☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué)　張士亮

解析幾何最值的計(jì)算需要增加的一節(jié)專題課

☉江蘇省張家港市樂余高級(jí)中學(xué)張士亮

求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和與差的最值問題，由于定點(diǎn)處于軌跡的異側(cè)與同側(cè)，軌跡是直線與曲線、距離是和與差的不同而不同，解決策略靈活多變.筆者在教學(xué)實(shí)踐中卻發(fā)現(xiàn)，這些問題其實(shí)具有共同的性質(zhì)和解題策略，都可以采用“同側(cè)差最大，異側(cè)和最小”的統(tǒng)一思想方法輕松解決.因此，筆者認(rèn)為有必要在高三解析幾何復(fù)習(xí)中對(duì)此類問題進(jìn)行系統(tǒng)歸納和深入探究，以便讓學(xué)生能夠站得更高、看得更遠(yuǎn)，在高觀點(diǎn)下求解此類問題.筆者對(duì)此類的探究如下，僅供參考.

一、問題情境

自從學(xué)習(xí)平面幾何后，我們就知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)原理.其最典型的應(yīng)用就是求最短路徑問題.如下面的兩個(gè)問題.

問題1：位于公路a兩側(cè)的兩所學(xué)校S、T，若要在公路上設(shè)立一個(gè)公交車站B，使兩所學(xué)校到該車站的距離之和最小，試設(shè)計(jì)車站的位置，并說明理由.

探究：?jiǎn)栴}特征——定點(diǎn)S、T位于動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道的異側(cè)，可求距離之和的最小值.簡(jiǎn)單地說，就是“異側(cè)和最小”.解決這種最值的基本原理——兩點(diǎn)之間，線段最短.證明過程實(shí)質(zhì)上是借助三角形兩邊之和大于第三邊來解決.

圖1　

解：如圖1，連接ST，線段ST與直線a的交點(diǎn)是B′，在直線a上任取一點(diǎn)B，SB+TB≥ST，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B與B′重合時(shí)有SB′+TB′=ST，所以SB+TB的最小值也就是線段ST的長(zhǎng)度.

問題2：位于公路a同側(cè)的兩所學(xué)校S、T，若要在公路上設(shè)立一個(gè)公交車站B，使兩所學(xué)校到該車站的距離之差SB-TB最大，試求出車站的位置，并說明理由.

探究：?jiǎn)栴}特征——定點(diǎn)S、T位于動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道的同側(cè)，可求距離之差的最大值.簡(jiǎn)單地說，就是“同側(cè)差最大”.

解：連接ST并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B′，如圖2所示，在直線a上任取一點(diǎn)B，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”的原理可知SB-TB≤ST，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B與B′重合時(shí)有SB-TB=ST，所以SB-TB的最大值是ST的長(zhǎng)度.

圖2　

二、“定理”建構(gòu)

綜上所述，探究活動(dòng)所研究的問題其實(shí)質(zhì)是平面幾何中的兩個(gè)最簡(jiǎn)單的最值問題，包含兩個(gè)最簡(jiǎn)單的道理：

（1）當(dāng)定點(diǎn)S、T位于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的異側(cè)時(shí)，可求動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離之和的最小值，連接ST與軌道的交點(diǎn)可得點(diǎn)B，即為所求；

（2）當(dāng)定點(diǎn)S、T位于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的同側(cè)時(shí)，可求動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離之差的最大值，延長(zhǎng)線段ST或TS與軌道交點(diǎn)為B，即為所求.

正如我們?cè)趯W(xué)習(xí)基本不等式時(shí)遇到的最值定理：“積定和最小”，“和定積最大”，這里我們也可以概括出一個(gè)重要的結(jié)論：“異側(cè)和最小”，“同側(cè)差最大”.

值得注意的是，這個(gè)結(jié)論僅僅為大家提供了一種解題思想方法，一種思考轉(zhuǎn)化的方向指引，而不是直接給出了一個(gè)結(jié)論，在利用和理解定理時(shí)一定要弄清楚定理證明的原理及最值的概念，因?yàn)樗鼈兓旧隙伎梢詺w納成三角形三邊不等關(guān)系，同時(shí)作為最值，首先應(yīng)該是在某種情形下，可以取到這個(gè)值，才能稱之為最值.

三、模型應(yīng)用

在定直線上求動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和的最小值或最大值問題，這里動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不僅僅是直線，也可以是曲線.如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

1.在圓中的應(yīng)用

例1已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M、N分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為_________.

分析：由于三個(gè)點(diǎn)P、M、N均為動(dòng)點(diǎn)，但是當(dāng)點(diǎn)P靜止時(shí)，可以看出線段PM、PN的大小之間沒有直接關(guān)聯(lián).因此若求|PM|+|PN|的最小值，只需要PM與PN都達(dá)到最小，而且這是可以實(shí)現(xiàn)的.

解：假設(shè)P點(diǎn)位置如圖3，則|PM|min=PC1-1，|PN|min=PC2-3，|PM|+|PN|≥PC1+PC2+4，取C1（2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′（2，-3），當(dāng)且僅當(dāng)C1′、P、C2三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，|PM|+

圖3　

變式：已知圓C1：x2+（y-4）2=4，圓C2：（x-9）2+y2=1，M、N分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為y=x上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|-|PM|的最大值為_________.

解析：假設(shè)P點(diǎn)在直線y=x上不動(dòng)，則|PM|min=PC1-2，|PN|max=PC2+1，|PN|-|PM|≥PC2+1-PC1+2=PC2-PC1+3，取C1（0，2）關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)C1′（2，0），連接C1′C2并延長(zhǎng)交y=x于點(diǎn)O，因?yàn)镻C2-PC1′≤C2C1′=1，所以PC1′-PC2≥1.

2.在橢圓中的應(yīng)用

例2設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，4），則PA+PF1的最小值為_________.

圖4　

解析：焦點(diǎn)F（3，0），點(diǎn)A、F在橢圓的異側(cè)，PA+PF1≥AF1，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)共線時(shí)取“等號(hào)”，故所求最小值是

變式：已知點(diǎn)A（1，1），F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求|PF1|+|PA|的最小值與最大值.

解析：由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF1|=6-|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6-（|PF2|-|PA|）.

如圖5，在△PAF2中，易知||PF2|-

|PA||≤|AF2|，即當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1時(shí)，|PF2|-|PA|=|AF2|=，此時(shí)|PF1|+|PA|取得最小值，最小值為6-

圖5　

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2位置時(shí)，|PF2|-|PA|=-|AF2|=-此時(shí)|PF1|+|PA|取得最大值，最大值為6+

評(píng)注：通過利用橢圓定義將|PF1|+|PA|的最值問題轉(zhuǎn)化為|PF2|-|PA|的最值問題，從而利用三角形兩邊之差小一動(dòng)點(diǎn)，A（0，-5），B（5，0），求PA-PB的最大值.

3.在雙曲線中的應(yīng)用

例3已知P是雙曲線因此AB：y=x-5和雙曲線右支交于點(diǎn)P0，PA-PB≤AB=5，當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)P與P0重合，PA-PB的最大值為5

4.在拋物線中的應(yīng)用

例4已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)（1，0），A（4，3），則PA-PF的最大值和最小值是_________.

解析：如圖6，可判斷A、F都在拋物線的內(nèi)側(cè)，直線AF與拋物線相交于P1、P2兩點(diǎn)，當(dāng)PA≥PF時(shí)，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，得PAPF≤FA，而FA=P1A-P1F可以取到，所以PA-PF的最大值是同樣，當(dāng)PA≤PF時(shí)，有PF-PA≤FA等價(jià)于PA-PF≥-FA，而FA=P2F-P2A可以取到，所以PA-PF≥-FA=-，因此PA-PF的最小值是-

圖6　

變式：若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為（）.

解析：利用拋物線定義|MF|+ |MA|=|MD|+|MA|，A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)|MF|+|MA|取得取小值，此時(shí)點(diǎn)M位于M′時(shí)取得最小值，如圖7，易知點(diǎn)M′的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同為2，將y=2代入拋物線方程y2=2x，得點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)為2，故正確選項(xiàng)為D.

評(píng)注：本題通過利用拋物線的定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，利用等量代換，將最值問題轉(zhuǎn)化為模型問題求解.F C

圖7