☉江蘇灌南縣實驗中學(xué)　劉光建

簡約而深刻：值得關(guān)注的新定義考題命題導(dǎo)向——以北京市兩道新定義考題為例

☉江蘇灌南縣實驗中學(xué)劉光建

一、寫在前面

近年來，以北京市為代表的中考試卷，把新定義考題安排在全卷最后一題作為把關(guān)題，它承載了區(qū)分、選拔功能，其原創(chuàng)取向、由淺入深、數(shù)形結(jié)合的命題風(fēng)格，體現(xiàn)了命題組的命題功底，同時這類新定義考題呈現(xiàn)又非常簡約，深入思考下去又會有很豐富的內(nèi)涵和意蘊.本文例舉北京市兩道考題，先給出思路解析，再跟進賞析命題導(dǎo)向，供研討.

二、考題解析與反思回顧

考題1：（2016年北京市中考卷，第29題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2， y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點P、Q的“相關(guān)矩形”.圖1為點P、Q的“相關(guān)矩形”的示意圖.

（1）已知點A的坐標(biāo)為（1，0）.

①若點B的坐標(biāo)為（3，1），求點A、B的“相關(guān)矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達式.

思路解析：（1）①根據(jù)“相關(guān)矩形”的定義，可以畫出符合要求的矩形（如圖2）.

此時矩形的面積是1×2=2.

②在圖3中構(gòu)造出直線x=3，進一步分析“相關(guān)矩形”為正方形的兩種可能.

圖1

圖2

圖3

從圖3中可知：直線AC1的解析式是y=x-1，直線AC2的解析式是y=-x+1.

（2）可以想見兩種“極值”位置，如圖4，當(dāng)點N1的坐標(biāo)為（1，1）時，對應(yīng)的M1的坐標(biāo)可以是（-1，3）；當(dāng)點N2的坐標(biāo)為（1，-1）時，對應(yīng)的M2的坐標(biāo)可以是（5，3）.根據(jù)軸對稱性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)M到y(tǒng)軸的距離不可能小于1，也不可能大于5，故m的范圍是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

難點釋疑：問題是為什么點N恰在直線x=1（或直線x=-1）上時，會出現(xiàn)兩處m的極值位置？結(jié)合新定義“相關(guān)矩形”向正方形的強化，本質(zhì)上是⊙O上一點N到兩坐標(biāo)軸距離之和最大時，會出現(xiàn)m的極值位置.為了說得更清楚，我們再構(gòu)思圖5，進一步釋疑.

圖4

圖5

簡要說明：在Rt△NHO中，a2+b2=2，配方變形得（a+ b）2=2+2ab，當(dāng)a=b=1時，a+b取得最大值.

事實上：直角三角形斜邊長一定，當(dāng)兩直角邊相等時，這個直角三角形的周長最大，面積也最大.

（2）直線MN分別交x軸、y軸于點M、N，點M的坐標(biāo)是（6，0），∠OMN=30°.

①線段AB的“等角點”P在直線MN上，且∠ABP= 90°，求點P的坐標(biāo)；

②在①的條件下，過點B作BQ⊥PA，交MN于點Q，求∠AQB的度數(shù)；

③若線段AB的所有“等角點”都在△MON內(nèi)部，則t的取值范圍是_____.

圖6

思路解析：首先理解題意，定義中提到的線段AB就是x軸上一條動線段，當(dāng)∠APB=60°時，稱點P為AB的“等角點”.這個點P與點A、B可以確定一個圓（令t=0，即點A在原點時），可以先作出等邊三角形PAB，再作出該三角形的外接圓，從而可確定點P的軌跡，如圖6，該圓在x軸上方的部分即為符合要求的點P的集合.

（2）①構(gòu)造圖7分析.

利用定義可知∠APB=60°，由∠ABP=90°，可得∠PAB=30°.又∠OMN=30°，可得PA=PM，AB=BM.由于定長線段，故.解出PB=1，則點，1）.

圖7

圖8

②如圖8，過點B作BQ⊥PA，交MN于點Q.

由BQ⊥AP，且∠APB=60°，可得∠PBQ=30°.故∠ABQ=60°，故∠BMQ=∠MQB=30°.所以BQ=BM=AB.即△ABQ是等邊三角形.所以∠AQB=60°.

圖9

三、關(guān)于新定義考題的命題思考

1.“簡約呈現(xiàn)”的新定義考題值得點贊

統(tǒng)計全國各地每年的新定義考題，大多閱讀量較大，300字以上的新定義考題不在少數(shù)，有些新定義考題設(shè)問也偏多（多達4個以上小問），對于時間偏緊的數(shù)學(xué)考試來說，大閱讀量的新定義考題使得學(xué)生望而生畏，不少考生甚至對于第一問也不愿深入思考，從而失去了該題的考查功能，而北京地區(qū)上述兩道新考題，呈現(xiàn)相對較為簡約，入口也很寬，第一問只要學(xué)生理解了新定義就可順利求解，這種命題導(dǎo)向值得點贊.

2.“簡約而不簡單”的把關(guān)題值得深入思考

除了簡約呈現(xiàn)，問題的思考有序推進、漸入佳境、易進難出.對于上面兩道考題，考生在順利解決第一問后，第二問就需要分類討論、數(shù)形結(jié)合分析，到第三問雖然運算量不大，但對思維層次的要求非常高，如果考生沒有深刻理解、關(guān)聯(lián)初中階段相關(guān)的知識或性質(zhì)，則解題思路就不會順暢，造成解題障礙.最后一問蘊含著“在直角三角形中，當(dāng)斜邊一定時，兩直角邊之和最大時，該直角三角形為等腰直角三角形”這一奇異性質(zhì).

四、寫在最后

新定義考題還有不完善的地方，如何讓新定義考題以簡約而深刻的面貌呈現(xiàn)出來呢？北京地區(qū)的相關(guān)試題為我們“打開了一扇窗”，值得思考和關(guān)注，也期待更多有命題興趣的同行豐富相關(guān)案例和思考.

1.肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向——以2014年江蘇泰州卷第25題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（7）

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

3.【美】波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

4.季群.一道新定義考題的思路突破與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（2）.Z