☉江蘇省西亭高級中學(xué)　施林麗

“嘗試、碰撞、提煉、變式”組成數(shù)學(xué)解題教學(xué)“四環(huán)節(jié)”——以平面向量共線定理應(yīng)用為例

☉江蘇省西亭高級中學(xué)施林麗

解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一個重要組成部分，它一方面可以有效地提高學(xué)生解決問題的能力，另一方面還可以促進(jìn)學(xué)生對已學(xué)過的基本知識、相關(guān)概念和運算規(guī)則的理解，對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)有著積極的意義.但目前解題教學(xué)中還存在很多不良的現(xiàn)象，比如，大題量的訓(xùn)練和講解，深陷“題?！辈荒茏园?；就題論題、蜻蜓點水，不關(guān)注解題的認(rèn)知發(fā)展價值，也不關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，進(jìn)行大量的“套題型”訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生思維僵化等.因此，怎樣使得解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分發(fā)揮它的功能應(yīng)該成為每一位高中數(shù)學(xué)老師必須思考的問題.

一、在“嘗試”中尋找解題入口

在解題教學(xué)中，很多教師先展現(xiàn)問題，然后就迫不及待地開始講題，恨不得把所有好的解題方法“一股腦”地傳授給學(xué)生.他們希望通過自己精彩的講解，讓學(xué)生以最快的速度掌握相關(guān)的解題方法和技巧.其實教師的想法是很美好的，但不符合教育教學(xué)的規(guī)律.按照建構(gòu)主義的觀點，學(xué)生解題水平的提升必須要立足原有的解題經(jīng)驗，然后通過新問題與舊經(jīng)驗之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系，通過有意義的同化和順應(yīng)，最終才能形成相關(guān)的解題思維.教師只顧講解和灌輸，卻忽視了學(xué)生原有的認(rèn)知水平和已有的解題經(jīng)驗，因此這樣的解題教學(xué)很可能導(dǎo)致無效.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、DC的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

本題是教材（人教A版）中的例題，教材希望通過此題來闡述向量法在解決平面幾何問題中的重要應(yīng)用.教材中提供的解法如下：

圖1　

若教師直接照搬教材的解法，恐怕效果會適得其反.這是為什么呢？因為，此題是也是初中平面幾何的經(jīng)典題目，而且若用傳統(tǒng)平面幾何的解法非常容易解決.易猜得AR=RT=TC.通過證明三角形相似或者連接BD利用R、T重心性質(zhì)就可以快速得到所需的結(jié)果.相比而言，向量法就不那么簡潔明了.于是學(xué)生心中就要產(chǎn)生疑惑：既然平面幾何的方法如此的簡單，那為何要用向量法呢？基于學(xué)生“求簡、求快”的心理，即使教師把向量法講解得再透徹，恐怕也很難被學(xué)生重視和接受.

其實，在解題教學(xué)中，教師必須要了解學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和解題水平，然后才能起到“對癥下藥”提升解題能力的作用.了解學(xué)生的最好辦法，那就是先讓學(xué)生進(jìn)行“嘗試”解題，按照他們的理解對題目做初步的探索.在嘗試過程中，不僅可以暴露學(xué)生思維和潛在的問題，又可以使學(xué)生自主完成內(nèi)化過程，而這正是教師把正確解法直接灌輸給學(xué)生所無法實現(xiàn)的.

對于例1而言，向量法與傳統(tǒng)的幾何法相比處于“劣勢”，學(xué)生還是喜歡選擇幾何法.但這不要緊，例1只是一道“開胃菜”，讓學(xué)生明白向量法還可以解決平面幾何問題.此題為后續(xù)的題目起到了拋磚引玉的作用.

例2如圖2，在△ABC中，O—→C=—→M；

（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)

圖2　

（1）試用a，b表示O

此題可以看出是在例1的基礎(chǔ)上變動了點的位置，由中點變?yōu)樗姆种稽c，但傳統(tǒng)的幾何法對此題就顯得蒼白無力.

二、在“碰撞”中明確解題方法

解答方法與策略并不是靠教師強行灌輸，而是要在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生就某一問題各抒己見，引出學(xué)生之間的認(rèn)知沖突，并進(jìn)行生生之間、師生之間多邊的思維碰撞.思維碰撞能產(chǎn)生絢麗的火花，蘇格拉底用問題性對話引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，從而提升認(rèn)識、統(tǒng)一了思想；教育家朱熹十分強調(diào)“博學(xué)”、“審問”、“慎思”、“明辨”、“篤行”，這些都是對“思維碰撞”最好的注釋.解題教學(xué)更需思維碰撞，在碰撞中交流、互相啟發(fā)、合作探討，從而找到合乎情理，容易被學(xué)生接受的解題方法與策略.

例2改變了學(xué)生對向量法的看法.借此機會，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用向量法，通過合作學(xué)習(xí)、成果展示的形式和學(xué)生一起探索向量法的解題步驟.

圖3　

若按照傳統(tǒng)平面幾何的角度去審視題目的第（2）問，絕對是一個“難題”，但此題卻可以由第（1）問的結(jié)論輕松證明.至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量法與幾何法相比更具一般性與靈活性，這就是學(xué)生在思維碰撞后的最大收獲，向量法的學(xué)習(xí)興趣也被激活了.

例3如圖3所示，點A、B、C是半徑為1的圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點M，若=1，得OC的中點、A、B三點共線.由于M是OC與AB的交點，所以M就是OC的中點，所以

例3的解答使得向量法的優(yōu)勢得到了充分的展現(xiàn)，學(xué)生從內(nèi)心開始喜歡向量法.讓學(xué)生切身體會到新方法的實用、方便遠(yuǎn)比教師強行灌輸強.

三、在“提煉”中總結(jié)解題策略

通過精心設(shè)計例題，使學(xué)生認(rèn)識到了各種解法的優(yōu)劣，但解題教學(xué)并不單純是為了求得問題的結(jié)果和羅列盡可能多的方法，其核心教育價值是鞏固和深化知識的理解，感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，而要實現(xiàn)這一目的需要通過“提煉”獲得.提煉解題方法的適用條件及步驟，提煉方法之間的聯(lián)系，比如，這種解法的切入口是什么？一般這類題可以采取怎樣的方法等，從而實現(xiàn)“解一題，會一片，通一類”的效果.

通過上述三道例題，學(xué)生逐漸明白向量是形與數(shù)的高度統(tǒng)一，它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運算的簡捷于一身，在解決平面幾何問題中有著奇特的功效.“平面向量共線定理”在判斷平面幾何點、線之間位置關(guān)系上具有工具作用.學(xué)生可以得到以下結(jié)論：解此類題目的關(guān)鍵是找到兩組滿足三點共線條件的點，然后利用共線定理聯(lián)立方程，最后解方程；涉及的主要思想方法有待定系數(shù)法、基底思想與等價轉(zhuǎn)化思想.

提煉不僅可以幫助學(xué)生回顧有關(guān)知識、解題方法及理解題意的過程，而且可以總結(jié)出有益的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗有的是解題的策略，有的是解題的元認(rèn)知知識，將他們運用到新的問題中去，將成為解題時聯(lián)想的基礎(chǔ)與行動的指南.提煉就是磨礪解題武器的過程，它所起到的舉一反三的作用，勝過做十道題.

圖4　

四、在“變式”中優(yōu)化解題思維

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不斷地變更數(shù)學(xué)概念中的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實際應(yīng)用的環(huán)境等，從而暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系，這就是“變式”的作用.“變式”既讓學(xué)生免受“題海”戰(zhàn)術(shù)之苦，又能激活學(xué)生思維，提升解題教學(xué)的有效性.

變式2：如圖5所示，A、B、C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若=則m+n的取值范圍是（）.

A．（0，1）B．（1，+∞）

圖5　

圖6　

變式2另解：由于C點在OD的反向延長線上，可得m+ n的值必為負(fù)，排除A、B選項.考慮特殊情況，當(dāng)垂直，∠AOB=60°時，容易求得m+n=-，所以選C.

變式1、2與例3在解題思路上并無二致，借助例3的結(jié)論，解題過程更加簡便.

通過變式，促進(jìn)思維從解答靜態(tài)問題往探索動態(tài)問題上遷移，進(jìn)一步熟悉共線定理的應(yīng)用，達(dá)到熟能生巧的目的.

變式不僅可以強調(diào)具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用數(shù)學(xué)思想方法，而且可以基于一些數(shù)學(xué)題目的特點，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些“特殊的”方法與技巧，這可謂是一舉兩得.

對于選擇題與填空題還可以“小題小做”.

變式1另解：找特殊位置，當(dāng)C點位于弧AB中點處

通過變式，學(xué)生不僅使共線定理的應(yīng)用得到優(yōu)化，而且還有了新的收獲：“找特殊位置，關(guān)注臨界狀態(tài)”是解決動態(tài)問題的簡便方法.

“嘗試、碰撞、提煉、變式”是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的四個環(huán)節(jié)，教師要圍繞著這四個環(huán)節(jié)讓學(xué)生掌握多種數(shù)學(xué)問題的解題模式后，領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)解題最本質(zhì)的內(nèi)涵，進(jìn)而達(dá)到靈活應(yīng)用的目的.F