☉福建省廈門第一中學　王淼生

☉福建省廈門第一中學　黃昌毅

蒙日圓以及應用*

☉福建省廈門第一中學王淼生

☉福建省廈門第一中學黃昌毅

小學開始接觸圓，初中學習圓并掌握圓的基本性質(zhì)，但初中側(cè)重從圖形（幾何法）上理解圓即定性研究.進入高中，在直角坐標系中即用坐標（代數(shù)法）來定量研究并得到圓的標準方程及一般方程.定性與定量有機結(jié)合、數(shù)與形完美互補，使得對圓的研究達到較為完善的程度.其實，圓有更多豐富內(nèi)涵，比如阿波羅尼斯圓、蒙日圓，等等.然而不少數(shù)學教師對此并不熟悉，甚至根本不知道.本文淺談蒙日圓相關定理、證明及應用，以求拋磚引玉.

一、蒙日圓概念

在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長、短半軸平方和的算數(shù)平方根，這個圓就是蒙日圓.用符號語言表示為：

我們知道圓錐曲線具有“家族”現(xiàn)象，即可將橢圓具有的性質(zhì)類比到雙曲線，不難得到：

其實，從伸縮變換的角度，我們可以將圓視為特殊的橢圓，從而得到：

定理3過圓x2+y2=a2（a＞0）上任意不同兩點A、B作圓的切線，若切線垂直且相交于P，則動點P的軌跡為圓x2+y2=2a2.

出于追求外形結(jié)構一致性，我們也可以將上述定理3敘述為：

站在復數(shù)的高度，我們還可以這樣描述上述定理2：

數(shù)學是有趣的又是神奇的.基于上述探索，為了體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一美、形式美、理性美及和諧美，我們可以將上述定理1、定理2及定理3統(tǒng)一歸納為：

上述研究表明圓錐曲線“家族”具有“遺傳性”.從生物學來說，有遺傳必有變異！正是因為變異，導致拋物線出現(xiàn)突變.由于拋物線只有一個焦點，因此我們可以設想另一個焦點在無窮遠處，于是就可以把直線視為半徑為無窮大的圓，由此可以得到：

定理4過拋物線y2=2px（p＞0）上任意不同兩點A、B作拋物線的切線，若切線垂直且相交于P，則動點P的軌跡為準線x=

二、證明上述定理

上述定理3、定理4的證明較為簡單，請讀者自行推理.以下證明定理1、定理2.為了得到定理1、定理2的簡捷證法，我們先介紹一個引理.

1.引理

我們知道解析幾何綜合問題突出特點就是入手不難、入口較寬，但運算量大、推理復雜，導致很多學生不得不中途放棄而前功盡棄，令人扼腕嘆息.其實何止是學生！慚愧的是筆者自己在文［1］中也是采取代數(shù)推理的方法證明了上述定理1、定理2.代數(shù)論證固然嚴謹，但計算復雜、過程冗長，這就促使筆者尋覓新的簡捷方法.經(jīng)探究獲得以下引理：

引理O為矩形ABCD所在平面上任意一點，則有OA2+OC2=OB2+OD2.

上述引理的證明較為簡單，直接利用勾股定理、或建系、或借助向量都可以完成，請讀者自行推理.以下利用上述引理并借助橢圓及雙曲線的光學特性來論證上述定理1、定理2即證明蒙日圓.

2.證明定理1

證明：如圖1所示，設F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，過F1作關于PA的對稱點M，且與PA相交于G，由橢圓光學性質(zhì)可得三點M、A、F2共線，依據(jù)橢圓定義可得

圖1　

過F1作關于PB的對稱點N，且與PB相交于H.同理可得|OH|=a.由圖1及題意可知四邊形F1GPH為矩形，依據(jù)上述引理可得OG2+OH2=OF12+OP2?a2+a2=c2+OP2?OP2= a2+b2.

故動點P軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

3.證明定理2

圖2　

證明：如圖2所示，設F1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，過F1作關于PA的對稱點M，且與PA相交于G，由雙曲線光學性質(zhì)可得三點M、A、F2共線，依據(jù)雙曲線定義可得

過F1作關于PB的對稱點N，且與PB相交于H.同理可得|OH|=a.由圖2及題意可知四邊形F1GPH為矩形，依據(jù)上述引理可得

OG2+OH2=OF12+OP2?a2+a2=c2+OP2?OP2=a2-b2.

故動點P軌跡方程為x2+y2=a2-b2.

三、進一步探究蒙日圓

事實上，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)上述四個定理的逆命題也成立，由此分別得到

定理5過圓x2+y2=a2+b2上任意點P作橢圓（a＞b＞0）的兩條切線，則兩條切線垂直.

定理6過圓x2+y2=a2-b2（a＞b＞0）上任意點P作雙曲線的兩條切線，則兩條切線垂直.

定理7過圓x2+y2=2a2上任意點P作圓x2+y2=a2的兩條切線，則兩條切線垂直.

請讀者模仿上述定理1、定理2的證明方法自行推理上述定理5～8.

四、蒙日圓的精彩應用

依據(jù)上述定理1～定理8可以命制出許許多多高質(zhì)、優(yōu)雅的與蒙日圓相關的試題.請看以下案例：

案例1已知圓O：x2+y2=1，若直線y=kx+2上總存在點P，使得過點P作圓O的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值范圍是______________.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

案例3已知圓O：x2+y2=34，橢圓C：

（Ⅰ）若點P在圓O上，線段OP的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點，求點P的橫坐標.

（Ⅱ）現(xiàn)有如下真命題：

“過圓x2+y2=52+32上任意一點Q（m，n）作橢圓=1的兩條切線，則這兩條切線垂直”；

“過圓x2+y2=42+72上任意一點Q（m，n）作橢圓=1的兩條切線，則這兩條切線垂直”.

據(jù)此，寫出一般結(jié)論，并加以證明.

評注：上述案例1是我校2015屆高三模擬試題，不少學生束手無策，得分率極低.其實由定理3可得點P軌跡方程為x2+y2=2.由于點P又在直線y=kx+2上，即點P既在圓又在直線上，也就是說直線與圓恒有公共點，即直線與圓相切或相交，依據(jù)點到直線間的距離d≤r可得k≥1或k≤-1.案例2是2014年高考廣東省理科試題第20題.案例3是2013年廈門市高三質(zhì)檢第22題（壓軸題）.顯然案例2是依據(jù)蒙日圓概念即上述定理1而命制；案例3源自蒙日圓逆定理即上述定理5而得到.可以預言這樣的試題會不斷涌現(xiàn)，倘若在高三總復習中實施“集團作戰(zhàn)”，集中“火力”短、平、快地一次性徹底解決與蒙日圓相關的這一類問題，必然會收到很好的效果，這一點已經(jīng)得到越來越多的教師、專家的認可（如拙文［2］）.筆者曾經(jīng)做過一次問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果表明學生特別喜歡這種教學策略與模式，尤其是涉及解析幾何綜合問題更是受到高三學子們的青睞.

1.王淼生.從一道哈佛試題淺談因數(shù)構形策略［J］.中學數(shù)學（上），2015（7）.

2.王淼生.由一道質(zhì)檢題得到一組有趣的結(jié)論［J］.福建中學數(shù)學，2013（10）.

3.王淼生.攻克解幾試題的策略——組團、抱團［J］.中小學數(shù)學（高中版），2014（5）.

4.王淼生.透過現(xiàn)象追根溯源看清本質(zhì)［J］.中學數(shù)學（上），2015（12）.Y

*注：本文是福建省“十二五”規(guī)劃2013年度課題“優(yōu)化學生思維品質(zhì)的魅力數(shù)學課堂模式研究”（立項批準號：FJJKXB13-083）的階段性成果.