☉上海市嘉定區(qū)南翔中學(xué)　王　欣

基于學(xué)前診斷的認(rèn)知分析及教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究——以“二元一次方程組及其解法”為例

☉上海市嘉定區(qū)南翔中學(xué)王欣

一、問題提出

《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“課程要為學(xué)生提供多種學(xué)習(xí)經(jīng)歷，豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).確立學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和興趣愛好、個(gè)性特長等發(fā)展特點(diǎn).”好的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注到學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，這需要教師在課前設(shè)計(jì)學(xué)前診斷，了解學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握及對(duì)新知的認(rèn)知程度，從而有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)，達(dá)到以學(xué)生為主體的有效課堂教學(xué).本文以上海教育出版社六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的“6.9二元一次方程組及其解法”的第一課時(shí)“代入消元法”為例，研究基于學(xué)前診斷的認(rèn)知分析，設(shè)計(jì)教學(xué).

二元一次方程組及其解法是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程及一元一次不等式組的基礎(chǔ)上來進(jìn)行學(xué)習(xí)的，并為后續(xù)的三元一次方程組的解法做鋪墊.

本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是：理解二元一次方程組的有關(guān)概念，以及二元一次方程組的解的概念；能利用代入消元法熟練地解二元一次方程組；經(jīng)歷解二元一次方程組的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的化歸思想.知道化歸的基本方法——“消元”.在學(xué)會(huì)解一元一次方程的基礎(chǔ)上，初步掌握運(yùn)用“化歸”思想解二元一次方程組，掌握“消元法”.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是“代入消元法”解二元一次方程組，難點(diǎn)是對(duì)“消元法”這一化歸思想的理解.

二、學(xué)前診斷

（一）任務(wù)設(shè)計(jì)

學(xué)前診斷共設(shè)計(jì)5個(gè)問題（表1），且按如下梯度展開：

問題1是解一元一次方程的問題，其中任務(wù)Ⅰ是一道簡單的解一元一次方程的問題，解答過程簡單，其診斷目的是考查學(xué)生在學(xué)習(xí)二元一次方程組之前的知識(shí)基礎(chǔ)；任務(wù)Ⅱ是一道含有常數(shù)a的一元一次方程問題，學(xué)生解答過程中需要將a與其他常數(shù)進(jìn)行合并同類項(xiàng)的處理，并且體會(huì)用含有字母a的式子表示未知數(shù)x.其考查目的是學(xué)生能否掌握用含有字母的式子表示未知數(shù)（實(shí)際上，“代入思想”的第一步是將一個(gè)未知數(shù)（字母形式）用另一個(gè)未知數(shù)表示，本任務(wù)旨在考查學(xué)生“用字母表示未知數(shù)”的能力，也作為問題4中任務(wù)Ⅱ的鋪墊）.

問題2～問題4是三道二元一次方程（組）的問題，每個(gè)問題均包含兩個(gè)任務(wù).任務(wù)Ⅰ是探索二元一次方程所有正整數(shù)解的問題，讓學(xué)生體會(huì)二元一次方程解的不確定性；在任務(wù)Ⅱ中，附加了一個(gè)“關(guān)于x（或x與y）滿足何種條件”的問題，讓學(xué)生嘗試探索同時(shí)滿足兩個(gè)一次方程的公共解.需要指出的是，首先，考慮到學(xué)生尚未正式接觸二元一次方程組，附加的一元（或二元）一次方程在提問方式上盡量適應(yīng)學(xué)生水平.其次，三道題目的設(shè)計(jì)是有一定層次性的：在任務(wù)Ⅰ中，x與y的系數(shù)逐漸增大（為避免復(fù)雜計(jì)算，基本保持在5以下且計(jì)算結(jié)果為整數(shù)）；在任務(wù)Ⅱ中，附加的“關(guān)于x（或x與y）滿足何種條件”難度逐漸加大.其中，問題2中任務(wù)Ⅱ的任務(wù)設(shè)計(jì)在“代入思想”上有較強(qiáng)的提示性；問題3中任務(wù)Ⅱ的任務(wù)設(shè)計(jì)需要學(xué)生首先對(duì)x進(jìn)行求解，但解答過程簡單；問題4中任務(wù)Ⅱ的任務(wù)設(shè)計(jì)需要學(xué)生體會(huì)“用含有一個(gè)未知數(shù)（字母形式）的式子表達(dá)另一個(gè)未知數(shù)”，實(shí)際上，問題1中的任務(wù)Ⅱ?yàn)樵撊蝿?wù)做了一定的鋪墊.

前測診斷試卷共下發(fā)33份，收回33份，有效試卷33份.

表1　前測任務(wù)設(shè)計(jì)

（二）認(rèn)知分析

1.學(xué)生在問題1上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

學(xué)生在任務(wù)Ⅰ上的表現(xiàn)良好，全班33人均正確求出方程的解，正確率達(dá)100%.需要說明的是，由于該任務(wù)計(jì)算量不大，學(xué)生在該任務(wù)上的表現(xiàn)不能反映其“解決（較復(fù)雜）一元一次方程問題的能力”.但該任務(wù)的設(shè)計(jì)目的是考查學(xué)生能否計(jì)算簡單的一元一次方程，排除“學(xué)生不會(huì)解一元一次方程”對(duì)問題2及問題3中任務(wù)Ⅱ的干擾.由于學(xué)生在該任務(wù)上的正確率為100%，我們可以基本認(rèn)為，學(xué)生在“解簡單一元一次方程”問題上有較好的知識(shí)基礎(chǔ)，在后續(xù)問題2及問題3中任務(wù)Ⅱ的計(jì)算時(shí)，可以排除“學(xué)生不會(huì)求解簡單一元一次方程”這一因素.

學(xué)生在任務(wù)Ⅱ上的作答表現(xiàn)如表2.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)方程中加入用字母表示的常數(shù)a，學(xué)生的正確率下降明顯，只有48.5%的學(xué)生能夠用含有字母a的式子表達(dá)未知數(shù)x（其中只有21.2%的學(xué)生對(duì)結(jié)果作了約分）.在解決二元一次方程組問題時(shí)（兩個(gè)方程均含有2個(gè)未知數(shù)），作為“代入思想”的第一步，學(xué)生應(yīng)明晰如何用一個(gè)未知數(shù)（字母）表示另一個(gè)未知數(shù).結(jié)合學(xué)生在該任務(wù)上的表現(xiàn)，學(xué)生在“代入思想”第一步上已經(jīng)面臨了不小的問題，其中24.2%的學(xué)生令a為具體某一數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，說明學(xué)生對(duì)字母型常數(shù)a的理解存在一定的難度.此外，12.1%的學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，15.2%的學(xué)生不理解題意，表明在接下來的教學(xué)中需加強(qiáng)帶有字母型常數(shù)方程的計(jì)算.

表2　學(xué)生在問題1任務(wù)Ⅱ上的典型表現(xiàn)

2.學(xué)生在問題2～問題4上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

（1）在任務(wù)Ⅰ上的表現(xiàn).

學(xué)生在任務(wù)Ⅰ上的作答表現(xiàn)如表3.問題2～問題4中任務(wù)Ⅰ的正確率逐漸降低，這可能是由于方程系數(shù)逐漸增大造成的.平均23.3%的學(xué)生能正確地用含x的式子表示y（或用含y的式子表示x），求出所有的正整數(shù)解.平均僅37.3%的學(xué)生只能正確地用含x的式子表示y.而在此之后，學(xué)生的計(jì)算面臨了新的困難：平均有16.2%的學(xué)生無法求出所有的正整數(shù)解（僅選擇若干為正整數(shù)的x代入式子，求出的答案不完備），平均有11.1%的學(xué)生不會(huì)找到滿足條件的x的值，進(jìn)而代入求出相應(yīng)的y.為此，筆者訪談了出現(xiàn)這種情況的幾位學(xué)生.其中一位無法確定相應(yīng)的x的值的學(xué)生A說：“我能對(duì)方程變形，但有兩個(gè)未知數(shù)，又沒有已知的x或y，我不知道怎么求.”只能找到部分整數(shù)解的學(xué)生B說：“我把方程變形后，知道x是正整數(shù)，所以我選擇從x=1，2，3，…開始代入，但發(fā)現(xiàn)求得的y的值有整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，就認(rèn)為我的計(jì)算出現(xiàn)了錯(cuò)誤，但又不知道怎么解決，就放棄不做了.”同樣求解不完全的學(xué)生C說：“我認(rèn)為二元一次方程的正整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，所以寫出一部分就可以了.”說明學(xué)生對(duì)二元一次方程的整數(shù)解的求解仍存在很大的困難，在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，仍需有重點(diǎn)的講解.需要指出的是，一些學(xué)生盡管不能用x表示y（或用y表示x）進(jìn)而用代入法進(jìn)行計(jì)算，但其基本理解了“二元一次方程組的解是同時(shí)滿足兩個(gè)二元一次方程的公共解”，只是在求解方法上尚未掌握更加高效的“代入法”.比如，平均有26.2%的學(xué)生嘗試用“湊”的辦法湊齊滿足條件的解（盡管這其中僅有一半的學(xué)生得出完備答案）.實(shí)際上，對(duì)于復(fù)雜問題，“湊出所有解”顯然是低效甚至無效的策略，但持這些策略的學(xué)生在“方程組的解是公共的”上有了一定理解，有待加強(qiáng)的是其對(duì)“代入思想”的理解.

表3　學(xué)生在問題2～問題4任務(wù)Ⅰ上的典型表現(xiàn)

（2）在任務(wù)Ⅱ上的表現(xiàn).

學(xué)生在問題2～問題4任務(wù)Ⅱ中的表現(xiàn)如表4.

在問題2中，只有9.1%的學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤.此外，筆者在問題2中額外設(shè)計(jì)了一個(gè)任務(wù)（見表1）“y的值還有其他可能的結(jié)果嗎？”有27.3%的學(xué)生認(rèn)為“有其他可能”或“不確定”，這說明他們?cè)凇岸淮畏匠讨?，確定其中一個(gè)未知數(shù)時(shí)，另一個(gè)未知數(shù)有相應(yīng)的唯一的值與它對(duì)應(yīng)”的理解不到位，在后續(xù)的教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)并鞏固.

在問題3中，有87.9%的學(xué)生能求出x并代入第一個(gè)方程求解（盡管有3.1%的學(xué)生出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤），有12.1%的學(xué)生沒有代入求解.

在問題4的任務(wù)Ⅱ中則出現(xiàn)了兩個(gè)二元一次方程，學(xué)生本就對(duì)求一個(gè)二元一次方程的解存在困難，所以本題中有45.4%的學(xué)生不能理解題意，無法計(jì)算.12.1%的學(xué)生通過求兩個(gè)二元一次方程的公共整數(shù)解求得答案，39.4%的學(xué)生選擇通過湊出各個(gè)方程的整數(shù)解求出公共整數(shù)解.這說明學(xué)生對(duì)于接下來要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解的定義理解的很好，所以在教學(xué)設(shè)計(jì)中可簡單帶過.而對(duì)于用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)并“代入”的方法，學(xué)生存在很大的困難，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)，所以讓學(xué)生順其自然地想到用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)并“代入”求方程組的解是本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)要解決的問題，接下來的教學(xué)設(shè)計(jì)將會(huì)詳細(xì)解釋. 3.1%的學(xué)生也即有1位學(xué)生通過分別把兩個(gè)方程用含x的式子表示y，令y相等，求出答案.這是對(duì)兩個(gè)方程的公共解的另一種解讀，不失為一種好方法，根本也是消元，在以后的教學(xué)中可以學(xué)習(xí).

表4　學(xué)生在問題2～問題4任務(wù)Ⅱ上的典型表現(xiàn)

3.學(xué)生在問題5上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

表5　學(xué)生在問題5上的典型表現(xiàn)

從問題5上的學(xué)生表現(xiàn)可以看出，在遇到一次方程的應(yīng)用時(shí)，45.4%的學(xué)生選擇用一元一次方程的方法解決問題.18.1%的學(xué)生延續(xù)用小學(xué)時(shí)期用的假設(shè)法解決問題，而不選擇方程，說明這部分學(xué)生的方程思想意識(shí)還不夠強(qiáng)烈，在后續(xù)的教學(xué)及訓(xùn)練中應(yīng)加強(qiáng).有33.3%的學(xué)生能夠列出兩個(gè)二元一次方程解決問題，表明這些學(xué)生有強(qiáng)烈的方程意識(shí)，其中18.1%的學(xué)生根據(jù)題目的實(shí)際意義求出兩個(gè)方程的公共整數(shù)解，得到正確答案.表明這部分學(xué)生在接受新知識(shí)及運(yùn)用新知識(shí)的能力上是很高的.

三、教學(xué)路徑設(shè)計(jì)

筆者從前測的診斷中，找出學(xué)生學(xué)習(xí)代入法解二元一次方程組遇到的難點(diǎn)，并依次設(shè)計(jì)突破相關(guān)難點(diǎn)的教學(xué)過程.

（一）二元一次方程的整數(shù)解

從前測中的問題2～問題4的任務(wù)Ⅰ的學(xué)生表現(xiàn)可知，僅平均23.3%的同學(xué)能依據(jù)方程變形求出二元一次方程的整數(shù)解.37.3%的學(xué)生能對(duì)方程正確變形，卻無法確定相應(yīng)全部的正整數(shù)解.所以本節(jié)課在學(xué)習(xí)“代入法”解二元一次方程組之前，選擇雞兔同籠問題作為情境引入，即教學(xué)診斷中的第5題解決二元一次方程的整數(shù)解的問題.

具體過程如下：

（2）解決問題情境中的問題，即求出二元一次方程組的解.易知二元一次方程x+y=35的正整數(shù)解有34個(gè).對(duì)于二元一次方程2x+4y=94，假設(shè)籠子里全是雞，也即y= 0，易知x=47，所以根據(jù)實(shí)際意義可知，1≤x≤47，且x只取正整數(shù)，有47種可能，但這47種可能里只有部分x，滿足y也是正整數(shù).同理假設(shè)籠子里全是兔子，也即x=0，則1≤y≤23，且y只能取正整數(shù)，y有23種可能，所以我們選擇把原方程變形為用含y的式子表示x，即x=47-2y，令y= 1，2，3，…，求出相應(yīng)的x的值.從而求出公共解.該情境既引入了二元一次方程組、二元一次方程組的解的定義，又解決了求二元一次方程正整數(shù)解時(shí)如何確定其中一個(gè)未知數(shù)的值的問題.

（二）“代入法”求二元一次方程組

（1）解下列方程組：

學(xué)生在教學(xué)診斷中問題2～問題4的任務(wù)Ⅱ中的表現(xiàn)為：問題2中任務(wù)Ⅱ的計(jì)算正確率為90.1%，問題3中任務(wù)Ⅱ的計(jì)算正確率為84.8%，表明大多數(shù)學(xué)生對(duì)于二元一次方程組，若其中一個(gè)為一元一次方程，都能理解并解決.所以在引入二元一次方程組后，設(shè)計(jì)①、②題做為引入，第③題進(jìn)一步給出其中一個(gè)方程用含x的式子表示y的形式，引導(dǎo)學(xué)生采取代入法替換y，達(dá)到消元的目的.第④題給出依據(jù)第③題中的式子y=x-1回歸到一般的二元一次方程的形式，讓學(xué)生比較兩題異同，逆推到變形代入，從而引出對(duì)一般二元一次方程組代入消元的方法.第⑤題引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)一般的二元一次方程組如何選擇方程變形代入消元.從而較為順利自然地解決本節(jié)課的重點(diǎn)及難點(diǎn).

四、教學(xué)效果檢測及教學(xué)設(shè)計(jì)反思

（一）任務(wù)設(shè)計(jì)

教學(xué)效果檢測是基于學(xué)前診斷作出的比較研究.依據(jù)學(xué)前診斷的任務(wù)設(shè)計(jì)，為方便數(shù)據(jù)對(duì)比，設(shè)計(jì)教學(xué)效果檢測.其中，效果檢測中題目的程度變的復(fù)雜，即問題1中出現(xiàn)較為復(fù)雜的括號(hào)，問題2～問題4中未知數(shù)系數(shù)為大于5的整數(shù)，加大了計(jì)算難度.本試卷中的問題5類似于學(xué)前診斷中的問題5，在列方程時(shí)，系數(shù)中出現(xiàn)小數(shù)，加大了計(jì)算難度，綜合考查學(xué)生列方程解應(yīng)用題的能力，方便比較學(xué)生前后差異.

（二）認(rèn)知分析

表6　后測任務(wù)設(shè)計(jì)

試卷下發(fā)32份，收回32份，有效試卷32份.

1.學(xué)生在問題1上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

學(xué)生在題目1的第（1）小題有30人回答正確，即有90.9%的正確率，而9.1%的人出現(xiàn)了錯(cuò)誤，說明仍有小部分學(xué)生在解決較復(fù)雜的一元一次方程的問題時(shí)，還存在一定的問題.需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)練習(xí).

學(xué)生在任務(wù)Ⅱ上的表現(xiàn)如表7所示，從表7與前側(cè)（表2）相比較可知，學(xué)生在計(jì)算帶有字母a的常數(shù)時(shí)，正確率有了一定的提高；令a為某一數(shù)值的學(xué)生有所減少；但出現(xiàn)了4例用未知數(shù)x表示a，說明這部分學(xué)生并未理解題意；同時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤的人數(shù)增加了，說明學(xué)生在解決較復(fù)雜的一元一次方程時(shí)，出現(xiàn)了一定的困難，在后續(xù)練習(xí)中需加強(qiáng)鞏固.

表7　學(xué)生在任務(wù)Ⅱ上的表現(xiàn)（后測）

2.學(xué)生在問題2～問題4上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

由表8可知，平均62.5%的學(xué)生能正確地用含x的式子表示y（或用含y的式子表示x），求出所有的正整數(shù)解，3.1%的學(xué)生不能正確地將方程變形，7.3%的學(xué)生湊出整數(shù)解，仍有14.6%的學(xué)生無法確定x的取值，不能求出所有的解.表明教學(xué)相對(duì)成功，但后續(xù)工作中仍需要加強(qiáng)練習(xí).

表8　學(xué)生在問題2～問題4任務(wù)Ⅰ上的典型表現(xiàn)

學(xué)生在問題2～問題4中任務(wù)Ⅱ的表現(xiàn)見表9.

由表9知，學(xué)生在問題2中的正確率有很大的提高，但仍有12.5%的學(xué)生對(duì)y否有其他值不能理解.問題4中有87.5%的學(xué)生能夠正確地列出二元一次方程組，說明大部分學(xué)生對(duì)二元一次方程組的理解還算到位，只有59.4%的學(xué)生計(jì)算正確，說明學(xué)生對(duì)于新知識(shí)中的計(jì)算仍需加強(qiáng).

表9　學(xué)生在問題2～問題4任務(wù)Ⅱ上的典型表現(xiàn)

3.學(xué)生在問題5上的表現(xiàn)及其認(rèn)知分析

表10　學(xué)生在問題5上的典型表現(xiàn)

表10中學(xué)生的正確率為78.1%，所以，學(xué)生對(duì)于二元一次方程組的“代入法”已基本掌握.表明課堂效果較好，教學(xué)設(shè)計(jì)相對(duì)成功.

（三）教學(xué)設(shè)計(jì)反思

基于學(xué)前診斷與學(xué)后檢測的比較分析可知，基于學(xué)前診斷的認(rèn)知分析有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)過程，在教學(xué)上能夠真正做到以學(xué)生為主體，并有效抓住教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)效果也顯示教學(xué)相對(duì)成功.但也有值得反思的地方：（1）在做學(xué)前診斷中的問題2～問題4時(shí)，學(xué)生大部分時(shí)間都在解決求整數(shù)解的問題，而沒有考慮兩個(gè)二元一次方程間的關(guān)系，說明診斷問題中的重點(diǎn)失之偏頗.（2）此種方法不適合針對(duì)每一節(jié)課，在如何快速收集資料等方面仍需不斷改進(jìn).H