☉甘肅省隴西縣第一中學(xué)　楊瑞堂

“用二分法求方程的近似解”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

☉甘肅省隴西縣第一中學(xué)楊瑞堂

本節(jié)課是以“問題驅(qū)動(dòng)式”和“啟發(fā)探究式”為主，情景陶冶、示范模仿、討論、自主探究、協(xié)作學(xué)習(xí)相結(jié)合的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)過程.

一、教材分析

“用二分法求方程的近似解”是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)必修1》（人教A版）第三章“函數(shù)的應(yīng)用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二部分，屬于數(shù)學(xué)方法范疇，是一節(jié)新授課.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的基礎(chǔ)上引入的，主要任務(wù)是探究二分法的基本思想方法，體會(huì)逼近思想，根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求給定精確度的方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的基本方法，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透算法思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法做鋪墊.

二、學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是普通高中高一年級(jí)學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功相對(duì)比較扎實(shí)，思維活躍，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣較為濃厚.在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)，能夠理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的等價(jià)關(guān)系，有一定的等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，比較熟悉一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)于高次方程和超越方程比較陌生，將其方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)有一定的困難；但對(duì)于具體情境的探究，能夠及時(shí)積極參與其中，小組合作意識(shí)較強(qiáng)，為尋求解決方案提供保障.

三、學(xué)習(xí)目標(biāo)

通過實(shí)例理解二分法的基本思想方法，根據(jù)函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的一種方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，以及逼近、程序化解決問題的思想；通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情；通過合作探究、討論交流、作業(yè)展示，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)合作意識(shí)，提高數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和溝通能力，在潛移默化中，體會(huì)數(shù)學(xué)解題的魅力，增加學(xué)習(xí)興趣.

四、重點(diǎn)與難點(diǎn)

用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境的探究，激發(fā)興趣，實(shí)現(xiàn)對(duì)二分法原理的探究，以突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)；通過示范模仿，具體聯(lián)系，學(xué)會(huì)用二分法求方程的近似解，掌握重點(diǎn).

1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

二分法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解.

2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

對(duì)二分法原理的探究，對(duì)精確度、近似值的理解.

五、教學(xué)過程

1.提出問題，引入新課

師：你會(huì)求下列方程的根嗎？請(qǐng)先自主嘗試.

（1）2x－6=0；（2）2x2－3x+1=0；（3）lnx+2x－6=0.

生：絕大多數(shù)學(xué)生自主完成了方程（1）、（2）的求解，但在求解方程（3）時(shí)犯難了.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的解方程引入，（1）、（2）是學(xué)生熟知的一元一次方程和一元二次方程，但面對(duì)（3）這種超越方程的根，并沒有現(xiàn)成的求根公式，自然地引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

師：有很多方程用我們常規(guī)的公式法是很難求根的，比如高次代數(shù)方程、超越方程，所以研究方程的近似解非常必要.若問題變?yōu)椤扒蠓匠蘬nx+2x－6=0的近似解”，你有什么想法呢？想一想，我們上節(jié)課學(xué)了什么呢？同桌之間可以相互討論、敘述.

生：學(xué)生之間開始相互討論、敘述方程的根、函數(shù)零點(diǎn)的概念及二者之間的等價(jià)關(guān)系.

師：求方程lnx+2x－6=0的近似解問題可以轉(zhuǎn)化為？

生：求函數(shù)y=lnx+2x－6的零點(diǎn)的近似值.

師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道函數(shù)y=lnx+ 2x－6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，那么如何找到零點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生思考回顧方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的概念及關(guān)系，將求方程根的近似解的問題轉(zhuǎn)化為找到函數(shù)零點(diǎn)，進(jìn)一步體驗(yàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

2.創(chuàng)設(shè)情境，探究新知

情境探究，模擬實(shí)驗(yàn)室.

師：如圖1，16枚金幣中有一枚較輕，是假幣，現(xiàn)在有一臺(tái)天平，如圖2，如何找到那枚假幣呢？（先獨(dú)立思考，然后和你的小組成員一起探討吧）

圖1　

圖2　

生：先獨(dú)立思考，然后和小組成員討論；小組成員分享結(jié)果，其他同學(xué)聆聽思考.（先分成8枚和8枚，稱一下；再將較輕的8枚分成4枚和4枚，稱一下；然后將較輕的4枚分成2枚和2枚，稱一下；最后將較輕的2枚，稱一下，較輕的1枚就是那枚假幣）

設(shè)計(jì)意圖：通過具體情境的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在實(shí)際問題的解決中體會(huì)逼近思想，體驗(yàn)一分為二的方法.

師：回想一下，我們是怎么找到假幣的？此問題的解決對(duì)我們有何啟發(fā)呢？和你的小伙伴討論一下，并將想法分享給大家?。ɡ秒娮影装逖菔緞?dòng)態(tài)過程，如圖3，教師觀察，聆聽）

圖3　

生：小組討論，將假幣所在范圍逐漸縮小，每次都是一分為二.

設(shè)計(jì)意圖：小組成員相互討論交流，不僅可以完善解決措施，而且相互敘說，可以促進(jìn)逼近思想和二分法的內(nèi)化.

師：通過這個(gè)小實(shí)驗(yàn)，你能想到什么樣的方法求函數(shù)y=lnx+2x－6在區(qū)間（2，3）內(nèi)的零點(diǎn)的近似解？

生：縮小區(qū)間，逐漸逼近.

師：如何縮小區(qū)間呢？

生：不斷地一分為二.

師：如何將區(qū)間（2，3）一分為二呢？

生：取中點(diǎn)，可以得到（2，2.5）和（2.5，3）.

師：思考一下，哪個(gè)區(qū)間是我們需要的呢？該如何確定呢？（教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回憶零點(diǎn)存在性定理）

生：判斷f（2）·f（2.5）與f（2.5）·f（3）的符號(hào).

師：（引導(dǎo)學(xué)生共同探究，板書思維過程）因?yàn)閒（2）＜0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，所以零點(diǎn)所在區(qū)間是（2.5，3）.為了找到零點(diǎn)，我們還得繼續(xù)將零點(diǎn)進(jìn)行縮小.現(xiàn)在，請(qǐng)拿出計(jì)算器和你的四人小組一起，繼續(xù)完成下表.

區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)中點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)（2，3）f（2）＜0，f（3）＞02.5f（2.5）＜0（2.5，3）

生：小組合作，完成表格.

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生，用二分法的思想不斷地縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后讓學(xué)生小組合作利用計(jì)算器，進(jìn)行實(shí)踐，為總結(jié)出二分法的步驟奠定基礎(chǔ).

師：一直算下去嗎？你能給出一個(gè)停下來的標(biāo)準(zhǔn)嗎？想一想，我們之前求近似值時(shí)，經(jīng)常會(huì)有什么要求呢？

生：思考討論，得到精確到小數(shù)點(diǎn)后幾位.

設(shè)計(jì)意圖：引出精確度的概念.

師：對(duì)于精確度ε的界定是：只要精確值所在區(qū)間的長(zhǎng)度小于ε，那么這個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有值就都是滿足精確度ε的近似值.在上述問題中，若精確度為0.01，請(qǐng)求出相應(yīng)零點(diǎn)的近似值.

生：當(dāng)a=2.53125，b=2.5390625時(shí)，|a－b|=0.0078125＜0.01，則該區(qū)間的任意一個(gè)值，都是x0的近似值.

師：為了方便，這里統(tǒng)一取區(qū)間端點(diǎn)a（或b）作為零點(diǎn)的近似值.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)精確度的概念更加清晰，明確如何根據(jù)精確度停止運(yùn)算，找到零點(diǎn)的近似解.

師：這種將零點(diǎn)所在區(qū)間不斷地一分為二，逐漸逼近函數(shù)零點(diǎn)的方法，就是我們今天的研究對(duì)象，用二分法求方程的近似解，請(qǐng)同學(xué)們打開課本P90頁，閱讀二分法定義.

生：自行閱讀定義.

設(shè)計(jì)意圖：引出二分法定義.

3.合作探究，深化理解

師：思考下面幾個(gè)問題，并與你的同伴進(jìn)行討論交流.

（1）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)近似值第一步應(yīng)做什么？

（2）為了縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍，接下來應(yīng)做什么？

（3）若f（c）=0，說明什么？若f（a）·f（c）＜0或f（c）·f（b）＜0，則分別說明什么？

（4）若給定精確度ε，如何選取近似值？

生：小組為單位，思考討論交流，回答思考的問題.

設(shè)計(jì)意圖：4個(gè)思考題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步梳理二分法的實(shí)質(zhì)和具體步驟.

師：試一試，用自己的話敘述用二分法求方程近似解的步驟，同桌之間，相互敘述一下.

生：同桌之間相互總結(jié)敘述用二分法求方程的近似解的步驟.

設(shè)計(jì)意圖：用自然語言表述二分法求方程近似解的步驟，有利于學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化；同桌之間相互敘述，可以增強(qiáng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，有利于學(xué)生達(dá)到不僅會(huì)做，而且會(huì)講，進(jìn)而讓思維更清晰.

4.牛刀小試，鞏固新知

師：小組合作，完成下列練習(xí).

借助計(jì)算器，用二分法求x2=3在區(qū)間（－2，－1）內(nèi)的近似解（精確度為0.1）.

生：小組成員，合作完成練習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，進(jìn)一步鞏固二分法的思想，明確用二分法求方程的近似解的過程.

5.歸納小結(jié)，鞏固升華

師：請(qǐng)同學(xué)們思考、交流一下，這節(jié)課學(xué)到了什么？

生：自己思考，回想總結(jié)這節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和思想方法.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己總結(jié)，有利于鞏固深化所學(xué)知識(shí)和思想方法.

6.作業(yè)布置，遷移深化

A：課本P92習(xí)題3.1A組第1，2，4題；

B：課本P93習(xí)題3.1B組第2，3題.

課外作業(yè)：除了二分法，你還知道哪些分割方法呢？搜集資料，整理成小論文，和大家一起探討吧！

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層設(shè)計(jì)，可以更好地適合不同學(xué)生的需求，以達(dá)到因材施教；課外作業(yè)有利于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，了解數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)魅力.

六、課堂教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

本節(jié)課的教學(xué)評(píng)價(jià)，采取觀察法、訪談法、作業(yè)與測(cè)驗(yàn)相結(jié)合，從學(xué)生間互評(píng)、教師評(píng)價(jià)、學(xué)生自評(píng)三方面進(jìn)行；評(píng)價(jià)內(nèi)容為課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)（課堂學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)+作業(yè)）、小組合作評(píng)價(jià).

觀察法：教師在課堂教學(xué)過程中，通過問題的提出，情境的引入，觀察學(xué)生的反應(yīng)；在學(xué)生小組合作、思考討論時(shí)，觀察每個(gè)小組成員的表現(xiàn).

訪談法：在課后，以個(gè)別訪談方式進(jìn)行，就不同層次的男、女同學(xué)，個(gè)別訪談，詢問課堂聽課效率，以及存在的問題，進(jìn)行學(xué)生之間的互評(píng).

作業(yè)和測(cè)驗(yàn)：通過課后作業(yè)的批改，測(cè)驗(yàn)的成績(jī)，階段性地檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，找到存在的問題，共性問題一起解決，個(gè)性問題單獨(dú)處理，重點(diǎn)問題分享處理.

七、教學(xué)反思

“用二分法求方程的近似解”是函數(shù)與方程的第二節(jié)內(nèi)容，屬于數(shù)學(xué)方法范疇.教學(xué)設(shè)計(jì)初衷是以問題驅(qū)動(dòng)和啟發(fā)探究為主，通過提出問題，引入新課；創(chuàng)設(shè)情境，探究新知；合作探究，深化理解；牛刀小試，鞏固新知；歸納小結(jié)，鞏固升華；作業(yè)布置，遷移深化，這六步來完成教學(xué)內(nèi)容，達(dá)到教學(xué)目標(biāo).經(jīng)過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這種設(shè)計(jì)基本符合學(xué)生認(rèn)知需求，內(nèi)容銜接比較緊湊，但是仍有許多不足之處.

（1）問題引入過快，教師的提示語太多，基本上代替了學(xué)生，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣一來不利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系.例如，在本節(jié)課的開頭，以學(xué)生熟悉的一元一次、一元二次方程求根問題，引出了超越方程lnx+2x－6= 0，接下來應(yīng)該留給學(xué)生自主探究的時(shí)間，讓他們自己將方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，會(huì)更有利于學(xué)生體會(huì)和學(xué)會(huì)用函數(shù)思想解決問題.

（2）從具體情境中感受、歸納出二分法的基本思想到找出函數(shù)的零點(diǎn)，過渡太快，提示語控制性太強(qiáng)，限制了學(xué)生的自主探究能力，不利于學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化.如果將原本的提示語，通過這個(gè)小實(shí)驗(yàn)，你能想到什么樣的方法求函數(shù)y=lnx+2x－6在區(qū)間（2，3）內(nèi)的零點(diǎn)的近似解”，改為“這個(gè)小實(shí)驗(yàn)，對(duì)你有何啟發(fā)”，給學(xué)生時(shí)間和空間，自發(fā)地聯(lián)系二者之間的關(guān)系，可能會(huì)更好地掌握本節(jié)課的核心思想方法，同時(shí)解放了教師，更好地發(fā)揮學(xué)生的主體性.

（3）練習(xí)題的題目欠妥當(dāng)，通過觀察學(xué)生的課堂練習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)用二分法求方程x2=3在區(qū)間（－2，－1）上近似解的問題，不能及時(shí)地轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= x2－3的零點(diǎn)問題，反而研究函數(shù)y=x2.課后反思，如果將題目改為對(duì)用二分法求方程x2－3=0在區(qū)間（－2，－1）上的近似解，這樣會(huì)更符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能夠更好地學(xué)以致用，加深理解.

數(shù)學(xué)是一門語言，它也有聽、說、讀、寫.在教學(xué)實(shí)踐中，不僅讓學(xué)生聽得懂?dāng)?shù)學(xué)思想方法、感受到數(shù)學(xué)思維的奧妙，還能說得出、讀得懂、寫明白所思所想，讓數(shù)學(xué)課堂變得像詩(shī)一樣優(yōu)美，充滿活力，任重而道遠(yuǎn)，仍需努力探索.

1.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修1教師用書）［M］.北京：人民教育出版社，2007.F