李帥領(lǐng)

透過表面看實(shí)質(zhì)：新定義型問題

李帥領(lǐng)

“新定義”型問題是指在問題情境中定義一些沒有學(xué)過的新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，需要大家結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.近年來中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“新定義”型問題，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)該重視培養(yǎng)閱讀理解新知識(shí)并應(yīng)用新知識(shí)解決問題的能力.

例1（2015·慶陽）定義運(yùn)算max｛a，b｝，當(dāng)a≥b時(shí)，max｛a，b｝=a；當(dāng)a

圖1　

（3）用分類討論的方法，求max｛2x+1，x-2｝的值.

（3）分2x+1≥x-2和2x+1＜x-2兩種情況討論.

（2）x的取值范圍為-3≤x＜0或x≥2.

（3）①當(dāng)2x+1≥x-2，即x≥-3時(shí)，max｛2x+1，x-2｝=2x+1；

②當(dāng)2x+1＜x-2，即x＜-3時(shí)，max｛2x+1，x-2｝=x-2.

【解后反思】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題的應(yīng)用，分類討論思想等.

例2（2015·永州）定義［x］為不超過x的最大整數(shù)，如［3.6］=3，［0.6］=0，［-3.6］=-4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，下列式子中錯(cuò)誤的是（）.

A.［x］=x（x為整數(shù)）

B.0≤x-［x］＜1

C.［x+y］≤［x］+［y］

D.［n+x］=n+［x］（n為整數(shù)）

【思路突破】“定義［x］為不超過x的最大整數(shù)”可解釋為小于或等于x的最大整數(shù).

【解答】當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，A成立；x為任意數(shù)時(shí)，B成立.

C不成立.例如，［（-5.4）+（-3.2）］=［-8.6］=-9，［-5.4］+［-3.2］=-6+（-4）=-10，

∵-9＞-10，

∴［-5.4-3.2］＞［-5.4］+［-3.2］.

D項(xiàng)也是成立的.

故選：C.

【解后反思】閱讀并理解［x］的含義：不超過即小于或等于是解決本題的關(guān)鍵.

例3（2015·天水）定義運(yùn)算：a?b=a（1-b）.下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論：①2?（-2）=6，②a?b=b?a，③若a+ b=0，則（a?a）+（b?b）=2ab，④若a?b=0，則a=0或b=1，其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）.

A.①④B.①③

C.②③④D.①③④

【思路突破】根據(jù)題意得：

2?（-2）=2×［1-（-2）］=6，選項(xiàng)①正確；

a?b=a（1-b）=a-ab，b?a=b（1-a）=bab，不一定相等，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

（a?a）+（b?b）=a（1-a）+b（1-b）=a+ba2-b2=a+b-（a+b）2+2ab=2ab，選項(xiàng)③正確；

若a?b=a（1-b）=0，則a=0或b=1，選項(xiàng)④正確，故選D.

【解后反思】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【解后反思】對(duì)于新定義的題，首先要看懂運(yùn)算的法則，把新定義問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學(xué)問題來解決.本題新定義的實(shí)質(zhì)是將四個(gè)整式交叉相乘再求差化簡(jiǎn)，最后轉(zhuǎn)化為解方程確定結(jié)果.

例5（2015·臨沂）定義：給定關(guān)于x的函數(shù)y，對(duì)于該函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有y1＜y2，稱該函數(shù)為增函數(shù).根據(jù)以上定義，可以判斷下面所給的函數(shù)中，是增函數(shù)的有______.（填上所有正確答案的序號(hào)）

①y=2x；②y=-x+1；③y=x2（x＞0）；④y=

【思路突破】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x增大而增大；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=ax2的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)開口向上，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，當(dāng)k＜0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.應(yīng)用這些性質(zhì)便可輕易地解決問題.

【解答】y=2x，k＞0，所以①是增函數(shù).

y=-x+1，k=-1＜0，所以②不是增函數(shù).

y=x2，當(dāng)x＞0時(shí)，是增函數(shù)，所以③是增函數(shù).

【解后反思】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握各種函數(shù)的性質(zhì)以及條件是解決問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）