☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)　章杰

以圓錐曲線為例談解題教學(xué)的幾點感悟

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)章杰

在教學(xué)中，教師應(yīng)該教會學(xué)生從觀察、思考、聯(lián)想、變換思考角度等方面去分析問題，進(jìn)而確定解題的思路和方法.學(xué)生也應(yīng)該養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，勇敢地面對遇到的任何困難，樹立戰(zhàn)勝困難的信心和決心.在我們的思維處于困境的時候，從條件的特定含義分析和解決問題，是解決數(shù)學(xué)難題的一種有效途徑.下面以圓錐曲線問題為例，來談?wù)劰P者在解題教學(xué)中的幾點感悟.

一、審題如沙里淘金，是金子總要發(fā)光

審題是解題的基礎(chǔ)，思維受阻往往是對條件沒有進(jìn)行仔細(xì)觀察和思考，忽視了某些條件的重要作用，沒有轉(zhuǎn)化分解能力的差異.審題如同沙里淘金，不要漏掉任何一個線索，一個不起眼的條件或許就能打開成功的大門.

（1）求a，b的值；

（2）求證：直線MN的斜率為定值.

圖1　

解析：（1）設(shè)點A（x1，y1），則B（-x1，-y1）.由已知得解得x1=2，y1=1，代入橢圓方程，再結(jié)合離心率為，求得a=

（2）對于此問，題目給出的條件不少，但是值得我們關(guān)注的是“直線l：y=與橢圓E相交于A、B兩點”，這個條件等價于“A、B兩點關(guān)于原點對稱”.對于CA、CB、DA、DB中，假設(shè)斜率存在時，我們進(jìn)一步地挖掘可以得到設(shè)CA的斜率為k1，DA的斜率為k2，可得到這樣一來，直線AD的方程為y-1=k2（x-2），直線BC的方程為y+1=-求點N

上述問題，雖然給出的條件眾多，但是問題的突破口應(yīng)該是

二、突破思維受阻是對心理素質(zhì)的考驗

數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨著困難、挫折和失敗.有些學(xué)生在思維受阻時，冥思苦想，不肯放棄原有思路，鉆牛角尖，固執(zhí)己見，當(dāng)然是窮途末路苦徘徊，到頭來一無所獲.也有人碰到難題，急于求成，一旦思路受阻，找不到切入點，就會煩躁不安，心慌意亂.也有人遇到思維受阻，能夠冷靜地觀察，善于尋找特定條件的微妙含義，迅速轉(zhuǎn)換思維角度，靈感突現(xiàn)，這種成功的快感難以言表.

圖2　

（1）求橢圓C和圓F的方程；

（2）已知過點A的直線l與橢圓C交于一點B，與圓F交于另一點P.請判斷是否存在斜率不為0的直線l，使P恰好為線段AB的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

（2）對于本問的求解，大部分學(xué)生的思路是：設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用中點坐標(biāo)公式表示出點P坐標(biāo)，再由點P在圓F上，故點P的坐標(biāo)滿足圓的方程.再利用此關(guān)系判斷滿足條件的直線是否存在.

設(shè)B（x1，y1），則2+x1=可得中點P由點P在圓F上可得化簡整理得k2=0.又因為k≠0，所以不存在滿足條件的直線l.

解析幾何既具有幾何特征，又具有代數(shù)性質(zhì).幾何問題代數(shù)化是處理解析幾何問題的常用策略，解題中要善于挖掘隱藏的平面幾何屬性，為代數(shù)化創(chuàng)造條件.代數(shù)化的過程既可以將幾何問題直接代數(shù)化，也可以先把幾何問題利用幾何方法進(jìn)行適度簡化，再代數(shù)化.通常前者思維量小但計算量大；后者計算量小但思維量大.

三、靈感依賴于對條件的點滴探索

在解題中，當(dāng)遇到一道難題時，某些同學(xué)對題發(fā)呆，雖然絞盡腦汁，靈感也總是出不來，自己著急，老師也替學(xué)生發(fā)急.其實題目中的每個條件都具有自己的特定含義，我們不妨把它們轉(zhuǎn)化一下，哪怕是一小步，寫一寫、化一化、算一算，也許在寫與算的過程中就可以得到一些啟發(fā).

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y2= 2px（p＞0），設(shè)點D（n，0），E（m，0），M為拋物線上的動點（異于頂點），連接ME并延長交拋物線于點N，連接MD、ND并延長交拋物線于點P、Q，連接PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2.

圖3　

（1）若k1=1，m=2，|MN|=4求p；

（2）是否存在與p無關(guān)的常數(shù)λ，使得k1=λk2恒成立，若存在，請將λ用m、n表示出來；若不存在，請說明理由.

解析：（1）略.

（2）本題條件眾多，容易分散我們的注意力.拋物線居然有四個點M、N、P、Q，其中M、E、N三點共線，M、D、P三點共線，N、D、Q三點共線，直線MN、PQ的斜率分別為k1、k2.如果想k1=λk2恒成立時λ的值存在，那么這么多的條件，從哪個地方下手，設(shè)點還是設(shè)直線，乍一看肯定是心慌意亂的.

其實雖然有這么多點的共線，但是它們的性質(zhì)特征應(yīng)該是一致的，任何三點共線具有的性質(zhì)應(yīng)該是相似的，其實這也是他們的突破點，如果我們能夠行動起來，集中攻擊這個弱點，在計算過程中還可能獲得啟發(fā)，進(jìn)而乘勝推進(jìn)，最終獲得成功.基于此，我們不妨從M、E、N三點共線入手，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），得由于M、N是拋物線上的點，可以化簡再化簡得，y2y1= -2pm.這是多么驚喜的戰(zhàn)果呀！也就是說，從M、E、N三點共線可以得到y(tǒng)2y1=-2pm，那么可以肯定地說，從M、D、P三點可以得到y(tǒng)3y1=-2pn，從N、D、Q三點共線可以得到上式鞏固陣地，即，需要將y3、y4替換成y1、y2，則k2=再來看等式存在.因此，存在與p無關(guān)的常數(shù)λ=，使得k1=λk2恒成立.

綜上，對于解析幾何問題，一般來說解題過程都比較煩瑣，運算量較大，如何簡化運算就成了同學(xué)們迫切要解決的問題，因此在教學(xué)過程要注重培養(yǎng)學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力；要加強學(xué)生運算、轉(zhuǎn)化能力的強化訓(xùn)練；要注意問題的求解中分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)不等式、參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的滲透.F