☉江蘇省清浦中學　吳洪生

研究策略定方案合作探究尋規(guī)律——“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”教學設計與教后反思

☉江蘇省清浦中學吳洪生

一、教材分析

本節(jié)課是蘇教版必修4第1章“1.3.3函數(shù)y=Asin（ωx+ φ）的圖像”第1課時的內(nèi)容，是對“1.3.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”內(nèi)容的深入與提升，也是為“1.3.4三角函數(shù)的應用”的研究作準備，具有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容.三角函數(shù)的圖像變換是高考的重要考點與?？紗栴}，主要以填空題為主，但有時也會在解答題中出現(xiàn).

本節(jié)課的教學重點是：參數(shù)φ、A、ω對函數(shù)圖像的影響.理解由y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖像變化過程，在研究過程中發(fā)現(xiàn)y=sin（x+φ），y=Asinx，y=sinωx的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像之間的關系，得到三種變換規(guī)律.通過漸進整合，得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像之間的變換關系，感悟圖像變換與解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.

本節(jié)課的教學難點是：（1）函數(shù)y=sinωx的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像之間的變換關系；（2）函數(shù)y=sinωx的圖像與函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像之間的變換關系.

二、學情分析

本節(jié)課的內(nèi)容是在學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及必修1中函數(shù)圖像的對稱變換、平移變換等相關知識的基礎上開展的，特別是在初中的二次函數(shù)y=a（x-h）2+k圖像的學習中，有過多個參數(shù)影響函數(shù)圖像變換的研究經(jīng)歷，對研究方法有了一定的了解，已經(jīng)具備了一定的知識基礎和觀察、探究能力，因此，學生通過自主探究獲得圖像變換規(guī)律是可行的.

三、教學目標

1.知識與技能目標

能通過活動，探究、觀察參數(shù)φ、A、ω對函數(shù)圖像的影響，并能概括出三角函數(shù)圖像各種變換的實質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律；從而逐步研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y= sinx的圖像之間的關系，會用圖像變換畫出函數(shù)y= Asin（ωx+φ）的圖像.進而達到使學生學會的目的.

2.過程與方法目標

通過對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律的探索過程的體驗，培養(yǎng)學生的觀察問題和探索問題的能力.經(jīng)歷“由簡單到復雜、由特殊到一般”的操作、歸納過程，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)圖像變換的本質(zhì).領會從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法；在探究過程中滲透化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.進而達到使學生會學的目的.

3.情感態(tài)度，價值觀目標

讓學生自主探究研究策略，經(jīng)歷研究過程，形成從具體到抽象、由感性到理性、由特殊到一般的數(shù)學理念，培養(yǎng)學生的認知策略.通過自主探究，培養(yǎng)學生的獨立思考能力；小組交流中，培養(yǎng)學生的合作意識.進而達到使學生樂學的目的.

四、教學方法

1.啟發(fā)、引導

以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線，由易到難，層層推進，使學習過程成為學生對書本知識再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

2.自主探究、合作探究

讓學生從問題中質(zhì)疑、探究、歸納、總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題的能力.

五、教學過程設計

活動一：創(chuàng)設情境，導出課題

借助視頻創(chuàng)設情境：（幾何畫板）動畫演示彈簧振子振動，如圖1，由此導出彈簧振子振動過程中，物體離開平衡位置的位移y關于時間x的函數(shù)解析式y(tǒng)= Asin（ωx+φ）.這就是我們今天要研究的函數(shù)（揭示課題），為了方便研究，這里的A＞0，ω＞0.這類函數(shù)在物理學、工程學中具有廣泛的應用.簡要介紹幾個物理概念.

圖1　

問題1：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）從形式上看和我們之前學習過的什么函數(shù)有相似之處？

圖2　

生1：與正弦函數(shù).

師：與函數(shù)y=sinx進行比較，發(fā)現(xiàn)它們的解析式和圖像都有類似之處，如圖2，由此啟發(fā)我們，要在函數(shù)y=sinx圖像的基礎上研究函數(shù)y= Asin（ωx+φ）的圖像.

設計意圖：通過物理學中彈簧振子做簡諧振動創(chuàng)設問題情境，使學生體會到數(shù)學是物理學等其他學科研究的工具和手段，加強了數(shù)學與物理學等學科的聯(lián)系.這也符合教材本身的設計安排.通過對兩個函數(shù)y=Asin（ωx+ φ）與y=sinx的圖像與解析式的對比研究，發(fā)現(xiàn)它們既有相似之處，也有不同之處，順應了學生的認知規(guī)律并激發(fā)學生的研究興趣.

活動二：研究策略，制定方案

問題2：如何在函數(shù)y=sinx圖像的基礎上研究函數(shù)y= Asin（ωx+φ）的圖像？小組討論.

生2：（方案1）由一個具體函數(shù)來研究，用“五點法”作出它的圖像.如：y=3sin

師：“五點法”是作簡圖的一種方法，不能準確刻畫A、ω、φ對圖像的影響，對于五點以外的其他點的特征還不能弄清楚.況且，取一個特殊函數(shù)并不具有一般性.

生3：（方案2）y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）.

生4：（方案3）①y=sinx→y=sin（x+φ）；②y=sinx→y= Asinx；③y=sinx→y=sinωx；④整合得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）.

師：比較三種方案各自的特點，確定更具一般性的方案.

生5：比較分析三種方案，選擇方案3.優(yōu)點是：復雜問題簡單化，先控制三個變量中的兩個，讓一個變化.分別為：A=1，ω=1，研究φ對圖像的影響；φ=0，ω=1，研究A對圖像的影響；A=1，φ=0，研究ω對圖像的影響.

設計意圖：面對一個全新的問題，如何探究解決思路，關鍵是引導學生思考解決問題的方案.考慮到學生在必修1中已經(jīng)學習過多種基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對研究方法有了一定的了解，也有過多個參數(shù)影響函數(shù)圖像變換的研究經(jīng)歷.所以，在這里放手讓學生自主探究是有基礎的，在探究的過程中體會從“特殊到一般”、從“簡單到復雜”的思維方法，確定“分而治之、各個擊破”的研究方案，為下面的逐個探究做好鋪墊.

活動三：合作探究，總結(jié)規(guī)律

問題3：函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關系？

師：幾何畫板展示圖像；怎么觀察？

師：其他點是不是也有這樣的規(guī)律？動手度量兩點間的距離，并拖動.揭示圖像變換的本質(zhì).

師：能給出結(jié)論嗎？

師：要是改為φ呢？如何由函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像？請注意語言規(guī)范.

活動四：適時總結(jié)，提煉規(guī)律

生10：函數(shù)y=sinx的圖像上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平移|φ|個單位得到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像.

師：上述探究過程蘊含了哪些數(shù)學思想？觀察—歸納—猜想—證明；從特殊到一般；數(shù)形結(jié)合思想.

師：函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像的變化，從本質(zhì)上講是：x→x+φ；口訣：左+右-.

設計意圖：通過學生自主探究、生生合作探究、師生合作探究，觀察猜想，作圖驗證，理性分析，從“形”“數(shù)”兩個角度，得出結(jié)論.讓學生在探究知識的同時，掌握分析問題、解決問題的方法.體會“歸納—猜想—證明”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學思想方法.還可以將探究方法遷移到后續(xù)對A、ω的探討中去.

問題4：函數(shù)y=Asinx的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關系？

師：你們自主選擇A，自主探究，并請學生上黑板畫圖.

生11：取A=3，同上，在同一坐標系中畫出y=sinx與y=3sinx一個周期內(nèi)的圖像.

師：請同學解釋你的發(fā)現(xiàn).

生12：從五個特殊點找關系，橫坐標相同時，縱坐標是3倍關系.

師：其他點是不是也存在3倍關系？

幾何畫板展示：由y=sinx的圖像變換到y(tǒng)=3sinx的圖像.

理論說明：從點（t，sint）到點（t，3sint）.

師：能否說明兩圖像的關系？如何一般化？

生13：函數(shù)y=sinx的圖像上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變）得到函數(shù)y=Asinx（A＞0且A≠0）的圖像.

師：函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=Asinx的圖像的變化，從本質(zhì)上講是：y→Ay.

設計意圖：類比研究參數(shù)φ對函數(shù)圖像的影響，老師引導、學生自主探究、合作探究相結(jié)合，總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論.

問題5：函數(shù)y=sinωx的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像有什么關系？

生14：取ω=2，同上，在同一坐標系中畫出y=sinx與y=sin2x一個周期內(nèi)的圖像，觀察對比后歸納總結(jié)規(guī)律.

生15：展示所畫圖像.

師：你能說明發(fā)現(xiàn)的過程嗎？

生16：類比問題4，五個關鍵點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>

師：幾何畫板展示：由y=sinx的圖像變換到y(tǒng)=sin2x的圖像.

師：能推廣到一般情況嗎？

生17：函數(shù)y=sinx的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到函數(shù)y=sinωx（ω＞0，ω≠1）的圖像.

師：函數(shù)y=sinx的圖像到函數(shù)y=sinωx的圖像的變化，從本質(zhì)上講是：x→ωx.

設計意圖：類比前面的探討方法，請學生自主探究ω對y=sinωx的圖像的影響.

活動五：漸進整合，鞏固深化

問題6：函數(shù)y=sinωx的圖像與函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像有什么關系？

師生活動：學生討論后交流，合作探究.

4單位而得到的.

生19：函數(shù)y=sin）的圖像可以看做是將函數(shù)y=sin2x的圖像上所有點向左平移個單位而得到的.

師：還可以這樣解釋，令2x等于z，那么由函數(shù)y=sinz到函數(shù)），z向左平移個單位，因而，x只需要向左平移個單位.

師：能推廣到一般結(jié)論嗎？

生22：函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ≠0）的圖像，可以看做是將函數(shù)y=sinωx的圖像上所有的點向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移個單位而得到的.

設計意圖：在問題6的解決過程中，老師通過讓學生呈現(xiàn)錯誤、發(fā)現(xiàn)錯誤、糾正錯誤的方式進行教學，不僅使學生印象深刻，而且有利于學生深刻把握變換的本質(zhì).教師借助“換元思想”提升認識問題的層次，實現(xiàn)重難點突破.通過問題6，使學生經(jīng)歷了從一個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響升級為兩個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響的研究過程，步步深入，漸進整合，鞏固提升.感悟圖像變換與解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.

思考題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像是如何由函數(shù)y=sinx的圖像變換得到的？

六、教后反思

（1）從彈簧振子振動的軌跡引出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像，在此基礎上引導學生分別與函數(shù)y= sinx的圖像和解析式進行對比，發(fā)現(xiàn)相似之處、不同之處，激發(fā)學生的研究興趣，這種在情境中進行聯(lián)想、研究的方式符合學生的認知規(guī)律.

（2）“分而治之，各個擊破”的研究策略是針對有基礎的學生.學生在必修1中已經(jīng)學習過圖像的平移變換、對稱變換等知識，有研究簡單函數(shù)圖像生成復雜函數(shù)圖像的經(jīng)歷，對圖像變換法有所了解，因此，學生在合作交流中確立“分而治之，各個擊破”的研究策略，將復雜問題簡單化，提出控制變量（即先相對固定兩個變量只探討一個變量）的研究方案，不僅有基礎，而且有利于培養(yǎng)學生的認知策略.

（3）學生自主探究、生生合作探究、師生合作探究的教學方法是成功的.建構(gòu)主義學習理論認為：“學習不是由教師直接傳遞給學生，而是由學生自己主動建構(gòu)知識的過程，這種建構(gòu)無法由他人來替代.”知識構(gòu)建的過程是根據(jù)學生已有經(jīng)歷，通過觀察—歸納—猜想—分析—證明，得出結(jié)論.讓學生在探究知識的同時，掌握分析問題和解決問題的方法.本課先由學生自主探究、合作探究，分別探究A、ω、φ對函數(shù)圖像的影響，在此基礎上，再進行整合，這種知識的構(gòu)建，就是從一個參數(shù)對函數(shù)的影響升級為兩個參數(shù)、三個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，步步深入，逐漸生成.通過學生有意義的主動建構(gòu)、合作探究，達到了讓學生“學會、會學、樂學”的教學目標.

（4）對教學過程的預設和上課時的實際情況是有距離的.問題3用時相對多了些，導致問題5、6的處理有些倉促.F