李亞紅，王贊芝*，張余萍，馬瑞彥，李世碧，于世龍

（1.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州545006；2.河北工程技術(shù)學(xué)院，河北石家莊050091）

截面對(duì)稱的高層建筑彎曲剪力流計(jì)算

李亞紅1，王贊芝*1，張余萍1，馬瑞彥2，李世碧1，于世龍1

（1.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州545006；2.河北工程技術(shù)學(xué)院，河北石家莊050091）

基于平面假設(shè)和經(jīng)典薄壁桿件理論，通過(guò)對(duì)截面對(duì)稱的薄壁桿件剪力流的計(jì)算與分析，推導(dǎo)了在剪力作用下，具有多室（三室以上）雙對(duì)稱截面高層建筑剪力流的簡(jiǎn)化計(jì)算，為其它復(fù)雜且截面對(duì)稱的薄壁結(jié)構(gòu)剪力流的計(jì)算提供了較精確的依據(jù)，并給出了算例及剪力流分布的圖示結(jié)果．

對(duì)稱；薄壁截面；多室；剪力流

0　引言

薄壁桿件剪力流計(jì)算時(shí)是以薄壁桿件理論和彈性力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，但計(jì)算過(guò)于復(fù)雜［1－3］．一般地，對(duì)于具有n個(gè)室的多室閉口截面薄壁桿件，在剪力Qy作用下，首先在每個(gè)室的任意位置切開(kāi)唯一的切口，使之成為一個(gè)完全開(kāi)口截面桿，開(kāi)口截面在剪力作用下的剪力流為q0，每個(gè)切口處的附加剪力流為qr（r＝1，2，…，n），再根據(jù)切口處兩邊縱向相對(duì)位移為零，推導(dǎo)出第i室切口處的位移協(xié)調(diào)條件，這樣n個(gè)室，就有n個(gè)位移協(xié)調(diào)條件，相當(dāng)于解n階方程，n很大時(shí)，計(jì)算量隨之變大．王忠義等［4－5］在計(jì)算薄壁多室箱型截面結(jié)構(gòu)的剪力流時(shí)，將其歸結(jié)為求解一個(gè)線性方程組，利用方程組系數(shù)矩陣正定的特點(diǎn)，運(yùn)用了平方根解法；王強(qiáng)等［6－7］在薄壁桿件理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出非對(duì)稱多室薄壁箱梁腹板彎曲剪力流的計(jì)算公式；張旭慧［8］運(yùn)用有限元法分析薄壁腹板的剪力流，這些都大大提高了計(jì)算效率和結(jié)果的精度．但在實(shí)際工程和制造領(lǐng)域，雙對(duì)稱截面的薄壁桿件的使用相對(duì)更加廣泛［9］，如矩形或圓形截面的高層建筑等．充分考慮截面的對(duì)稱性可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化剪力流的計(jì)算．基于此，本文在平面假設(shè)的前提下研究雙對(duì)稱截面薄壁桿件彎曲時(shí)的剪力流．

1　具有3室的對(duì)稱閉口截面薄壁桿件剪力流的計(jì)算

1．1閉室的編號(hào)及截面相關(guān)的原始數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)符

各閉室編號(hào)分別為①，②，③，截面上下左右對(duì)稱，其對(duì)稱軸分別作為x，y軸，建立坐標(biāo)系，如圖1所示．

圖1　閉室編號(hào)及截面原始數(shù)據(jù)示意圖Fig.1 Number of close room and coordinate system

1.2切口位置的選擇

切口位置的選擇決定著后續(xù)的簡(jiǎn)化計(jì)算，如圖2所示，切口位置具有對(duì)稱性．

1.3在剪力Qy作用下剪力流q0

因截面為雙對(duì)稱，o x軸，o y軸均為主軸［10］，對(duì)x，y軸的主慣性矩分別為Ix，Iy；對(duì)x，y軸的靜矩分別為Sx，Sy，則在剪力Qy作用下的開(kāi)口截面剪力流的計(jì)算公式為：

圖2　切口位置示意圖Fig.2 Cut position

式（1）中δ為壁厚，計(jì)算時(shí)假設(shè)Qy／Ix=1，利用對(duì)稱性，只需求出關(guān)鍵點(diǎn)的剪力流，得到的剪力流如圖3所示.

1.4各室附加剪力流qi

由于各室的切口是虛擬的，實(shí)際并無(wú)切口，即切口處的相對(duì)縱向位移為0，分別考慮周邊和附加剪力流引起的變形［11］，有第i室的位移協(xié)調(diào)方程為：

圖3　開(kāi)口薄壁截面剪力流q0示意圖Fig.3 Shear fluid q0of open-thin section

式（2）兩邊同時(shí)乘以G得

式（3）中積分i∫表示沿第i室周邊的閉路積分，qi為i室隔壁的第k室的剪力流，積分ik∫表示沿相鄰的i室和k室的公共壁積分［12］．

當(dāng)i＝1，2，3時(shí)，由式（3）列出方程組：

閉口截面薄壁桿件的剪力流q為q0與qi的疊加，最終的剪力流如圖4所示.

1.5對(duì)于此類具有多室閉口截面薄壁桿件剪力流計(jì)算的分析

通過(guò)上述分析，得出以下結(jié)論：

1)將閉口截面通過(guò)切口轉(zhuǎn)化為開(kāi)口截面，剪力作用下相應(yīng)的剪力流也轉(zhuǎn)化為開(kāi)口截面的剪力流與各室附加剪力流的疊加，這樣間接地將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)?個(gè)簡(jiǎn)單易分析的問(wèn)題，起到了化繁為簡(jiǎn)的目的；

2)由圖3可以看出開(kāi)口截面①和③室的剪力流關(guān)于y軸反對(duì)稱，而①室和③室的附加剪力流的大小相等，符號(hào)相反，最后疊加所得的剪力流關(guān)于y軸反對(duì)稱；因此，此類規(guī)則截面薄壁桿件的剪力流，只需選?、偈?、②室進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)對(duì)稱，③室便可直接得到；

圖4　閉口薄壁截面的剪力流q示意圖Fig.4 Shear fluid q of close-thin section

3)切口位置的選擇對(duì)此類規(guī)則閉口截面薄壁桿件剪力流的計(jì)算能否簡(jiǎn)化起到了至關(guān)重要的作用．切口位置關(guān)于y軸對(duì)稱使得中間②室的剪力流q0關(guān)于y軸反對(duì)稱，即而2)得出的q1＝－q3，使得最終計(jì)算出的②室附加剪力流q2=0，這一結(jié)論直接運(yùn)用到工程實(shí)例中，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算步驟．

2　計(jì)算、校核

圖5　底層結(jié)構(gòu)平面圖Fig.5 Plane of bottom struction

圖6　底面剪力及坐標(biāo)系Fig.6 Bottom shear and coordinate system

深圳市統(tǒng)建商業(yè)住宅樓是由兩座塔形主樓構(gòu)成的高層樓房，底層結(jié)構(gòu)平面如圖5所示，底層承受剪力Qx＝0，Qy＝1 037 kN，如圖6所示，計(jì)算出此截面的剪力流（框架剪力墻的墻厚δ=240mm）．

因截面為雙對(duì)稱，o x軸，o y軸均為主軸，Ixy＝0，Ix＝1 591．08m4，Qy／Ix＝0．652 kN／m4，由1.5節(jié)得出的結(jié)論，只需選取3個(gè)室進(jìn)行分析計(jì)算，閉室的編號(hào)及假象的開(kāi)口位置如圖7所示.

根據(jù)1.5節(jié)2），3）可知，只需求得①，②，④室的剪力流即可，④室的附加剪力流為0．設(shè)Qy／Ix=1，開(kāi)口后截面的剪力流q0如圖8所示．

圖7　閉室編號(hào)及假象的切口位置Fig.7 Number of close room and virtual cut position

圖8　高層建筑開(kāi)口截面剪力流q0Fig.8 Shear fluid q0of open-thin section of high rise building

由1.5節(jié)2）知：與①室，②室關(guān)于y軸對(duì)稱的室的附加剪力流的大小分別與①，②相等，符號(hào)相反．

①室的位移協(xié)調(diào)條件為：

因?yàn)镼y／Ix＝0．652 kN／m4，將算得的q1，q2疊加到q0，得到最后的剪力流如圖9所示.

1處上、左、右的剪力流分別為10．78，10．18，0．60；

2處的剪力流為2．03；

3處的剪力流為6．79；

4處的剪力流為8．40；

5處上、左、右的剪力流分別為為15．54，4．94，10．60；

6處下、左、右的剪力流分別23．34，11．20，12．14；

7處的剪力流為9．20；

8處的剪力流為24．14（剪力流的單位均為kN／m）．由于對(duì)稱性其他各室關(guān)鍵點(diǎn)的剪力流省略．

運(yùn)用平方根法進(jìn)行校核：

首先設(shè)Qy／Ix＝1，通過(guò)式（3）得到變形公式：

圖9　高層建筑截面剪力流示意圖Fig.9 Shear fluid of section of high rise building

A是7階對(duì)稱正定矩陣，存在下三角矩陣L滿足A=LLT．求得L后，求解方程組A qi=b，可以轉(zhuǎn)化為求解2個(gè)方程組Lc=b；LTqi=c，得到表1.

由上表可得，①，③，⑤，⑦室的附加剪力流大小相等；②，⑥室的附加剪力流大小相等；④室的附加剪力流為0，這與本文得到的簡(jiǎn)化計(jì)算的結(jié)果基本一致．簡(jiǎn)化計(jì)算后的q1，q2值與表1進(jìn)行對(duì)比，誤差小于0．4％，且來(lái)自計(jì)算中的四舍五入．

表1　方程組的解Tab．1 Solution of equation group

3　結(jié)論

本文基于平面假設(shè)及經(jīng)典薄壁桿件理論［13－14］，通過(guò)對(duì)雙對(duì)稱薄壁桿件剪力流計(jì)算的研究和分析，得出以下結(jié)論：

1）具有雙對(duì)稱截面的等厚薄壁桿件在關(guān)于主軸對(duì)稱的荷載的作用下，剪力流同樣具有對(duì)稱性，為簡(jiǎn)化剪力流的計(jì)算和討論其影響提供了新方法；

2）本文論述的剪力流簡(jiǎn)化計(jì)算方法與非對(duì)稱截面薄壁桿件的有所不同；

本文充分利用薄壁桿件截面的對(duì)稱性，選取具有對(duì)稱性的開(kāi)口位置，開(kāi)口薄壁截面也就具有對(duì)稱性，由式（1）和圖3可知，開(kāi)口截面的剪力流也具有對(duì)稱性，然后通過(guò)公式推導(dǎo)得到1．5節(jié)的理論分析結(jié)果，減少計(jì)算附加剪力流過(guò)程中未知量的個(gè)數(shù)，為工程實(shí)例中薄壁桿件截面剪力流的簡(jiǎn)化計(jì)算提供了一定的依據(jù)．

3）本文論述的剪力流計(jì)算方法較常規(guī)的剪力流計(jì)算有一定先進(jìn)性，簡(jiǎn)化步驟的同時(shí)還有較高的精度，但是也存在局限性，薄壁桿件的厚度相等是本文結(jié)論成立的前提條件．

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［2］王敏中，王煒，武際可．彈性力學(xué)教程［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2011．

［3］吳家龍．彈性力學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2011．

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［5］王忠義，程安寧．多層樓式截面剪力流的計(jì)算［J］．西安礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，17（2）：184－188．

［6］王強(qiáng)，姜天華，鄒垚，等．多室薄壁箱梁腹板彎曲剪力流計(jì)算及截面參數(shù)分析［J］．武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，39（2）：140－144．

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［13］廖桂紅．張敏．局部設(shè)縫短肢剪力墻靜力彈塑性分析［J］．廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，25（1）：18－22．

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（學(xué)科編輯：黎婭）

Calculation of shear flow in high rise building with symmetrical section

LI Ya-hong1,WANG Zan-zhi*1,ZHANG Yu-ping1,MA Rui-yan2,LI Shi-bi1,YU Shi-long1
（1.School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006,China;2.Hebei Polytechnic College,Shijiazhuang050091,China）

Through calculating and analyzing the shear flow of thin-walled bar with three closed chamber and symmetrical section,the simplified calculation of the shear flow of the high rise building section with multi-chamber (three rooms above)is deduced under the action of shear,the accurate basis is provided for the calculation of shear flow of thin-wall structure with other complex and symmetrical section.The calculation examples and the shear flow distribution results are shown.

symmetry;thin walled section;multi-chamber;shear flow

TU33

A

2095-7335（2016）04-0081-06

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.04.015

2016－05－16

廣西科技大學(xué)博士基金科研項(xiàng)目（院科博0901）資助．

王贊芝，博士，副教授，研究方向：橋梁與隧道工程，E－mail：568175754＠qq．com．