☉江蘇無(wú)錫市濱湖區(qū)教研中心　王華民

☉江蘇無(wú)錫市宜興市教研室　儲(chǔ)六春

·江蘇省無(wú)錫市王華民名師工作室·

從對(duì)一堂“建模課”的分析，談教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化

☉江蘇無(wú)錫市濱湖區(qū)教研中心王華民

☉江蘇無(wú)錫市宜興市教研室儲(chǔ)六春

在無(wú)錫市學(xué)科帶頭人評(píng)選的賽課環(huán)節(jié)中，課題是《必修4》“1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用”，是一堂數(shù)學(xué)建模課，筆者有幸作為評(píng)委，觀摩了十多位選手精心設(shè)計(jì)的課，各顯特色，但差異較大，差異主要體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)，根子在于對(duì)教材、學(xué)生和對(duì)教學(xué)的理解上.下文呈現(xiàn)教材內(nèi)容，分析幾個(gè)代表性的設(shè)計(jì)方案，談?wù)劷虒W(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化.

一、教材內(nèi)容——1.3.4三角函數(shù)的應(yīng)用

一句話：三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.

例1點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處開始計(jì)時(shí).

（1）求物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求該物體在t=5s時(shí)的位置.（解答從略）

例2一半徑為3m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.

圖1　

（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

探究案例港口水深的變化與三角函數(shù)（潮汐現(xiàn)象）（略）.

二、設(shè)計(jì)方案

教學(xué)參考建議本課題安排兩節(jié)課，第一課時(shí)如何安排內(nèi)容，設(shè)計(jì)流程？

［方案1］

（一）溫故知新

問(wèn)題1：如圖2，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)T=Asin（ωt+φ）+ B，其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜π.試寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

解答后說(shuō)明：在現(xiàn)實(shí)世界中存在不少周而復(fù)始的現(xiàn)象，你能否再舉幾個(gè)例子？

（二）數(shù)學(xué)運(yùn)用問(wèn)題2：教材例1.問(wèn)題3：教材例2.

（三）回顧小結(jié)（略）

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)三個(gè)案例，分別為給圖求解析式、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及水輪問(wèn)題，分別對(duì)應(yīng)三角周期函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用、在物理中的應(yīng)用和在生活中的應(yīng)用.三個(gè)問(wèn)題由易到難，問(wèn)題1是從學(xué)生熟悉的給圖求解析式的情境入手，復(fù)習(xí)待定系數(shù)法求解，既有利于提高學(xué)生的自信心，也為問(wèn)題2鋪墊.問(wèn)題2是突出數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的整合.問(wèn)題3是強(qiáng)化建模思想.

［方案2］

（一）情境導(dǎo)入

潮汐、彈簧、摩天輪等圖片（分別對(duì)應(yīng)后面的實(shí)際問(wèn)題）.（二）數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.通過(guò)問(wèn)題串復(fù)習(xí)回顧

問(wèn)題1：?jiǎn)挝粓A中正弦線、余弦線，角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)_________；

問(wèn)題2：如圖3，在半徑為r的圓中，角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________；

圖4　

圖2　

圖3　

問(wèn)題3：如圖4，若以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角到OP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________；

問(wèn)題4：如圖5，若以O(shè)B為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角到OP，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________；

圖5　

圖6　

問(wèn)題5：如圖6，水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，t秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是_________.

2.解決教材的例2（略）

變式：若水面由于降雨上升了2米，那么：

（1）點(diǎn)P距離水面的高度z（m）怎樣表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)？

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？（略）

3.解決教材的例1（略）

（三）回顧小結(jié)（略）

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于普通班的學(xué)生，理解數(shù)學(xué)是首要任務(wù)，沒(méi)有理解，談何教學(xué).為突破例2這一難點(diǎn)，設(shè)置幾個(gè)鋪墊的問(wèn)題，讓學(xué)生拾階而上.變式的目的是為了較好地檢測(cè)學(xué)生掌握的程度.課堂反饋：學(xué)生較順利地解決了例題及變式.

［方案3］

（一）情境引入

列舉生活中的周期性；展示鬧鐘，引導(dǎo)學(xué)生觀察：秒針一秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度.

（二）數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.教材例2

教師提問(wèn)：如何刻畫點(diǎn)P的位置？

學(xué)生略作思考，感到有困難，教師提出：我們從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始探索，尋求方法.出示：

基本問(wèn)題：如圖7，一個(gè)半徑為3m的水輪，水輪圓心O恰在水面上，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中P0）開始計(jì)時(shí).

（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

變式1：點(diǎn)P在D（C、B）點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，函數(shù)的解析式又如何？

變式2：如圖8，若水面由于干旱下降了2m，點(diǎn)P距離水面的高度z（m）怎樣表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)？

基本問(wèn)題與變式題合起來(lái)，解決了例2.

圖7　

圖8　

變式3：如圖9，若水面由于降雨上升了2m，那么：

（1）點(diǎn)P距離水面的高度z（m）怎樣表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)？

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

（變式3作為學(xué)生練習(xí)）

過(guò)渡語(yǔ)：這道例題是周期函數(shù)在生活中的運(yùn)用，改變觀察角度，下面看周期函數(shù)在物理中的運(yùn)用——簡(jiǎn)諧振動(dòng)，出示例題.

圖9　

2.教材例1（略）

（三）回顧小結(jié)（略）

設(shè)計(jì)意圖：從目標(biāo)出發(fā)，先呈現(xiàn)未知問(wèn)題，當(dāng)學(xué)生感到有困難時(shí)，轉(zhuǎn)向從特殊、簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始，積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，再來(lái)解決未知問(wèn)題.讓學(xué)生經(jīng)歷解決疑難問(wèn)題由“未知→已知→未知”的探索過(guò)程.

［方案4］

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

情境：投影圖片：明代科學(xué)家宋應(yīng)星《天工開物》中的水車和三峽水電站的大型機(jī)組的圖片，如圖10.《天工開物》共三卷十八篇，全書收錄了農(nóng)業(yè)、手工業(yè)，諸如機(jī)械、磚瓦、陶瓷、紙、兵器、火藥、紡織、采煤等生產(chǎn)技術(shù)，乃國(guó)學(xué)經(jīng)典.

圖10　

圖11　

問(wèn)題：從上述兩幅圖片看，水輪在生活中起了重要作用，水輪的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是什么？用什么函數(shù)描述這種運(yùn)動(dòng)？

（二）數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.教材例2（把半徑改為4m）

請(qǐng)學(xué)生讀題、思考1分鐘，教師通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)的對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生探究.

教師：同學(xué)們，我們先來(lái)明確一下，本題的目標(biāo)是什么？

學(xué)生：如圖11，目標(biāo)z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù).

教師：目標(biāo)能否轉(zhuǎn)化？學(xué)生：可以，z（m）=yP+2.教師：新的目標(biāo)yP就是什么？（再明確）

學(xué)生：圓上動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo).

教師：求圓上動(dòng)點(diǎn)P的問(wèn)題有沒(méi)有類似的解決辦法？

學(xué)生：?jiǎn)挝粓A上學(xué)過(guò)，可表示為（cosα，sinα）.

教師：這里的α是多少？能否求出來(lái)？

教師：怎么求yP？

學(xué)生：利用三角函數(shù)定義，得yP=4sin

教師：是否需要建立直角坐標(biāo)系？

學(xué)生恍然大悟.

教師：現(xiàn)在的起點(diǎn)不在A，怎么辦？

2.用擬合法處理物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)問(wèn)題

（1）播放簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)畫，如圖12.

圖12　

（2）問(wèn)題：點(diǎn)O是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的平衡位置，取向右方向?yàn)槲矬w位移的正方向，下表是物體對(duì)平衡位置位移x（cm）和時(shí)間t（s）的關(guān)系表：

t（s）00.511.522.53 x（cm）1.531.5-1.5-3-1.51.5

試求出物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中數(shù)據(jù)，讓學(xué)生聯(lián)想，可以通過(guò)描點(diǎn)、畫散點(diǎn)圖、擬合，選擇正弦型函數(shù)x=Asin（ωt+ φ），再用待定系數(shù)法求解.

3.教材的例1，作為學(xué)生的練習(xí)

（三）回顧小結(jié)（略）

設(shè)計(jì)意圖：從生活中的問(wèn)題出發(fā)，古代文明與現(xiàn)代工程都涉及水輪，如何用合適的數(shù)學(xué)模型刻畫水輪上點(diǎn)P在水輪上的運(yùn)動(dòng)位置？自然引起學(xué)生的興趣與關(guān)注；通過(guò)播放動(dòng)畫再呈現(xiàn)問(wèn)題，旨在讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.之后對(duì)例2的探索突出了目標(biāo)意識(shí)在解題中的運(yùn)用.例1雖容易理解，但教材直接給出了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生心存疑惑，則設(shè)置一道簡(jiǎn)單探索題復(fù)習(xí)擬合法建模，把例1作為練習(xí).

［方案5］

（一）問(wèn)題引入

教師演示彈簧實(shí)驗(yàn)，學(xué)生觀察物理現(xiàn)象中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引入新課.

（二）數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.教材例1

2.教材例2（半徑改為4m）

解答后出示一道思考題：試問(wèn)是否存在一個(gè)2.5s的時(shí)間段，點(diǎn)P在這個(gè)時(shí)間段的高度變化超過(guò)32m？為什么？

3.（教材中探究性案例，數(shù)據(jù)有改編）對(duì)結(jié)論用“幾何畫板”演示

（三）目標(biāo)檢測(cè)：彈簧振子的鞏固練習(xí)（略）

（四）回顧小結(jié)（略）

設(shè)計(jì)意圖：由于教材中的探究性案例是一個(gè)反映潮汐現(xiàn)象，體現(xiàn)三角周期性變換和數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典問(wèn)題，一般用擬合法建模.由于運(yùn)用了多媒體輔助教學(xué)，可以提高課堂容量、加大思維訓(xùn)練量，把“教參”建議的兩課時(shí)并入一課時(shí)，把該案例放入其中，同時(shí)增加一道鞏固練習(xí).

三、在“三個(gè)理解”精神下談教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化

1.對(duì)教材、學(xué)情及教學(xué)的分析

章建躍先生提出的三個(gè)理解，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三大基石，也是優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù).

（1）理解數(shù)學(xué)是課堂教學(xué)“預(yù)設(shè)”的前提，也是課堂教學(xué)“生成”的關(guān)鍵，教師只有清晰地知道所教內(nèi)容“是什么”，深知數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法和價(jià)值，才有可能制定合理的教學(xué)目標(biāo)，并準(zhǔn)確實(shí)施.本課題是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4的第一章最后一節(jié)，其目的是讓學(xué)生感受三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系；掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).教材共設(shè)置了兩個(gè)例題，一個(gè)探究性案例.例1是三角函數(shù)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用，教材中的解答：設(shè)x和t之間的函數(shù)關(guān)系為x=3sin（ωt+φ），然后用待定系數(shù)法求解.例1反映了只要是“周而復(fù)始”的運(yùn)動(dòng)，都可考慮用x=Asin（ωt+φ）+B的模型去解決.但簡(jiǎn)諧振動(dòng)為何是這個(gè)關(guān)系？學(xué)生心存疑惑，故有必要暴露知識(shí)的形成過(guò)程.例2的水車問(wèn)題是三角函數(shù)在圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，它既要求能把水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈轉(zhuǎn)化為角，知道半徑為r的圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示，還要對(duì)角的始邊OP0與x軸的正半軸差一個(gè)角φ進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是教學(xué)的難點(diǎn).本課的關(guān)鍵是如何突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)是領(lǐng)悟在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的基本方法.

（2）理解學(xué)生就是要解決“教給誰(shuí)”的問(wèn)題，因?yàn)閷W(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師只有弄清學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、興趣和思維特點(diǎn)等，才能做到有的放矢，既激發(fā)學(xué)生積極情態(tài)，又提質(zhì)增效.學(xué)生是四星級(jí)高中的高一學(xué)生，他們基礎(chǔ)好，思維敏捷.在必修1函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)擬合法建模，但有所遺忘.

（3）理解數(shù)學(xué)教學(xué)就是要解決“怎樣教”的問(wèn)題，要遵循數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律，采用科學(xué)、合理的教學(xué)方式.新課標(biāo)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，但需統(tǒng)籌兼顧，其一，訓(xùn)練思維必須要符合學(xué)生的特點(diǎn)，在認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行；其二，課堂是限時(shí)的，每節(jié)課都有一定的教學(xué)任務(wù)，需要關(guān)注教學(xué)的有效性.因此，必須把握好思維訓(xùn)練和鋪墊的度.其實(shí)數(shù)學(xué)解題的過(guò)程也是一個(gè)思維不斷深入的過(guò)程，隨著知識(shí)面不斷拓寬，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也在不斷經(jīng)歷著由淺入深、由單維到多維的變化，所以提高學(xué)生的解題能力（如本課對(duì)難點(diǎn)例題的突破），也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)很好的著力點(diǎn).又如，外因要通過(guò)內(nèi)因起作用，提倡“做中學(xué)”，學(xué)之道在于“悟”，需要留給學(xué)生一定的思考和感悟的時(shí)間等.對(duì)于這堂習(xí)題課，重點(diǎn)是要控制好題量，合理安排探究活動(dòng).

2.對(duì)五個(gè)教學(xué)方案的對(duì)比分析

上述五個(gè)方案都能精心創(chuàng)設(shè)好的問(wèn)題情境，既提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也與本課例題有關(guān)聯(lián).其中方案4最精彩，創(chuàng)設(shè)兩幅圖片的情境，《天工開物》乃國(guó)學(xué)經(jīng)典，三峽水電站堪稱世界之最，無(wú)論是古代文明還是現(xiàn)代宏偉工程都涉及水輪，提出的問(wèn)題有助于學(xué)生解決例2這一難點(diǎn)，這是理解學(xué)生的體現(xiàn).五個(gè)方案在解題時(shí)都有一個(gè)“審題”環(huán)節(jié)，教學(xué)生從習(xí)題中提取有效信息，在解題后都有小結(jié)反思，這是理解教學(xué)的體現(xiàn).

五個(gè)方案的差異主要體現(xiàn)在以下兩方面.其一，選擇習(xí)題及題目的數(shù)量上，五個(gè)方案都選擇了教材的例1、例2，方案一增加了一道數(shù)學(xué)解析式作為鋪墊；方案二、三增加了對(duì)例1、例2的變式；方案四在例1前增加了一道簡(jiǎn)單探索題；方案五增加了一道探究性案例和一道鞏固性練習(xí).另外，方案二、三、四調(diào)整了教材中例題的順序，意在把水輪問(wèn)題作為研究的重點(diǎn)，方案三還用“改變觀察角度”作為過(guò)渡語(yǔ)，更顯自然.選題的多少、呈現(xiàn)順序的不同，說(shuō)明教師在三個(gè)理解上存在一定的差異.

其二，對(duì)于難點(diǎn)的處理上，五個(gè)方案的思維量有較大的差異，說(shuō)明教師自身對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的認(rèn)識(shí)和水平上存在一定的差異.方案一呈現(xiàn)的三道問(wèn)題，分別對(duì)應(yīng)三角函數(shù)周期性在數(shù)學(xué)、物理和生活三個(gè)方面的應(yīng)用，比較全面，但因多了一道求解析式問(wèn)題，對(duì)解決例2這一難點(diǎn)顯得匆忙，不利于學(xué)生有效突破；問(wèn)題1復(fù)習(xí)待定系數(shù)法是為例1鋪墊，其實(shí)待定系數(shù)法早在初中就學(xué)過(guò)、用過(guò)，這些學(xué)生解決例1沒(méi)有任何障礙，不需要鋪墊.可見，教者在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生上欠考慮.方案二中因設(shè)置鋪墊問(wèn)題較多，有益于學(xué)生理解內(nèi)容，但留給學(xué)生思考的空間較小，思維訓(xùn)練量不足，長(zhǎng)此以往學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思維上的惰性，在面臨新問(wèn)題時(shí)將束手無(wú)策，該方案適用于層次較低的班級(jí).方案三比方案二多了一個(gè)過(guò)程：先呈現(xiàn)未知問(wèn)題，有困難，從特殊或簡(jiǎn)單的問(wèn)題開始，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，再來(lái)解決未知問(wèn)題.其中從特殊到一般的方法，是解決新穎、疑難問(wèn)題的基本思路和方法，這種讓學(xué)生經(jīng)歷探索過(guò)程，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考的做法，很值得稱道.該方案進(jìn)行了幾個(gè)變式訓(xùn)練，變式3作為學(xué)生的鞏固練習(xí)，有益于提升有效性.這個(gè)方案適宜于中等層次班級(jí)的學(xué)生.方案四通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)獲得解答，是目標(biāo)意識(shí)在解題中的運(yùn)用.當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)未知問(wèn)題時(shí)，意識(shí)首先做出反映，“目標(biāo)是什么”，“如何達(dá)到目標(biāo)”，目標(biāo)意識(shí)促使我們開始就接觸到問(wèn)題的核心.本題在明確目標(biāo)后，進(jìn)行目標(biāo)轉(zhuǎn)化或分解，面對(duì)新的目標(biāo)，又在回憶過(guò)去是否遇見類似或相近的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了單位圓中的坐標(biāo)表示，可以用三角函數(shù)定義解決.當(dāng)目標(biāo)的起點(diǎn)在P0時(shí)，則尋求兩者的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這樣總是圍繞目標(biāo)在思考、探索，促使已有知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，進(jìn)行聯(lián)想、類比與轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到目標(biāo).另外，教師設(shè)置一道簡(jiǎn)單探索題，把例1作為練習(xí)，給學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì).可見，學(xué)生得到較多的思維訓(xùn)練，該方案對(duì)學(xué)生的思維要求較高，適宜于層次中等或較高的班級(jí)學(xué)生.方案五的習(xí)題量和思維訓(xùn)練量都很大，一批優(yōu)秀學(xué)生受益匪淺.教師有較強(qiáng)的課堂掌控水平，呈現(xiàn)的問(wèn)題在課堂上都解決了，但大多是教師帶著學(xué)生完成的，學(xué)生獨(dú)立思考、操作的時(shí)間顯得不足，有違“做中學(xué)”、“悟中學(xué)”的學(xué)習(xí)規(guī)律，一些中等及中等以下的學(xué)生難免吃“夾生飯”，影響教學(xué)的有效性.

3.對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化

根據(jù)“三個(gè)理解”精神，筆者覺得需要對(duì)上述教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化.實(shí)踐表明：教學(xué)需要一點(diǎn)鋪墊，鋪墊有益于學(xué)生理解，但不利于培養(yǎng)學(xué)生思維.因此，要求教師基于學(xué)情，把握好鋪墊的度.上述五種方案，方案一探索過(guò)程未能充分展開，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)略顯不足，建議刪除問(wèn)題1，增加對(duì)問(wèn)題2的描點(diǎn)、探索的過(guò)程，對(duì)問(wèn)題3要多留一點(diǎn)探索的時(shí)間和空間.方案二有益于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，但不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，可借鑒方案三、四做一些微調(diào)；方案五教學(xué)容量和思維容量都偏大，建議刪除例3和目標(biāo)檢測(cè)題，例1可以像方案四那樣設(shè)置一個(gè)擬合法建模的過(guò)程，例2中增加探索、思考的時(shí)間.方案三可以借鑒方案四中例1的處理.方案四最為精彩，經(jīng)常進(jìn)行目標(biāo)意識(shí)的訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維、提升課堂的有效性都很有意義.

解學(xué)生之疑難是教師的一個(gè)重要職責(zé)，對(duì)于本課，突破建模之難點(diǎn)，就可以使學(xué)生輕裝前行，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.優(yōu)化設(shè)計(jì)需要權(quán)衡多個(gè)元素，把握好度，但重點(diǎn)是進(jìn)行有效的思維訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)；優(yōu)化設(shè)計(jì)也是一個(gè)不斷完善的過(guò)程，雖然教師和學(xué)生都在變化，但變化中存在不變性（規(guī)律），就是“三個(gè)理解”.F