☉江蘇常熟市周行學(xué)?！↑S欲涵

從解題思考走向解題教學(xué)的研討——以2016年江蘇蘇州中考第27題為例

☉江蘇常熟市周行學(xué)校黃欲涵

一、寫在前面

每年各地新中考題出來之后，各大專業(yè)期刊都有相當篇幅的解題研究文章，這些文章對于不同解法、考題變式、結(jié)構(gòu)洞察都有充分的探討，然而，對于這類文章，如果能從解題思考走向解題教學(xué)的研討，則可以豐富解題研究的視角，也有助于使解題研究的成果更好地服務(wù)于解題教學(xué).本文以蘇州中考一道考題為例，先給出思路突破，再展開解題教學(xué)的相關(guān)思考，與同行研討.

二、考題及思路突破

（1）如圖1，連接DQ，當DQ平分∠BDC時，t的值為______.

（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值.

圖1

圖2

圖3

（3）請你繼續(xù)進行探究，并解答下列問題.

①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側(cè)；

②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值，并判斷此時PM與⊙O是否也相切，說明理由.

1.思路突破

（1）當DQ平分∠BDC時，QP=QC，如果能用含t的式子表示它們，就可以貫通思路了.先根據(jù)點P的運動速度，用含t的式子表示BP，得BP=4t，于是在Rt△BPQ中思考，這是一個“3，4，5”式的直角三角形，于是，PQ=3t，BQ=5t，于是CQ=3t，根據(jù)CQ+BQ=BC可得方程3t+5t=8，則t=1.

圖4

（2）解讀條件“△CMQ是以CQ為底的等腰三角形”，即“CM=MQ”.把目光聚焦在△CMQ中思考，重新構(gòu)造圖4.

（3）可以發(fā)現(xiàn)，前兩問與動點O、⊙O是無關(guān)的，從（3）開始，有了關(guān)系，而且①需要證明點O始終在QM所在直線的左側(cè).先做“目標解析”，設(shè)直線MQ交CD于K點（如圖5），問題的目標就是證明點O在點K的左側(cè)，也即證明OC大于KC！

圖5

②如圖6，在運動過程中，設(shè)QM與⊙O相切于G點，交CD于J點，把目光聚焦在Rt△OGJ和Rt△QCJ中，分離出局部圖形（如圖7）.

圖6

圖7

在圖7中，Rt△OGJ和Rt△QCJ仍然是“3，4，5”式的三角形，用含t的式子分別表示CJ、OJ.CJ=，OC=6-3t，（事實上，這里的求解與上一問的求解思路是一致的）.把目光聚焦到Rt△OGJ中，

繼續(xù)思考最后一個有挑戰(zhàn)的問題“此時PM與⊙O是否也相切”，我們先做目標解析，如果相切，則一定有點O在∠PMQ的平分線上，接下來的演算向這個目標進發(fā).

圖8

2.解后反思

第一，熟悉“3，4，5”式直角三角形的性質(zhì)，有助于思路突破.本題各個小問中都會涉及大小不同的特殊直角三角形，如果不對這些直角三角形三邊之比保持敏感，則會影響思路獲取或解題速度.比如所給的兩個動點的運動速度4cm/s和3cm/s，都是命題者精心編擬的，目的是讓解題者與“3，4，5”式直角三角形發(fā)生關(guān)聯(lián)，且便于運算.

第二，注意圖形動態(tài)變化后的位置，便于構(gòu)造精準圖形，有利于獲取思路.比如正方形PQMN的大小在不斷變大，相應(yīng)的點M、Q的位置需要認真構(gòu)思.此外，動點P、O是同時運動的，但運動速度不同，這也是解題時要注意的.

三、教學(xué)思考

1.解題教學(xué)要拓展概念的內(nèi)涵與外延

從當前的教學(xué)研究和案例寫作來看，概念教學(xué)被很多教師所重視，特別是對新授課期間的概念教學(xué)研究的熱情高漲，有些專業(yè)期刊甚至針對概念教學(xué)開展專題征文、案例評析，這些都對概念教學(xué)的研究有很好的促進作用.但是，作為概念教學(xué)的必要跟進，解題教學(xué)中對概念的深入與拓展還是值得關(guān)注的，比如在解題教學(xué)中，重視引導(dǎo)學(xué)生回到概念去解題就是十分有必要的，像上文中的考題解析一樣，重視回到勾股定理構(gòu)造方程固然十分重要，但是作為特殊直角三角形，善于發(fā)現(xiàn)“3，4，5”，靈活運用銳角三角形函數(shù)構(gòu)造方程或比例式顯示可以看成是勾股定理這一核心概念的必要深化與發(fā)展，值得重視.

2.解題教學(xué)要重視“目標解析”意識

解題教學(xué)除了訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會解具體的一道題，還需要有更多教學(xué)目標的追求，比如通過學(xué)習解題走向?qū)W會解題，并領(lǐng)會一類題的解法、策略，感悟思想方法.就上面的考題解答來說，由于考題的設(shè)問指向都需要“目標解析”，比如（2）“若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值”，目標解析就是“當CM=MQ時，求t的值”；再如（3）①的“證明”，本質(zhì)是判斷點O在點K的左側(cè)（如圖5）.根據(jù)我們多年的教學(xué)經(jīng)驗，不少解題有困難的學(xué)生，往往就是不能順利進行目標解析造成解題思路受阻，這就需要教師在解題教學(xué)環(huán)節(jié)，要有意識地安排“目標解析”的提問或展示環(huán)節(jié)，讓“目標解析”的能力和意識都得到訓(xùn)練.

3.解題教學(xué)適當安排跟進變式的檢測

為了追求較好的解題教學(xué)效果，在學(xué)生聽懂的基礎(chǔ)上，還可以安排跟進變式的檢測，反饋學(xué)生是否對這類問題真正掌握，以下就給出上述考題的一種跟進變式檢測，供研討.

變式題：如圖9，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm.點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上.

（1）如圖9，當MQ=QC時，t的值為______.

（2）連接CM，MQ=MC，求t的值.

①若直線QM交邊CD于K，比較OC、KC的大小.

②在運動過程中，當QM與⊙O相切時，小舟同學(xué)發(fā)現(xiàn)：此時PM與⊙O也是相切的關(guān)系.請判斷“小舟發(fā)現(xiàn)”的真假，并說明理由.

圖9

四、結(jié)束語

得益于網(wǎng)絡(luò)的普及，最新的中考試題在網(wǎng)上傳播得很快，不少師生、解題愛好者都對解題保持較高的熱情，正如本文的探討一樣，作為拋磚引玉，期待廣大同行不滿足于解題層面的探討，還要深入到解題教學(xué)的研討，特別是針對考題展開變式教學(xué)的思考.當然，我們的努力還是初步的，期待批評指正.

1.周禮芳.重視教材“活動”材料，追求變式教學(xué)效率——以一道中考模考卷壓軸題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

3.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z