張新松

函數(shù)問題錯(cuò)解鉤沉

張新松

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是形成數(shù)學(xué)思想的核心之一，本文對(duì)同學(xué)們?cè)诮忸}中常見的錯(cuò)誤略作分析，以期對(duì)大家的復(fù)習(xí)有所幫助.

一、與函數(shù)概念有關(guān)的錯(cuò)解

例1如果關(guān)于x的函數(shù)y=（m-3）xm2-3m+2+ mx+1是二次函數(shù)，則m的值一定是（）.

A.0B.3C.2D.0或3

【錯(cuò)解】由m2-3m+2=2，解之得m1=0，m2= 3，故選D.

【正解】沒有考慮到二次項(xiàng)系數(shù)m-3≠0，即m≠3，故選A.

二、與函數(shù)圖像有關(guān)的錯(cuò)解

例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

?

寫出該拋物線的對(duì)稱軸.

【錯(cuò)解】由表中觀察可得該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.

【正解】實(shí)際上，點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（3，1）和直線x=1并不“等距”，正確的答案為：該拋物線的對(duì)稱軸為直線

例3若函數(shù)y=（m-1）x2+6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

【錯(cuò)解】因?yàn)楹瘮?shù)y=（m-1）x2+6x+1的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以判別式Δ=0，由62-4×（m-1）×1=0，得m=10.

【正解】實(shí)際上，題中并沒有指明該函數(shù)為二次函數(shù)，因此，不存在m-1≠0（即m≠1）這樣一個(gè)前提條件，當(dāng)m=1時(shí)，直線y=6x+1的圖像與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn)，故m的值為10或1.

我們知道，若m-1≠0，m-1越小，拋物線y=（m-1）x2+6x+1的開口越大，當(dāng)m-1趨近于0時(shí)，拋物線趨近于一條直線，因此，拋物線向直線的漸變也是一個(gè)量變到質(zhì)變的過程.

例4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c過A（1，2）、B（3，1）兩點(diǎn)，若在該拋物線上找一點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有_______個(gè).

【錯(cuò)解】分別以A、B為圓心，AB長為半徑作弧，均與拋物線相交，得到2個(gè)滿足條件的點(diǎn)；作線段AB的垂直平分線，與拋物線相交，得到滿足條件的第3個(gè)點(diǎn).因此，滿足條件的點(diǎn)共有3個(gè).

圖1

【正解】還存在滿足條件的第4個(gè)點(diǎn)，理由如下：首先，求出拋物線的解析式為y=x2-，直線AB的解析式為，設(shè)直線AB和x軸、y軸分別交于點(diǎn)E（5，0）、，線段AB的垂直平分線l分別交AB和x軸于點(diǎn)C、D，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求點(diǎn)C坐標(biāo)為利用△ECD∽△EOF，可求點(diǎn)D坐標(biāo)為，從而求出直線l的解析式為，和拋物線的解析式y(tǒng)=聯(lián)立，消去y，整理得關(guān)于x的一元二次方程，該方程的判別式Δ=，所以直線l和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).

三、與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的錯(cuò)解

例5已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，求k、b的值.

【錯(cuò)解】由題意知直線y=kx+b過點(diǎn)（1，3）和（4，6）兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，即可求出k=1，b=2.

【正解】上述的解法是想當(dāng)然地認(rèn)為y隨x的增大而增大，實(shí)際上也可能y隨x的增大而減小，這時(shí)將兩點(diǎn)的坐標(biāo)（1，6）和（4，3）代入解析式，即可求出另一組值：k=-1，b= 7.所以，正確的答案為：k=1，b=2或k=-1，b=7.

例6已知函數(shù)y=x2-4x+3，當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍.

【錯(cuò)解】把x=-1和x=3分別代入解析式，得y的相應(yīng)值為8和0，所以y的取值范圍為0＜y＜8.

【正解】因?yàn)閥=x2-4x+3=（x-2）2-1，該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，而x的取值范圍-1＜x＜3在對(duì)稱軸的兩側(cè)，其增減性不同，因此，y的取值范圍包含最小值-1，所以，正確的答案為：-1≤y＜8.

四、與函數(shù)自變量取值范圍有關(guān)的錯(cuò)解

例7已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸的交點(diǎn)為（a，0），（b，0），求a2+b2的最小值.

【錯(cuò)解】因?yàn)閍2+b2=（a+b）2-2ab=（2m）2-2（m2+m+2）=，所以，當(dāng)m=時(shí)，所求最小值為

【正解】上述的錯(cuò)解是忽視了拋物線與x軸有交點(diǎn)的條件，即要判別式Δ≥0，正確的解法應(yīng)當(dāng)是：由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2，在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)值隨自變量的增大而減小，所以，m=-2時(shí)，a2+b2的最小值為8.

例8如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)M，連接QP.已知AD=13，AB=5，AP=x，BQ=y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.

圖2

【正解】上述解答錯(cuò)誤在自變量的取值范圍，由題中“線段BP的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)Q”，可知點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)是點(diǎn)C.令=13，解之得x1=1，x2=25（舍去），所以x的取值范圍為1≤x≤13.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）