☉浙江省嘉興市第一中學(xué)　沈新權(quán)

☉浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué)　施小斌

MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)——以空間角的求法設(shè)計(jì)為例

☉浙江省嘉興市第一中學(xué)沈新權(quán)

☉浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué)施小斌

一、引言

《現(xiàn)代漢語(yǔ)大辭典》對(duì)“復(fù)習(xí)”一詞的解釋是：把學(xué)過(guò)的東西再行溫習(xí)，使之鞏固.因此，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再學(xué)習(xí)，是把數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固內(nèi)化，并逐步提高問(wèn)題解決能力必不可少的一個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)；從教師教學(xué)的角度來(lái)看，通過(guò)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握，提高他們數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和探究能力的一個(gè)非常重要的過(guò)程.高中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)中我們上了不少的復(fù)習(xí)課，一個(gè)教學(xué)單元結(jié)束，我們要復(fù)習(xí)一下；為了準(zhǔn)備期中考試、期末考試（有時(shí)候甚至是月考），我們也要上幾堂復(fù)習(xí)課；再有，似乎是約定俗成，高三的數(shù)學(xué)教學(xué)就是復(fù)習(xí)課教學(xué)，一輪、二輪甚至三輪、四輪，復(fù)習(xí)與練習(xí)幾乎成了學(xué)生高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部，學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的循環(huán)教學(xué)中結(jié)束了高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).于是很大程度上，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的效率如何，決定著高中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量（尤其是高考的成績(jī)）.但在實(shí)際教學(xué)中，我們很多教師并沒(méi)有給予復(fù)習(xí)課以必要的重視，一方面很多教師在平時(shí)的復(fù)習(xí)課教學(xué)中習(xí)慣以復(fù)習(xí)卷講評(píng)代替復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，復(fù)習(xí)卷講完，復(fù)習(xí)課也隨之結(jié)束，教師缺乏對(duì)復(fù)習(xí)主題的內(nèi)涵與外延的研究；另一方面，很多高三教師上復(fù)習(xí)課時(shí)往往是以一輪或者二輪的復(fù)習(xí)教輔資料代替復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，依據(jù)的是教輔資料對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的編排，至于復(fù)習(xí)的內(nèi)容在課程標(biāo)準(zhǔn)里是如何要求的，在考試說(shuō)明里是怎樣解讀的，在歷年的高考試題里面又是什么樣的形式出現(xiàn)的，我們的教師也缺乏足夠的研究.從復(fù)習(xí)課的教學(xué)方式來(lái)看，不少教師認(rèn)為，上復(fù)習(xí)課無(wú)非就是“三步曲”：羅列基礎(chǔ)知識(shí)，講解“典型”例題，布置課后作業(yè).殊不知，通過(guò)這樣的“三步曲”，學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)照樣漏洞百出，學(xué)生的解題能力也依舊在原地徘徊.因此，他們的復(fù)習(xí)課存在著教學(xué)效果差、效率低的問(wèn)題.［1］

要改善復(fù)習(xí)課的教學(xué)現(xiàn)狀，我們覺(jué)得首要的著眼點(diǎn)應(yīng)該要重視數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì).“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)的質(zhì)量取決于教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）及教育技術(shù)知識(shí)（TK）.

二、MPCK理論及其背景下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)

1986年美國(guó)斯坦福大學(xué)教授、著名教育家舒爾曼（LeeS．Shulman）提出的教師的專(zhuān)業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)理論的核心要素是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge），簡(jiǎn)稱(chēng)PCK．［2］香港中文大學(xué)黃毅英教授在此基礎(chǔ)上則把數(shù)學(xué)教師從事專(zhuān)業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識(shí)稱(chēng)為MPCK（MathematicsPedagogicalContent Knowledge）．MPCK是由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）及教育技術(shù)知識(shí)（TK）融合而成的．［3］MPCK的本質(zhì)是教師如何根據(jù)學(xué)習(xí)者的不同興趣、能力來(lái)組織、表達(dá)和調(diào)整具體的課題、問(wèn)題或論點(diǎn)，以促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握的知識(shí)．［4］

說(shuō)得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，MPCK是數(shù)學(xué)內(nèi)容和教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)習(xí)論的有關(guān)原理融合而成的與教學(xué)相關(guān)的綜合性知識(shí)，是關(guān)于某一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容該如何進(jìn)行表達(dá)、呈現(xiàn)和解釋?zhuān)瑥亩D(zhuǎn)化成使學(xué)生更容易接受和理解的知識(shí).其核心就是如何將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)、學(xué)生的學(xué)習(xí)形態(tài)，以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).［5］MPCK理論是教師進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)和復(fù)習(xí)課課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，教師對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容的理解和把握程度，運(yùn)用教學(xué)方法的適切程度及復(fù)習(xí)課教學(xué)的效果如何在很大程度上取決于教師的MPCK．

基于MPCK視角的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該思考：所復(fù)習(xí)的內(nèi)容在課程標(biāo)準(zhǔn)里的要求是怎么樣的？通過(guò)這些內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生哪方面的思維能力？可以讓學(xué)生領(lǐng)悟什么樣的數(shù)學(xué)思想和方法？所復(fù)習(xí)的內(nèi)容在高考中的要求是如何的？在歷年的高考試卷中，命題人又是從哪個(gè)角度、什么形式來(lái)考查學(xué)生的？同時(shí)，教師還要思考，學(xué)生在復(fù)習(xí)該內(nèi)容前對(duì)這些內(nèi)容的掌握程度如何，以及可能存在的困惑是什么？如何在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上通過(guò)復(fù)習(xí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑？教師在進(jìn)行復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)前首先要對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行研究和思考，這樣教師才能夠既整體把握課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱對(duì)所復(fù)習(xí)內(nèi)容的要求，又能夠了解學(xué)生對(duì)所復(fù)習(xí)內(nèi)容的掌握程度.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，如何進(jìn)行課堂引入，怎樣復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念和公式，應(yīng)該選取什么樣的教學(xué)素材（例題），以及課堂教學(xué)中采用什么樣的教學(xué)方式等才能夠有的放矢，因材施教.所有這一些，則是教師MPCK的集中體現(xiàn)，若教師的MPCK知識(shí)中的某一方面有所不足，就會(huì)影響到其所作的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)的合理性和科學(xué)性，很多時(shí)候會(huì)影響到復(fù)習(xí)課的教學(xué)效果.

下面我們以一堂高三復(fù)習(xí)研討課“空間角的求法”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來(lái)闡述MPCK背景下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì).

三、運(yùn)用MPCK理論進(jìn)行空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)

知己知彼，才能科學(xué)應(yīng)對(duì).MPCK背景下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)所復(fù)習(xí)內(nèi)容在學(xué)科教學(xué)中的地位和所承載的作用，應(yīng)深刻把握所復(fù)習(xí)內(nèi)容在高考中的要求和呈現(xiàn)方式，還應(yīng)充分了解學(xué)生對(duì)所復(fù)習(xí)內(nèi)容的掌握程度．基于MPCK視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，不是對(duì)舊知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，通過(guò)復(fù)習(xí)使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，并啟發(fā)他們體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、探究能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（一）認(rèn)識(shí)空間角的地位與作用

1.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

立體幾何的內(nèi)容在人教A版的必修2和選修2-1的教材中，與之相關(guān)的內(nèi)容在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）里的描述是這樣的：“立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想像能力.培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力，以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.在教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問(wèn)題.”［6］

2.山東省考試說(shuō)明的要求

《2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試山東卷考試說(shuō)明》（數(shù)學(xué)，理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）對(duì)空間角的要求的描述：“理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念.理解直線的方向向量與平面的法向量.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.”而且，考試說(shuō)明里面同時(shí)有這樣一句話：“高考命題不拘泥于某一版本的教材，鼓勵(lì)考生多角度、創(chuàng)造性地思考和解決問(wèn)題.”［7］

3.山東省最近五年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題統(tǒng)計(jì)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）

年份2011年2012年2013年2014年2015年考試內(nèi)容三視圖+線面垂直+二面角體積+線面垂直+二面角直線與平面所成的角+線線平行+二面角體積+線面平行+二面角體積+線面平行+二面角

從表格中，我們可以看到，最近五年山東省的高考理科數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何內(nèi)容一般是一個(gè)小題（選擇或填空），一個(gè)解答題，空間中的三類(lèi)角在這五年的高考中都有所涉及，尤其是二面角的大小的求法成為每年高考的必考內(nèi)容.

（二）運(yùn)用MPCK理論進(jìn)行空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)的幾個(gè)基本環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)一：異面直線所成角

請(qǐng)同學(xué)回憶異面直線所成角的定義，以及異面直線所成角的范圍和求法.

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是正方體面對(duì)角線AD1和A1C1的中點(diǎn)，求異面直線EF和CD所成的角.

方法一：把EF平移到DC1，求出異面直線EF和CD所成的角.

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法求出異面直線EF和CD所成的角.

設(shè)計(jì)意圖：異面直線所成的角雖然是空間三種角中最簡(jiǎn)單的一種，但它卻是空間三種角的基礎(chǔ)，求解直線與平面所成的角及二面角的問(wèn)題，到最后都是轉(zhuǎn)化為兩直線所成的角.因此，異面直線所成角的求法具有承上啟下的作用，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)體現(xiàn)其特殊的地位.讓學(xué)生回憶異面直線所成角的概念，是為了讓學(xué)生重溫求解異面直線所成角中的“平移法”，為用方法一求異面直線EF和CD所成的角做好鋪墊.通過(guò)方法二，引導(dǎo)學(xué)生善于利用空間向量的數(shù)量積來(lái)求空間兩條直線所成角的大小.

環(huán)節(jié)二：直線與平面所成角

請(qǐng)同學(xué)回憶直線與平面所成角的定義及范圍和求法.

例2（人教A版，必修2第66頁(yè)例2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線A1B與平面A1B1CD所成的角.

方法一：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以作出直線A1B與平面A1B1CD所成的角并求出其大小.

設(shè)計(jì)意圖：回憶定義是為了突出當(dāng)直線與平面相斜交時(shí)，直線與平面所成角是斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，因此，如果要作出直線與平面所成的角，其重點(diǎn)在于“垂”，作平面的垂線，找出斜線的射影.這也是方法一（教材上的解法）的來(lái)由，體現(xiàn)了處理立體幾何求角問(wèn)題時(shí)的“一作二證三求解”的典型思想；方法二是利用空間向量求直線與平面所成角的通法，方法二也是對(duì)方法一的一個(gè)拓展.采用教材上的例題作為復(fù)習(xí)課中的例題也是為了表明我們的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不應(yīng)該脫離教材，復(fù)習(xí)的起點(diǎn)應(yīng)該高于教材（尤其是問(wèn)題解決方法，立意可以更高），但也應(yīng)該植根于教材.

環(huán)節(jié)三：二面角

二面角的定義及范圍：與同學(xué)一起回憶并利用圖形展示（PPT動(dòng)畫(huà)）二面角平面角的作法：（1）定義法；（2）垂線法.

利用向量求二面角大小的方法：（1）考慮與二面角的棱都垂直的兩向量的夾角；（2）考慮二面角兩個(gè)半平面的法向量的夾角.

例3在四面體P-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=a，求二面角A-BP-C的平面角的余弦值.

方法一：從二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)C作另一個(gè)面的垂線CD，過(guò)點(diǎn)D作PB的垂線DE，連接EC，則∠DEC就是二面角的平面角，然后計(jì)算其大小.

方法二：若直接過(guò)點(diǎn)A，C分別作棱PB的垂線，當(dāng)垂足重合時(shí)，利用定義可以求解；當(dāng)垂足為不同點(diǎn)時(shí)，此時(shí)二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角.

方法三：建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PAB的法向量及平面PBC的法向量，求出這兩個(gè)法向量的夾角即可.

方法四：利用原圖形和射影的面積關(guān)系計(jì)算二面角的大小.

設(shè)計(jì)意圖：二面角大小的求法不僅是立體幾何中的重要內(nèi)容，也是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容.例3的求解中，方法一通過(guò)作平面角然后求出其大小，可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)線面間的位置關(guān)系并培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力；方法二和方法三則是利用空間向量求二面角的大小，可以體現(xiàn)借助代數(shù)方法求解立體幾何問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力；而當(dāng)二面角的平面角不易作出（找不到）時(shí)，可采用想而不作的辦法，因此方法四有時(shí)候成為求解二面角大小的“應(yīng)急方法”.

環(huán)節(jié)四：課堂練習(xí)

練習(xí)：在正三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=2AB，D、E分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且EC=BC=2BD，過(guò)A，D，E三點(diǎn)作一截面，求截面與底面所成的角.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例3的探究，學(xué)生對(duì)二面角的求解方法與以前相比應(yīng)該有了全新的認(rèn)識(shí).此時(shí)，教師趁熱打鐵，出示新的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考此問(wèn)題的解決方法.（課堂上不需要詳細(xì)求解）

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)

本節(jié)課我們一起復(fù)習(xí)了空間角的求法，請(qǐng)大家再次總結(jié)一下異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的求解方法.

設(shè)計(jì)意圖：適時(shí)總結(jié)，及時(shí)鞏固，把空間角的求法納入到學(xué)生已有的知識(shí)體系中，使這些方法成為學(xué)生求解空間角時(shí)的思維習(xí)慣.

環(huán)節(jié)六：作業(yè)布置

（1）三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC= 2，點(diǎn)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值.

（2）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，AM⊥PD于點(diǎn)M.求直線AB與平面ACM所成角的余弦值.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)課的教學(xué)還應(yīng)該重視課外作業(yè)的布置.一是要注意選擇對(duì)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容有鞏固作用，對(duì)學(xué)生的解決問(wèn)題的能力有提高作用的問(wèn)題；二是要注意所選習(xí)題的數(shù)量，選擇作為練習(xí)的問(wèn)題要典型，不能無(wú)端加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

（三）運(yùn)用MPCK理論分析空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)

從MK的角度分析，教師對(duì)所復(fù)習(xí)內(nèi)容的掌握和理解在復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中起著舉足輕重的作用.教師既要能夠?qū)λ鶑?fù)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容從數(shù)學(xué)學(xué)科整體的角度進(jìn)行理解，又要能夠站在學(xué)生的角度去分析所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，還要能夠從高考的角度把握所復(fù)習(xí)內(nèi)容的難易程度，也就是說(shuō)教師應(yīng)具備深厚、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，熟練掌握復(fù)習(xí)內(nèi)容所涉及的數(shù)學(xué)的方法和思想，并選擇一些既能夠鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，又能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生探究能力的例題和練習(xí)，這是做好復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)的必要條件.在空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，站在MK的角度，教師首先應(yīng)該要考慮這樣的問(wèn)題：空間角有哪幾類(lèi)？它們的定義如何？它們反映了空間幾何體的什么特征？課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)空間角的要求是什么？高考又是怎么考查空間角的？異面直線所成的角、直線與平面所成的角，以及二面角的求解方法是怎么樣的？利用立體幾何綜合法應(yīng)該怎么來(lái)求？借助空間向量又需要注意些什么？通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的思考，在前面的三個(gè)環(huán)節(jié)中我們既設(shè)計(jì)了針對(duì)空間三種角的概念的復(fù)習(xí)，以及利用具體問(wèn)題進(jìn)行求解的各種方法的展示，一方面幫助學(xué)生理清概念，鞏固方法，另一方面則意圖鼓勵(lì)學(xué)生在復(fù)習(xí)中要注意多角度思考問(wèn)題，尤其是立體幾何中角度問(wèn)題的求解，既要引導(dǎo)學(xué)生能夠用幾何的綜合法通過(guò)“一作二證三求解”來(lái)求解，還要善于利用空間向量的方法進(jìn)行計(jì)算來(lái)求解，兩種視角，多條解決問(wèn)題的途徑，不可偏廢.通過(guò)這些問(wèn)題的設(shè)計(jì)，學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)與運(yùn)算求解能力的提高兩不誤，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)考慮到了所選問(wèn)題的針對(duì)性和實(shí)效性.

從PK的角度分析，在空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，把空間角的求解路徑和思維方法，以問(wèn)題解決的方式讓學(xué)生去思考、體會(huì)和領(lǐng)悟.比如，對(duì)于環(huán)節(jié)一中例1的方法一（平移法）的核心在于“移”，通過(guò)在空間內(nèi)選定一點(diǎn)平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線所成的角，然后通過(guò)解三角形求出兩條異面直線所成的角（銳角或直角）.方法二的向量法（坐標(biāo)法）則是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角.對(duì)于二面角的求解，設(shè)計(jì)中既考慮了作出二面角的平面角的求法，也設(shè)計(jì)了不作平面角的向量法（建系和不建系）和射影法，求解方法的面面俱到符合學(xué)生的學(xué)情也開(kāi)闊了學(xué)生的思維.但同時(shí)我們也應(yīng)該要注意在復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，問(wèn)題解決及方法的總結(jié)盡量避免教師的“一言堂”，教師在呈現(xiàn)問(wèn)題以后，通過(guò)學(xué)生的思考，再加以教師必要的啟發(fā)，盡量使得解決問(wèn)題的方法從學(xué)生的頭腦中自然而然地“流淌”出來(lái)，學(xué)生通過(guò)自主探究獲得問(wèn)題解決的方法，有利于學(xué)生享受成功解決問(wèn)題的樂(lè)趣.因此，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師一定要充分了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，在學(xué)生思維特點(diǎn)的基礎(chǔ)上選擇與學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)最接近的數(shù)學(xué)問(wèn)題.另外，這個(gè)案例中，學(xué)生在經(jīng)歷了環(huán)節(jié)三的學(xué)習(xí)后，我們有必要讓學(xué)生消化一下二面角求法中的幾種常規(guī)方法，所以環(huán)節(jié)四中的課堂練習(xí)是不可或缺的，這是一道比較難的問(wèn)題，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，可以采用不同的解題方法去解決，通過(guò)補(bǔ)棱作出截面與底面的平面角，也可以建立空間直角坐標(biāo)系借助截面與底面的法向量來(lái)求解，還可以利用射影法去解決.由于課堂教學(xué)的時(shí)間限制，我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)，只要求學(xué)生探究解決這個(gè)練習(xí)的方法，不需要把結(jié)果求出來(lái).事實(shí)證明，這樣的設(shè)計(jì)是符合當(dāng)時(shí)的課堂教學(xué)的實(shí)際.類(lèi)似對(duì)環(huán)節(jié)四這樣的問(wèn)題的解決，既有對(duì)課堂中所復(fù)習(xí)的求解二面角的方法的鞏固，也有對(duì)課堂中所復(fù)習(xí)的求解二面角的方法的延伸（對(duì)無(wú)棱二面角進(jìn)行補(bǔ)棱），這樣的設(shè)計(jì)檢驗(yàn)了環(huán)節(jié)三的教學(xué)效果，同時(shí)也是對(duì)環(huán)節(jié)三問(wèn)題解決方法的一個(gè)補(bǔ)充，拓寬了學(xué)生的解題思路.

復(fù)習(xí)是一種另外形式的學(xué)習(xí)，因此，從CK的角度分析，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要盡可能多地深入學(xué)生、了解學(xué)生，除前面提到的要了解學(xué)生對(duì)所復(fù)習(xí)的知識(shí)基礎(chǔ)的掌握情況以外，還要關(guān)注學(xué)生的心理特征和學(xué)習(xí)差異，預(yù)測(cè)學(xué)生在復(fù)習(xí)和問(wèn)題解決時(shí)可能遇到的知識(shí)和思維障礙并以適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景、講解與示范啟發(fā)相結(jié)合的恰當(dāng)?shù)纳鷦?dòng)活潑的教學(xué)方式來(lái)實(shí)施教學(xué).因此，空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)立足于問(wèn)題解決的方法探尋，我們根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)并借助三個(gè)不同類(lèi)型的例題，在前面三個(gè)環(huán)節(jié)中，通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生的自主探索，從不同角度提煉出了空間角的求法的幾種基本解法，實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的復(fù)習(xí)目的.但教學(xué)設(shè)計(jì)并沒(méi)有就此止步.在環(huán)節(jié)五中，我們還設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，練習(xí)1的設(shè)計(jì)既考慮到了利用平移法和向量法（不建坐標(biāo)系）求兩異面直線所成的角，還結(jié)合問(wèn)題的特點(diǎn)（四面體的對(duì)棱相等）考慮把四面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體再建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解，如果繼續(xù)拓展下去的話我們還可以引導(dǎo)學(xué)生利用練習(xí)1的求解方法得出已知四面體的六條棱長(zhǎng)，可以求出四面體任意兩條對(duì)棱的夾角的余弦（斯坦納定理）的方法.對(duì)于練習(xí)2的設(shè)計(jì)也同樣如此，除利用例2中求直線與平面所成角的方法以外，練習(xí)2的解法中還設(shè)計(jì)了可以先求出平面的斜線上的一點(diǎn)到平面的距離（俗稱(chēng)“體積法”），再求直線與平面所成角的方法.因此，這兩個(gè)練習(xí)題的解法并不是課堂例題的簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是在此基礎(chǔ)上的一個(gè)螺旋式的上升，這種上升不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，而是學(xué)生課后通過(guò)對(duì)問(wèn)題思考后的一種思維升華.這樣的設(shè)計(jì)，把課堂教學(xué)的“余音”延伸到了課堂之外，真正體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課的教學(xué)目的.

從TK的角度分析，為了提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，合理運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，輔助復(fù)習(xí)課的教學(xué).如，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我們把每個(gè)問(wèn)題及其圖形都用PPT加以展示，除了必要的課堂板書(shū)，一些問(wèn)題的解決方法也通過(guò)PPT呈現(xiàn)，省去了課堂上不必要的抄題和畫(huà)圖時(shí)間.另外，如果復(fù)習(xí)課中的一些問(wèn)題需要?jiǎng)討B(tài)的呈現(xiàn)，我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，還可以考慮借助幾何畫(huà)板或者多媒體動(dòng)畫(huà)給學(xué)生以直觀形象的演示，以此提高學(xué)生的形象思維能力.這對(duì)于惜時(shí)如金的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂來(lái)說(shuō)，多媒體技術(shù)在其中起到了非常重要的輔助作用.

在空間角的求法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們運(yùn)用MPCK理論，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)空間角的概念的復(fù)習(xí)，為學(xué)生提供了三個(gè)值得探究的空間角的求法的問(wèn)題，再通過(guò)教師的分析、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生利用圖形觀察、推理論證、計(jì)算求解等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行自主探索，使學(xué)生經(jīng)歷了空間角的求法的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)在一定程度上體現(xiàn)了空間角的求法在學(xué)生頭腦中的一個(gè)“生長(zhǎng)過(guò)程”，可以體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)解題方法的領(lǐng)會(huì)是主動(dòng)的而不是被動(dòng)的，運(yùn)用MPCK理論，我們還設(shè)計(jì)了運(yùn)用信息技術(shù)輔助復(fù)習(xí)課的教學(xué)，信息技術(shù)的恰當(dāng)運(yùn)用可以讓學(xué)生在直觀、動(dòng)態(tài)過(guò)程中感受數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而更能夠抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).因此，基于MPCK理論的教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主和主動(dòng)復(fù)習(xí)，還強(qiáng)調(diào)著重培養(yǎng)學(xué)生的“問(wèn)題分析”、“思路探究”、“方法總結(jié)”等思維能力.

四、總結(jié)

MPCK理論不僅對(duì)于高中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)課教學(xué)有著直接的理論指導(dǎo)，“對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念、公式教學(xué)乃至習(xí)題教學(xué)和教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)也都有著積極的促進(jìn)作用.”［8］基于MPCK理論的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)教師提出了很高的要求，要求教師有扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，還要有鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)和研究高考試題的意識(shí)與能力.這些要求與能力對(duì)不少教師來(lái)講是一種挑戰(zhàn)，也是普通高中課程改革的大勢(shì)所趨，教師只有坦然迎接挑戰(zhàn)，努力提高自己的專(zhuān)業(yè)水平，才能夠成為受學(xué)生歡迎的、教學(xué)優(yōu)質(zhì)的優(yōu)秀教師.

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