☉湖北省棗陽市第二中學　龔兵

解一道2015年高考數學試題的心路歷程

☉湖北省棗陽市第二中學龔兵

2015年高考湖北卷理科第14題：如圖1，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2.

（1）圓C的標準方程為_________.

（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

圖1　

其中正確結論的序號是_________（寫出所有正確結論的序號）.

分析：初看此題第（2）問，感覺無從下手.仔細思考一下，作為客觀題可以采取特值驗證、歸納猜想等方法獲取答案.回頭再次認真思考一下，作為一道高考題，一定能按照常規(guī)解法，經過正確的推理、運算得出結果.幾經思考、運算，終于獲得該題的解答過程，現將此題解答的心路歷程展示出來，以供大家參考.

解：（1）容易得到圓C的標準方程為（x-1）2+（y-

由綜合仿真結果得，在復雜環(huán)境地圖下，路徑適應度于較少代數內部接近于當前網格密度下的最優(yōu)路徑解，經過兩次增加網格密度后路徑適應度明顯進一步上升，最終達到6.4左右，且所得最終路徑顯然符合可行路徑標準。可知改進算法有一定的可行性和有效性，且較標準遺傳算法有較高的收斂效率與較好的尋優(yōu)效果。

所以kNB+kMB=0，可知直線NB與MB關于y軸對稱，即BA是∠MBN的角平分線，根據三角形內角平分線定理可得，結論①正確.

解后反思：上述解答是在經歷煩瑣的運算及艱難的思考、猜想、驗證后得出正確答案的.顯然，同學們在考場上不可能用此法運算.因此此題必有其獨到的解法，抱著此種想法，再次審視此題，可探究得出更一般的解法.

經過運算可知，點M的軌跡恰好是圓x2+y2=1.

此時聯想人教版普通高中數學必修2第124頁的習題：已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離比為，求點M的軌跡方程.（答案為圓（x+1）2+y2=4.）由此可以看出此題的命制背景以及命題者的巧妙構思.

不妨將此題延伸得到圓的第二定義：到兩個定點A，B的距離之比是正數λ（λ≠1）的點的軌跡是圓.

以下得到該題的另外解法：

由此知圓x2+y2=1上的任意兩點M，N到的距離之比都等于，且比值λ=滿足等式，此時很容易得出結論①②③都正確.