☉河南大學(xué)附屬中學(xué)?。?3中）張一廿

立體幾何問題的解答中圖形的構(gòu)造技巧

☉河南大學(xué)附屬中學(xué)（23中）張一廿

在立體幾何客觀題中常涉及一些求距離、角度、面積、體積問題，但與這些問題相關(guān)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并沒有明確給出，需要我們結(jié)合題目條件準(zhǔn)確構(gòu)造出這些對(duì)象所在的位置.那么具體問題中應(yīng)如何構(gòu)造，這是問題能否順利求解的關(guān)鍵.本文以2016年一道高考題為引例，就其中所涉及的構(gòu)造思想進(jìn)行分析.

引例（2016全國I卷）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（）

題目條件中面α的位置沒有明確給出，因此涉及的兩條線m，n的位置也不確定.那么應(yīng)如何構(gòu)造出過頂點(diǎn)A且與面CB1D1平行的平面α，是問題求解的關(guān)鍵.下面從兩種視角來構(gòu)造平面α，來實(shí)現(xiàn)問題的簡(jiǎn)潔求解.

解法1：如圖1，延長D1A1至點(diǎn)D2，使A1D2=D1A1.延長B1A1至點(diǎn)B2，使A1B2=B1A1，連接B2D1，B2D2，AB2，AD2，B1D2，

易知B2D2∥=B1D1，AB2

∥=CD1，AD2

∥=CB1，所以平面AB2D2∥面B1CD1，所以面AB2D2即為題目中的面α，AB2即為直線m所在的位置，B2D2即為直線n所在的位置.

又因?yàn)镃D1，CB1，B1D1均為正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線，所以CD1=CB1=B1D1，所以B2D2=AB2=AD2，即△AB2D2為等邊三角形，則m，n所成角即為AB2與B2D2的夾角，其大小為，故其正弦值為

圖1　

解法2：構(gòu)造與正方體ABCD-A1B1C1D1相連的正方體，如圖2所示，則條件中所求的各對(duì)象直觀地展現(xiàn)在我們面前，易知面AB2D2即為已知條件中的α，則m，n的位置相應(yīng)地確定了.故可直接得出正確答案.

點(diǎn)評(píng)：本題的求解關(guān)鍵是根據(jù)題目特征，找到所求的面，進(jìn)而將所求關(guān)系明確化，使問題簡(jiǎn)潔獲解.

除此之外，在某些問題中，與題目相關(guān)的點(diǎn)、線、體等條件的確定是問題順利求解的重要保證，下面舉例說明.

一、構(gòu)造定點(diǎn)

例1如圖3所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，BD∩AC=O，M是線段D1O上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M做平面ACD1的垂線交平面A1B1C1D1于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為（）

圖3　

解析：本題求動(dòng)點(diǎn)N到定點(diǎn)A的距離的最小值，關(guān)鍵是確定點(diǎn)N所在的位置.

如圖4，連接B1D1，根據(jù)題目條件易知平面ACD1⊥平面BDD1B1，而NM⊥平面ACD1，即NM⊥OD1，所以NM的面BDD1B1內(nèi)，所以點(diǎn)N的軌跡為面BDD1B1與面A1B1C1D1的交線B1D1上.連接AB，易知△AB1D1為等腰三角形，故當(dāng)N為B1D1的中點(diǎn)時(shí)，NA的距離最小，易求得最小值為.故選B.

圖4　

點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵是確定點(diǎn)N所在的位置，即點(diǎn)N在線段B1D1上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的最短距離，易知AN⊥B1D1時(shí)，距離最小.

二、構(gòu)造定線

例2在邊長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在底面ABCD上移動(dòng)，且滿足B1M⊥D1E，則線段B1M長度的最大值為（）

解析：因?yàn)辄c(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，但B1M⊥D1E，故B1M在與D1E垂直的平面內(nèi).

如圖5，設(shè)CC1的中點(diǎn)為N，因?yàn)锽1N與BC均在面BCC1B1內(nèi)，所以B1N與BC所在的直線相交，設(shè)交點(diǎn)為S，連接AS.又因?yàn)辄c(diǎn)S在ABCD所在的平面內(nèi)，所以AS與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為O.

連接AB1，由三垂線定理易證D1E⊥AB1.

連接C1E，易證B1N⊥C1E，而C1D1⊥B1N，

所以B1N⊥平面C1D1E，所以B1N⊥D1E.

綜上，D1E⊥平面AB1S，即點(diǎn)M在線段AO上.

又因?yàn)椤鱏CN～△SBB1，△SOC～△SAB，

圖5　

評(píng)析：本題的求解關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)M所在的定線的位置.對(duì)于動(dòng)態(tài)問題的解答要善于把握其中不變的因素，如本題中點(diǎn)M為面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，但B1M⊥D1E，因此B1M在一個(gè)與D1E垂直的定面上，找到這個(gè)定面即可順利找到動(dòng)點(diǎn)M所在的直線.另外題目中若涉及一條動(dòng)直線與已知平面平行，則動(dòng)直線在與已知面平行的定面內(nèi).解題中只要抓住這些動(dòng)態(tài)問題中的確定因素，就可順利找到問題的切入點(diǎn).

三、構(gòu)造定面

例3如圖6所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線BD1（除B，D1兩點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)的過程中，平面DEP可能經(jīng)過的頂點(diǎn)是_______（寫出滿足條件的所有頂點(diǎn)）.

解析：由題意知，平面DEP過點(diǎn)D.

若平面DEP過點(diǎn)A1，如圖7所示作平面A1DE，與BB1交于點(diǎn)F，DF與BD1在平面BDD1B1內(nèi)，則DF與BD1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故平面DEP過點(diǎn)A1.

若平面DEP過點(diǎn)B1，如圖8所示作平面B1DE，與A1D1交于點(diǎn)F，DB1與BD1在平面BDD1B1內(nèi)，則DB1與BD1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，故面DEP過點(diǎn)D1.

圖6　

若面DEP過點(diǎn)C1，如圖9所示作面C1DE，由圖易知DC1與CD1在面CDD1C1內(nèi)，設(shè)DC1與CD1交于點(diǎn)F，則易知點(diǎn)F為CD1的中點(diǎn).連接EF，所以EF為三角形BCD1的中位線，所以EF平行于BD1，即面DEC1與BD1沒有交點(diǎn)，所以滿足條件的點(diǎn)P不存在，所以面DEP不經(jīng)過點(diǎn)C1.

綜上所述，正確答案為A1，B1，D.

圖7　

圖8　

圖9　

點(diǎn)評(píng)：本題若直接作面DEP，看其過哪些頂點(diǎn)，則陷入誤區(qū).轉(zhuǎn)換問題求解視角，即選擇某個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合D、E構(gòu)造平面，只要保證所作平面與BD1相交，則該頂點(diǎn)符合要求.

四、構(gòu)造定體

解析：根據(jù)題目條件可構(gòu)造符合條件的長方體，通過長方體的體對(duì)角線在三個(gè)面上的投影來實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的解答，即利用長方體的體對(duì)角線和面對(duì)角線列出方程組，轉(zhuǎn)化為a和b的關(guān)系，再根據(jù)a和b關(guān)系確定最大值.具體解答過程如下：

根據(jù)題意，如圖10所示，設(shè)長方體的長、寬、高分別為m、n、k，則

圖10　

所以（a2-1）+（b2-1）=6，即a2+b2=8.

所以（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16，

即a+b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)a=b=2時(shí)，a+b取最大值4.

評(píng)析：對(duì)于某些空間幾何體問題中，如果涉及幾何體的三視圖，常用的解題策略是根據(jù)三視圖，構(gòu)造相應(yīng)的特殊幾何體，如長方體、正方體等，能給問題的解決帶來便利.本題解答中通過聯(lián)想、構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為長方體的一條體對(duì)角線在三個(gè)面上的投影問題，降低了難度，使問題得到順利解決.