王鐵成， 陳國平， 馬 方， 孫東陽

(1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術學院汽車工程學院 鹽城，224005) (3.重慶大學航空航天學院 重慶，400044)

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部件柔性對含間隙多體系統(tǒng)動力特性的影響*

王鐵成1， 陳國平1， 馬 方2， 孫東陽3

(1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術學院汽車工程學院 鹽城，224005) (3.重慶大學航空航天學院 重慶，400044)

構建了含有混合間隙的剛柔耦合多體系統(tǒng)動力學模型，研究了部件柔性對多體系統(tǒng)動力特性的影響。首先，建立了混合間隙碰撞力模型；然后，以曲柄滑塊為研究對象，采用自然坐標法和絕對節(jié)點坐標法分別建立了剛性構件和柔性構件的動力學模型，通過時域和頻域分析了連桿柔性對動力特性的影響。結果表明，柔性構件對間隙碰撞力有一定的緩沖作用，能緩沖碰撞的高頻振動，而且柔性部件隨著彈性模量的減小對高頻響應的緩沖效果更加明顯。

滑移副間隙; 旋轉副間隙; 多體系統(tǒng); 動力特性

引 言

在機械系統(tǒng)中，由于加工、裝配以及工作過程中的磨損，機械系統(tǒng)的運動副普遍存在間隙。間隙是部件間產生碰撞沖擊的根源，碰撞沖擊不僅使機構產生振動和噪聲，而且降低系統(tǒng)的可靠性、壽命以及工作精度。隨著機械系統(tǒng)向大型化、輕質和高速方向發(fā)展，部件柔性對系統(tǒng)有一定的影響，所以分析部件柔性對含間隙機械系統(tǒng)動力特性的影響是必要的。

在含間隙多體系統(tǒng)動力學研究方面，Flores[1-2]等做了大量的研究工作，包括含單個旋轉副間隙系統(tǒng)以及含多個旋轉副間隙的平面多體系統(tǒng)，提出了一種含有多個旋轉副間隙的多體系統(tǒng)建模方法。針對柔性多體系統(tǒng)，Bauchau等[3]通過浮動坐標和有限元方法建立了含間隙柔性曲柄滑機構動力學模型，研究了間隙大小等因素對系統(tǒng)動力特性的影響，計算結果表明，多體系統(tǒng)部件柔性能夠抑制碰撞力峰值。Muvengei等[4]將Lugre摩擦力引入計算模型中，研究了含兩個旋轉副間隙平面多剛體系統(tǒng)的動力學特性。郝雪清等[5]研究了不同運動副材料對間隙機構動力學特性的影響。谷勇霞等[6]對含多間隙帆板展開過程進行了研究，通過帆板展開過程中角速度的變化，分析了間隙碰撞對展開機構的穩(wěn)定性的影響。Flores等[7-8]開展了含有移動副間隙的多體動力特性的研究。在高速運動過程中，柔性部件會產生動力剛化和大變形，應用傳統(tǒng)有限元法建立的動力學模型已不能滿足計算精度要求，甚至會在計算過程中出現難以收斂的問題。Shabana[9]以有限元和連續(xù)介質力學為基礎，提出了采用絕對節(jié)點坐標建立柔性多體模型的理論，這種方法可以有效彌補傳統(tǒng)有限元在計算多體系統(tǒng)高轉速和大變形等情況下的缺陷。Tian等[10-11]基于絕對節(jié)點坐標方法分別研究了平面和空間含有單個間隙的柔性系統(tǒng)動力特性，研究發(fā)現，柔性系統(tǒng)模型中的間隙碰撞力比剛體系統(tǒng)要小。

筆者采用自然坐標法和絕對節(jié)點坐標法分別建立了剛性構件和柔性構件的動力學模型，以曲柄滑塊機構為研究對象，通過時域和頻域分析了連桿柔性對機構動力特性的影響。

1 間隙模型

1.1 旋轉副間隙模型

軸與軸承的中心距矢量和中心距分別表示為

(1)

(2)

軸與軸承接觸點的單位法向量表示為

(3)

圖1 旋轉副間隙模型Fig.1 Revolute joint with clear

如圖1所示，當軸和軸承發(fā)生碰撞時，其嵌入深度為

(4)

其中：C為間隙尺寸，其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差，即C=Ri-Rj。

體i和體j的接觸點Qi和Qj在全局坐標系中的矢量為

(5)

將式(5)對時間求導，得到接觸點Qi和Qj的全局速度矢量

(6)

將接觸點速度向接觸面的法向和切向進行投影得到法向速度vN和切向速度vT，相對法向速度確定兩個碰撞體是相對接近還是分離情況，相對切向速度確定兩個體是否存在相對滑動。相對法向和切向速度可表示為

(7)

(8)

其中：向量n逆時針旋轉90°得到切向量t。

當軸和軸承發(fā)生碰撞時，在碰撞面處就會產生碰撞力，將碰撞力分別向法向n和切向t投影，其中作用在碰撞點處的法向力fn可以表示為

fn=FNn

(9)

考慮到碰撞過程中的能量耗散，Lankarani等提出的連續(xù)碰撞模型[12]是應用非常廣泛的一種碰撞力模型，該碰撞力模型可以表示為

(10)

該碰撞模型只適用于恢復系數接近于1的情況。K為碰撞體的接觸剛度系數，可表示為

(11)

參數hi和hj為

(12)

其中：vk為泊松比；Ek為彈性模量。

當碰撞過程中存在相對切向運動時，會在接觸面上產生摩擦力，根據Ambrósio提出的庫倫摩擦力法則[13]，切向力ft可表示為

ft=-cfcdFNvt/‖vt‖

(13)

其中：cf為摩擦因數；cd為動態(tài)校正系數。

(14)

將作用在體i和體j接觸面上的法向力和切向力分別等效到體i的質心和體j的節(jié)點Oi和Oj，如圖2所示，則作用在體i質心上的力和力矩分別為

fi=fn+ft

(15)

(16)

作用在體j節(jié)點上的力分別為

(17)

圖2 碰撞點的力矢量Fig.2 Force vectors that act at the point of contact

1.2 移動鉸間隙模型

含有間隙的移動副模型如圖3所示，它是由滑塊和導槽構成?；瑝K長為L，高為W，導槽的高為H，間隙大小為C，其表達式為

(18)

圖3 移動副模型Fig.3 Translation joint model

如圖4所示，移動副間隙中滑塊與導槽有4種接觸狀態(tài)：a.自由運動狀態(tài)，即無接觸；b.滑塊一角與導槽接觸；c.側面接觸；d.對角同時接觸導槽。

為建立移動副間隙的受力分析模型，將與體j固連的局部坐標系中由P點指向Q點的單位矢量t′，向慣性坐標系投影可以得到

t=Hjt′

(19)

其中：Hj為體j固連坐標系到總體坐標系的轉換陣。

對體j和體i上的任意點G，用總體坐標系中的坐標可表示為

(20)

圖4 移動鉸4種運動狀態(tài)Fig.4 Four motion state of translation

如圖5所示，導槽PQ邊上離滑塊點Ai距離最近的點Aj在總體坐標中的位置矢量可表示為

(21)

圖5 移動鉸碰轉點矢量Fig.5 The collision point vector of translation joint

連接滑塊上點Ai到導槽上點Aj的矢量為

(22)

判斷d的方向與導槽表面的法向方向n是否一致，可由單位向量t順時針方向旋轉90°得到。則n可表示為

(23)

滑塊和導槽發(fā)生碰撞并有滲透時，滿足下式條件

dTn<0

(24)

根據Lankarani提出的兩平面間線性接觸力模型[14]，滑塊與導槽的碰撞力可表示為

(25)

其中：Ks為接觸剛度。

(26)

其中：a為矩形接觸面周長的一半；hi和hj可由式(12)計算得到。

將滑塊與導槽的碰撞力分別向碰撞面的法向和切向投影，則法向碰撞力fn為

fn=FNn

(27)

作用在滑塊上的摩擦力ft同樣可由式(13)給出。

如圖6所示，將作用在接觸面上的碰撞力等效到滑塊i質心上，則力和力矩分別表示為

fi=fn+ft

(28)

(29)

作用在導槽體j質心上的力和力矩分別為

(30)

(31)

圖6 移動鉸碰撞力矢量Fig.6 The collision force vector of translation joint

2 絕對節(jié)點坐標法與動力學控制方程

2.1 絕對節(jié)點坐標法

基于絕對節(jié)點坐標法的一維兩節(jié)點梁單元如圖7所示，單元上任意點的位置矢量可表示為

(32)

其中:S為定義在總體坐標系上的形函數。

(33)

其中：s1=1-3ξ2+2ξ3；s2=ξ-3ξ2+2ξ3；s3=3ξ2-2ξ3；s4=l(ξ3-ξ2)；ξ=x/l；e為單元節(jié)點坐標。

e[7]表示為

(34)

圖7 平面梁單元Fig.7 Plane beam element

根據式(33)，單元的動能可表示為

(35)

其中：Me=∫ρSTSdV，為單元的常數質量陣；ρ和V分別為材料的密度和單元的體積。

基于虛功原理建立單元的動力學方程

(36)

其中：Qe為單元受到的廣義外力；Qk為單元廣義彈性力。

單元廣義彈性力由單元應變能對單元坐標求偏導獲得

(37)

其中：Ue為單元的總應變能。

根據連續(xù)介質力學理論，單元的總應變能包含彎曲應變能Uel和軸向拉伸應變能Uet，可表示為

(38)

其中：εi和κ分別為單元應變和曲率。

含約束柔性體k的動力學方程為

(39)

其中：Be為布爾矩陣。

2.2 動力學控制方程

基于拉格朗日方法，建立了含約束的剛柔耦合多體系統(tǒng)動力學方程

(40)

式(40)為微分-代數方程，在數值求解過程中有可能出現違約。這里采用Baumgarte違約修正法來抑制求解過程中誤差的增長，則式(40)可以進一步表示為

(41)

其中：α，β為穩(wěn)定性系數，它們的取值范圍在1～50之間。

3 算例分析

以曲柄滑塊機構為例，該曲柄滑塊機構由地面1、曲柄2、連桿3和滑塊4組成，如圖8所示，其相關的結構參數見表1。

圖8 曲柄滑塊示意圖Fig.8 Slide-crank mechanism

Tab.1 Geometric and intertia properties of slide-crank mechanism

構件長度/m質量/kg慣性力矩/(kg·m2)20.050.300.0001030.120.210.0002540.050.140.00025

曲柄滑塊間隙屬性與運動副參數見表2。在剛柔耦合模型中，曲柄和連桿分別采用自然坐標法和絕對節(jié)點坐標法建模。連桿離散為6個一維二節(jié)點絕對節(jié)點坐標梁單元。為對比連桿為剛性的情況，采用自然坐標法建立了曲柄滑塊機構的剛性模型。通過施加外力矩使曲柄以5 kr/min的恒定角速度轉動，并帶動連桿運動。初始時刻，曲柄和連桿都處于水平位置。本研究分析的模型中，設定旋轉副間隙大小和移動副間隙大小是相同的，間隙改變指的是兩種運動副間隙同時改變且相同。

表2 曲柄滑塊機構運動副參數

Tab.2 Parameters used in the dynamic simulation of the slide-crank mechanism with clearance joins

移動副旋轉副滑塊長度/mm滑塊高度/mm彈性模量/GPa泊松比軸半徑/mm彈性模量/GPa泊松比5.08.02070.310.02070.3

為研究部件柔性對碰撞力的影響，首先分析了無間隙、間隙C=0.05和C=0.2 mm時，剛性曲柄滑塊機構的曲柄力矩。三種情況下的曲柄力矩的時域曲線見圖9，有間隙時的頻率成分分布見圖10。由圖9可知，無間隙時，曲柄力矩的峰值在140 Nm左右，而有間隙時，曲柄力矩曲線有很多毛刺，這主要是運動副部件的頻繁接觸碰撞產生的，可見間隙明顯影響了機械系統(tǒng)的動力學特性?？梢园l(fā)現，間隙從0.05mm增大到0.2mm后，曲柄力矩波動峰值有明顯增大，從200Nm左右增大到400Nm左右。由圖10可以看出，間隙增大后，在2 kHz～3 kHz的范圍內仍為高頻成分的主要區(qū)間，但高頻成分的峰值有明顯的增大。

圖9 不同間隙時的曲柄力矩曲線Fig.9 Crank moment for the different clearance

當間隙C=0.05 mm，連桿的彈性模量E為2，6，20和80 GPa時的曲柄力矩結果如圖11所示。可以發(fā)現，曲柄力矩曲線仍有很多毛刺，并且曲柄力矩個別峰值已達到200 Nm。為了分析間隙碰撞對驅動力矩高頻和低頻響應的影響，圖12給出了曲柄力矩頻率分布。由圖可以發(fā)現，隨著連桿彈性模量的降低，曲柄力矩響應的高頻成分也相應有所降低。當E=80 GPa時，高頻成分主要集中在2～2.5 kHz內；當E=20 GPa時，高頻成分集中在1 kHz～2 kHz以內；當E=6 GPa時，高頻成分集中在1 kHz左右;當E=2 GPa時，高頻成分集中500 Hz左右。

圖11 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.05 mm)Fig.11 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

圖12 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.05 mm)Fig.12 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

圖13 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.2 mm)Fig.13 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

圖14 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.2 mm)Fig.14 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

當間隙C=0.2 mm時，曲柄力矩時域曲線和頻率分布分別如圖13和圖14所示。由圖13可以發(fā)現，間隙碰撞對曲柄力矩的影響更加明顯，此時從頻率分布圖上看，隨著彈性模量的降低，高頻成分也隨著降低。由此可見,部件柔性能夠緩沖含間隙機械系統(tǒng)的高頻沖擊響應。

4 結束語

筆者以曲柄滑塊機構為研究對象，建立同時含有移動副間隙和旋轉副間隙的剛柔耦合動力學計算模型，在時域和頻域中分析連桿柔性對曲柄力矩的影響。計算結果表明，連桿的柔性對間隙碰撞有一定的緩沖作用，對高頻振動也有緩沖作用，這種作用隨著連桿彈性模量的減小而更加明顯。所提出的含混合間隙剛柔建模方法以及通過頻率對曲柄力矩的分析，為含有多間隙的高速機構等機械系統(tǒng)的動力特性分析提供了一定的思路，有一定的工程實用價值。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.023

*江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程資助項目

2015-10-19；

2015-12-24

O313.7; TH112

王鐵成，男，1979年2月生，博士生。主要研究方向為復雜結構動力學。曾發(fā)表《基于絕對節(jié)點坐標法的柔性多體系統(tǒng)靈敏度分析》(《振動與沖擊》2015年第34卷第24期)等論文。

E-mail：tiechengw2010@sina．com