問題中抽象出如下模型（圖3，圖4所示）：］，比較∠AOB和∠A′OB′的大小.

圖3

圖4

由于學生已經(jīng)在具體問題中尋找到解決問題的方法，所以此時一般模型中的結(jié)論以及結(jié)論的證明已經(jīng)水到渠成：

①當θ1=θ2時，若OA′、OB′在平面AOB的同側(cè)，則∠A′OB′≤∠AOB；

②當θ1=θ2時，若OA′、OB′在平面AOB的異側(cè)，則∠A′OB′≥∠AOB；

③當θ1≠θ2時，∠A′OB′和∠AOB的大小關系不能確定.

證明：結(jié)論①構造兩個同底的等腰三角形，證法同（*）.結(jié)論②只需延長射線B′O即轉(zhuǎn)化為同側(cè)情況.

對于給定的二面角α-l-β，∠AOB為二面角的平面角，若在半平面α和β內(nèi)分別取射線OA′和OB′，使它們與棱所成角分別為θ1，θ2，且θ1，θ2∈

設計意圖：學生通過自主探究，解除了心中的疑惑，發(fā)現(xiàn)了隱藏在題目背后的規(guī)律，看透了問題的本質(zhì)，興奮之情溢于言表，但是這探究的成果到底有何價值呢？是規(guī)律的應用嗎？顯然它在平時的解題中無用武之地，可它卻能引發(fā)我們對數(shù)學概念的思考.

師：為什么二面角的平面角定義中兩條射線都與棱垂直？我們的探究結(jié)論能否給出其合理性解釋？線面角是平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角，而二面角的平面角顯然不具有這樣的最值性，那么二面角的平面角與線面角（二面角一個半平面內(nèi)的一條線與另個一半平面所成的角）之間是否有某種大小關系呢？

（師生一起交流討論）

短短四十分鐘的探究課結(jié)束了，但是對于意猶未盡的學生而言，探討仍在繼續(xù).

三、課后反思

著名數(shù)學教育家波利亞在《怎樣解題》中指出：解題的價值不是答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的？”“是什么促使你這樣想，這樣做的？”也就是說，解題是一個思維過程，是一個把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程，而這必須依靠頭腦中清晰的系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡.所以完整的解題應經(jīng)歷三重境界：第一重境界是“解”，就是想盡一切辦法解決當前問題，第二重境界是“思”，就是解題后的回顧和反思，總結(jié)解題思想、方法，第三重境界是“歸”，就是將獲得的知識經(jīng)驗與書本知識聯(lián)系起來，再回歸到書本上來，重構自己的知識體系.那么解題教學中應怎樣達到這三重境界，從而高效地發(fā)揮高考題的教學應用價值，讓學生獲得最大收益呢？我想結(jié)合本次教學實踐談談自己的思考.

1.創(chuàng)設情境助“解”

要利用好高考題這一優(yōu)質(zhì)資源，我們必須對試題深透領悟，把握最本質(zhì)的東西，但更重要的是為學生創(chuàng)設恰當?shù)慕虒W情境.數(shù)學課程標準提出要“讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”，“讓學生在生動具體的情境中學習數(shù)學”.本節(jié)課引入環(huán)節(jié)折紙實驗的設計為學生提供了一個具體的情境，進而引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動，并使這些活動適合學生的認識發(fā)展規(guī)律，讓他們積極主動的探究，而不是被動地欣賞教師的奇思妙解，或是去記憶那一些枯燥乏味的結(jié)論規(guī)律.課堂實踐表明，恰當?shù)那榫硠?chuàng)設不僅激發(fā)了學生探究學習的興趣，充分調(diào)動學生主動學習的積極性，而且有助于學生經(jīng)歷科學探究的過程，培養(yǎng)學生的探索精神、實踐能力以及創(chuàng)新意識.

2.體驗過程啟“思”

在學生經(jīng)歷問題解決，體驗探究過程之后，我們應不失時機地指出：數(shù)學問題的背景千變?nèi)f化，但其中運用的數(shù)學思想方法卻往往是相同的，如研究本題最突出的思想方法：特殊到一般.按照英國數(shù)學家梅森（J. Mason）的觀點，特殊化與一般化正是數(shù)學思維的核心，同時也是怎樣解題的關鍵所在.本節(jié)課的教學設計促使高考題的順利解決正是應用了梅森的解題策略：由隨意的特殊化，去了解問題；由巧妙的特殊化，去對一般性結(jié)論進行檢驗；由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎.當然除了數(shù)學思想方法，還要引導學生總結(jié)研究問題的一般步驟：實驗——猜想——證明.唯有掌握了這些具有遷移價值和普遍意義的“策略性”知識，學生才能夠真正地學會獨立解決新的問題，獲得受益終身的學習能力.

3.沉淀收獲回“歸”

回歸課本是一種有效的復習策略，其價值在于實現(xiàn)溫故知新、歸納整合、深化認識等目的.要引導學生實現(xiàn)真正的回歸，我們不僅要找準問題的源頭，更要讓學生從源頭上搞清楚來龍去脈，理解知識的發(fā)生發(fā)展過程.本節(jié)課題目的探源過程也引發(fā)了我對概念教學的深入思考，我們不能將教學內(nèi)容的學術形態(tài)直接呈現(xiàn)于學生，并堂而皇之地用“規(guī)定”來敷衍了事，而應該努力建構學生易于接受的教育形態(tài)，打造學生樂于參與的活動形態(tài)，只有學生在概念的發(fā)生發(fā)展過程中揭示它的本來面目，參與概念本質(zhì)特征的概括活動，學生才能真正理解概念，發(fā)展創(chuàng)新精神與實踐能力，面對新的情境才能以不變應萬變.

解題有三境界，教學也有三境界.北京大學張順燕教授曾提出教學三境界，即“授人以業(yè)”、“授人以法”和“授人以道”.也就是說要達到教學的最高境界，不僅要準確地傳授知識，深刻地傳授方法，更要讓學生將掌握的方法和獲得的知識融會貫通起來.看來解題和教學的三境界如同一轍，相輔相成，相互貫通，其最終目標是促進教師或?qū)W生既能高瞻遠矚，又能析物入微，追求教與學的最高境界.

1.陳柏良.數(shù)學課堂教學設計［M］.上海：華東師范大學出版社，2013.

2.謝林，王躍輝.對二面角的平面角定義合理性的探究［J］.上海中學數(shù)學，2013（2）.

3.劉斌，吳莉霞.讓數(shù)學實驗進入課堂、激活興趣［J］.中學數(shù)學（上），2012（1）.Z