李傳軍，陳 浩，楊 競，雒新宇

(1.承德石油高等專科學校 資產與后勤管理處，河北 承德 067000；2.中國鐵道科學研究院 標準計量研究所中鐵檢驗認證中心，北京 100083)

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基于NLopt的幾何誤差評定算法模型實現(xiàn)

李傳軍1，陳 浩2，楊 競1，雒新宇1

(1.承德石油高等?？茖W校 資產與后勤管理處，河北 承德 067000；2.中國鐵道科學研究院 標準計量研究所中鐵檢驗認證中心，北京 100083)

在基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包下，應用VC++和MATLAB設計開發(fā)各類算法的幾何誤差評定軟件和評定結果可視化。通過對多組測量數(shù)據(jù)的處理，驗證幾何誤差算法的準確性、高精度和軟件的可行性，為復雜形狀的幾何誤差評定實現(xiàn)提供實際應用價值。

幾何誤差；形狀要素；評定算法；可行性；準確性

要判定零件加工是否滿足要求，就要對其幾何誤差進行準確測量和對所得數(shù)據(jù)進行誤差評定。幾何誤差判定結果做為零件合格與否的重要依據(jù)，也為提高零件加工質量提供保證[1]。

1 各類幾何誤差的數(shù)學模型

1.1 幾何誤差項目

根據(jù)新一代產品幾何技術規(guī)范，形狀誤差[1]根據(jù)誤差分類情況主要包括項目如表1所示。

1.2 幾何誤差的數(shù)學模型

幾何誤差主要包括直線度誤差、平面度誤差、圓度誤差和圓柱度誤差。幾何誤差的數(shù)學模型主要采

用最小區(qū)域法和最小二乘法。在圓度誤差和圓柱度誤差算法處理過程中還可以采用最小外接圓法和最大內接圓法。

2 幾何誤差模型算法設計及實現(xiàn)

對數(shù)據(jù)擬合和誤差值計算有多種方法[2-9]，相比于其他算法，由于NLopt采用C/C++語言，非線性最優(yōu)化軟件包也是開放的，便于研究算法的具體實現(xiàn)過程以及算法的可行性，因此選用基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包的算法進行誤差評定。NLopt算法簡潔且計算精度高，只需要構造合適的目標函數(shù)和邊界值即可。

表1 幾何誤差項目

目標函數(shù)的獲得是根據(jù)第1部分建立的各幾何形狀的數(shù)學模型和評定準則，擬合算法的目標函數(shù)；邊界值的估計由Eigen(Eigen是一個數(shù)據(jù)處理函數(shù)庫)中奇異值分解的軟件包，只需要按照其使用方法來設計相關函數(shù)和程序即可。

通過已建立好的目標函數(shù)和從奇異值分解獲得估計初值，就可以實現(xiàn)對各幾何形狀的擬合和誤差評定[9,10]。下面以圓度和圓柱度為例進行算法設計。

2.1 圓度的算法設計

1)最小區(qū)域法。圓度的最小區(qū)域法的目標函數(shù)如式(1)，即：

FMZ(x0,y0)=fmax-fmin=min

(1)

對于平面圓的最小區(qū)域法而言，其初始值估計共有兩個參數(shù)，另外x0、y0分別是測量點的兩個算術平均值，即x0=∑，y0=∑，為實際測量點到評定基準圓圓心的最大、最小距離。

得到目標函數(shù)和初始值之后就可以基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包計算出參數(shù)的優(yōu)化值，由式(1)即可得到所求誤差值。

2)最小二乘法。圓度的最小二乘法的目標函數(shù)如式(2)，即：

(2)

3)最小外接圓法。圓度的最小外接圓法的目標函數(shù)如式(3)，即：

FME(x0,y0)=fmax=min

(3)

對于平面圓的最小外接圓法而言，其初始值估計共有兩個參數(shù)，x0、y0分別是測量點的兩個算術平均值，即x0=∑,y0=∑。

得到目標函數(shù)和初始值之后就可以基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包計算出參數(shù)的優(yōu)化值，由圓度誤差值 均可表示為：

f=fmax-fmin

(4)

其中fmax，fmin為實測點到圓心的最大、最小距離。

4)最大內接圓法。圓度的最大內接圓法的目標函數(shù)如式(5)，即：

FMI(x0,y0)=fmin=max

(5)

2.2 圓柱度的算法設計

1)最小區(qū)域法。圓柱度的最小區(qū)域法的目標函數(shù)如式(6)，即：

FMZ(a,b,c,x0,y0,z0)=fmax-fmin=min

(6)

對于圓柱的最小區(qū)域法而言，其初始值估計共有六個參數(shù)，即a,b,c,x0,y0，其中a為圓柱軸線的方向余弦，x0、y0、z0為圓柱軸線上一點三個坐標值。由于圓柱的初值估計較為復雜，故使用已知的擬合結果在數(shù)值上減去1作為下邊界值。

設基準圓柱半徑為r，各種評定方法的圓柱度誤差值f均可以表示為：

f=fmax-fmin

(7)

上式中fmax和fmin分別表示為實際測量點到基準圓柱軸線的最大和最小距離。

2)最小二乘法。其目標函數(shù)如式(8)，即：

FLS(a,b,c,x0,y0,z0,r)=∑(fi-r)2=min

(8)

3)最小外接圓柱法。圓柱度的最小外接圓柱法的目標函數(shù)如式(9)，即：

FME(a,b,c,x0,y0,z0)=fmax=min

(9)

4)最大內接圓柱法。圓柱度的最大內接圓柱法的目標函數(shù)如式(10)，即：

FMI(a,b,c,x0,y0,z0)=fmin=max

(10)

3 幾何誤差模型算法驗證——以圓柱度評定為例

為驗證基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包開發(fā)的軟件的正確性，應用該軟件進行了多組測量數(shù)據(jù)的處理，應用軟件的評定結果與美國國家標準和技術研究院(NIST)給出的評定結果比較，均驗證了本軟件的準確性和實用性?，F(xiàn)給出圓柱度的評定結果。

1)評定數(shù)據(jù)。評定數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 圓柱度誤差評定數(shù)據(jù) μm

2)評定結果。根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，得到表3和表4所示的圓柱度誤差評定結果。

3)可視化結果。根據(jù)表2數(shù)據(jù)，圓柱度誤差評定的可視化圖形如圖3所示。

表3 圓柱度誤差評定結果一 μm

表4 圓柱度誤差評定結果二 μm

4 結束語

本文主要以各種幾何形狀的擬合及其誤差評定為研究對象，主要研究了：

1)在基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包下，應用VC++設計開發(fā)了幾何誤差的評定程序，使運行結果更加準備和直觀。

2)以圓柱度幾何誤差評定為例進行算法驗證。

[1] 產品幾何量技術規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測規(guī)定[S]．GB 1958—2004．

[2] 李淑娟．基于坐標測量數(shù)據(jù)的形狀誤差評定軟件包的開發(fā)[D]．西安：西安理工大學，2006．

[3] 陳永鵬．基于MATLAB優(yōu)化工具箱的機械產品形狀誤差評定系統(tǒng)研究[D]．成都：四川大學，2003．

[4] Doxygen，Main Page．http：//eigen.tuxfamily.org/dox/index.html，2009-05-09．

[5] Steven G，Johnson，NLopt manual．http：//ab-initio.mit.edu/wiki/index.php，2009-11-21．

[6] 熊有倫．最小區(qū)域的判別準則計算仲裁[J]．計量學報，1987，8(2)：126-133．

[7] 趙維謙，譚久彬，楊文國，等．基于兩步法超精密圓度儀誤差分離系統(tǒng)[J]．中國機械工程，2000，11(11)：1206-1208．

[8] 羅小燕，姜志宏，肖鋒，等．大型回轉類零件形位誤差測量系統(tǒng)的研究[J]．機械設計與制造，2010，7(7):108-109．

[9] 姜麗華．非接觸式實時在線線徑測量系統(tǒng)的研究與開發(fā)[D]．大連：大連理工大學，2005．

[10] 李傳軍，李振華．三維空間刀具半徑補償算法實現(xiàn)[J]．承德石油高等?？茖W校學報，2014，16(5):29-32．

Geometric Error Evaluation Algorithm Based on NLopt Model Implementation

LI Chuan-jun1， CHEN Hao2， YANG Jing1， LUO Xin-yu1

(1.Assets and Logistics Administration Section， Chengde Petroleum college， Chengde 067000, Hebei, China; 2.China Railways Production Certification Center， China Academy of Railway Sciences, Beijing 100083, China)

Under the nonlinear optimization software package based on NLopt, this paper uses VC++ and MATLAB to design and develop all kinds of algorithm of geometric error evaluation software and visual evaluation results. Multiple sets of measurement data processing is applied to validate the accuracy of the algorithm on form and position errors, high precision and the feasibility of the software, and provide practical application value for complex shape of form error evaluation implementation.

geometric error; shape factor; evaluation algorithm; feasibility; accuracy

河北省科技技術計劃項目(基于曲面直接插補的空間刀具補償技術研究)：13211825

2016-06-20

李傳軍(1975-)，男，吉林蛟河市人，承德石油高等專科學校資產與后勤管理處副教授，博士生，研究方向：開放式數(shù)控系統(tǒng)、數(shù)控技術和曲面插補。

TB921

A

1008-9446(2016)05-0043-04